В математике , то Лефшец с фиксированной точкой теорема представляет собой формулу , которая подсчитывает фиксированные точки на виде непрерывного отображения из компактного топологического пространства в себя с помощью следов индуцированных отображений на группах гомологии с . Он назван в честь Соломона Лефшеца , который впервые назвал его в 1926 году.
Подсчет подлежит условно исчисленной множественности в фиксированной точке, называемой индексом фиксированной точки . Слабого варианта теоремы достаточно, чтобы показать, что отображение без какой-либо неподвижной точки должно обладать довольно специальными топологическими свойствами (например, вращение окружности).
Официальное заявление [ править ]
Для формальной формулировки теоремы пусть
- непрерывное отображение компактного триангулируемого пространства в себя. Определить число Лефшеца из по
переменное (конечная) сумма матричных следов от линейных карт индуцируется путем на , на сингулярные гомологии групп с рациональными коэффициентами.
Простая версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке гласит: если
тогда имеет хотя бы одну неподвижную точку, т. е. существует хотя бы одна из таких, что . Фактически, поскольку число Лефшеца было определено на уровне гомологии, вывод может быть расширен, чтобы сказать, что любое отображение, гомотопное к, также имеет фиксированную точку.
Обратите внимание, однако, что в целом обратное неверно: может быть нулевым, даже если имеет фиксированные точки.
Набросок доказательства [ править ]
Во-первых, применяя теорему о симплициальной аппроксимации , можно показать, что если не имеет неподвижных точек, то (возможно, после подразделения ) гомотопно симплициальному отображению без неподвижных точек (т. Е. Он отправляет каждый симплекс в другой симплекс). Это означает , что диагональные значения матриц линейных отображений , индуцированные на симплициальном цепи комплекса из должны быть все равными нулю. Затем следует отметить, что, в общем, число Лефшеца также может быть вычислено с использованием альтернированной суммы матричных следов вышеупомянутых линейных отображений (это верно почти по той же причине, что и характеристика Эйлера имеет определение в терминах групп гомологии ; см. нижедля связи с эйлеровой характеристикой). В частном случае симплициального отображения без неподвижных точек все диагональные значения равны нулю, и, следовательно, все трассы равны нулю.
Теорема Лефшеца – Хопфа [ править ]
Более сильная форма теоремы, также известная как теорема Лефшеца – Хопфа , утверждает, что если имеется только конечное число неподвижных точек, то
где - множество неподвижных точек , а обозначает индекс неподвижной точки . [1] Из этой теоремы выводится теорема Пуанкаре – Хопфа для векторных полей.
Связь с эйлеровой характеристикой [ править ]
Число Лефшеца тождественного отображения на конечном CW-комплексе можно легко вычислить, осознав, что каждое из них можно рассматривать как единичную матрицу, и поэтому каждый член следа является просто размерностью соответствующей группы гомологий. Таким образом, число Лефшеца тождественного отображения равно переменной сумме чисел Бетти пространства, которая, в свою очередь, равна характеристике Эйлера . Таким образом, мы имеем
Связь с теоремой Брауэра о неподвижной точке [ править ]
Теорема Лефшеца о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке , которая утверждает, что каждое непрерывное отображение из -мерного замкнутого единичного круга в должен иметь по крайней мере одну неподвижную точку.
Это можно увидеть следующим образом: оно компактно и триангулируемо, все его группы гомологий, кроме нуля, и каждое непрерывное отображение индуцирует тождественное отображение , след которого равен единице; все это вместе означает, что не равно нулю для любого непрерывного отображения .
Исторический контекст [ править ]
Лефшец представил свою теорему о неподвижной точке в ( Lefschetz 1926 ). Лефшец фокусировался не на неподвижных точках карт, а скорее на том, что сейчас называется точками совпадения карт.
Учитывая две карты и из ориентируемого многообразия ориентируемого многообразия той же размерности, то Lefschetz совпадения число из и определяются как
где , как указано выше, - гомоморфизм, индуцированный на группах когомологий с рациональными коэффициентами, и - изоморфизмы двойственности Пуанкаре для и , соответственно.
Лефшец доказал, что если число совпадений отлично от нуля, то и имеют точку совпадения. Он отметил в своей статье, что разрешение и разрешение быть тождественным отображением дает более простой результат, который мы теперь знаем как теорему о неподвижной точке.
Фробениус [ править ]
Пусть - многообразие, определенное над конечным полем с элементами, и пусть - поднятие до алгебраического замыкания . Эндоморфизм Фробениуса из (часто геометрический Фробениус , или просто Фробениус ), обозначаемый , отображает точку с координатами в точку с координатами . Таким образом, неподвижные точки - это в точности точки с координатами в ; множество таких точек обозначается . В этом контексте справедлива формула трассировки Лефшеца, которая гласит:
Эта формула включает след Фробениуса на этальных когомологиях с компактными носителями со значениями в поле -адических чисел, где - простое число, взаимно простое с .
Если она гладкая и равноразмерная , эта формула может быть переписана в терминах арифметики Фробениуса , которая действует как обратная для когомологий:
В этой формуле используются обычные когомологии, а не когомологии с компактными носителями.
Формула следа Лефшеца также может быть обобщена на алгебраические стеки над конечными полями.
См. Также [ править ]
- Теоремы о неподвижной точке
- Дзета-функция Лефшеца
- Голоморфная формула Лефшеца для неподвижной точки
Заметки [ править ]
- ^ Дольд, Альбрехт (1980). Лекции по алгебраической топологии . 200 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10369-1. Руководство по ремонту 0606196 . CS1 maint: discouraged parameter (link), Предложение VII.6.6.
Ссылки [ править ]
- Лефшец, Соломон (1926). «Пересечения и преобразования комплексов и многообразий» . Труды Американского математического общества . 28 (1): 1–49. DOI : 10.2307 / 1989171 . Руководство по ремонту 1501331 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
- Лефшец, Соломон (1937). «По формуле фиксированной точки». Анналы математики . 38 (4): 819–822. DOI : 10.2307 / 1968838 . Руководство по ремонту 1503373 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
Внешние ссылки [ править ]
- «Формула Лефшеца» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]