Коалгебра

В математике , коалгебры или cogebras представляют собой структура , которые являются двойными (в категории теоретико- смысле реверсивных стрелки ) на унитарные ассоциативные алгебры . В Аксиомы из унитальных ассоциативных алгебр могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм . Оборачивая все стрелки, получаем аксиомы коалгебр. Каждая коалгебра в силу двойственности ( векторного пространства ) порождает алгебру, но не наоборот. В конечных измерениях эта двойственность идет в обоих направлениях ( см. Ниже ).

Коалгебры естественным образом встречаются в ряде контекстов (например, в теории представлений , универсальных обертывающих алгебрах и групповых схемах ).

Есть также F-коалгебры , важные приложения в информатике .

Неформальное обсуждение [ править ]

Один часто повторяющийся пример коалгебр встречается в теории представлений и, в частности, в теории представлений группы вращений . Первоочередная задача, имеющая практическое применение в физике, - получение комбинаций систем с разными состояниями углового момента и спина . Для этого используются коэффициенты Клебша – Гордана . Для двух систем с угловыми моментами и особенно важной задачей является нахождение полного углового момента с учетом комбинированного состояния . Это обеспечивается оператором полного углового момента${\displaystyle A,B}$${\displaystyle j_{A}}$${\displaystyle j_{B}}$${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$, который извлекает необходимое количество с каждой стороны тензорного произведения. Его можно записать как «внешнее» тензорное произведение

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

Слово «внешний» здесь появляется в отличие от «внутреннего» тензорного произведения тензорной алгебры . Тензорная алгебра имеет тензорное произведение (внутреннее); он также может быть снабжен вторым тензорным произведением, «внешним», или копродуктом , имеющим форму выше. То, что это два разных произведения, подчеркивается напоминанием о том, что внутреннее тензорное произведение вектора и скаляра представляет собой простое скалярное умножение. Внешний продукт разделяет их. В этом случае сопродуктом является карта

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

это требует

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

В этом примере можно принять одно из спиновых представлений группы вращений, причем основным представлением является выбор, основанный на здравом смысле. Это копроизведение можно поднять на всю тензорную алгебру с помощью простой леммы, которая применяется к свободным объектам : тензорная алгебра является свободной алгеброй , поэтому любой гомоморфизм, определенный на подмножестве, может быть расширен на всю алгебру. Подробно исследуя подъем, можно заметить, что сопродукт ведет себя как произведение перемешивания , по существу потому, что два вышеупомянутых фактора, левый и правый, должны храниться в последовательном порядке во время произведения нескольких угловых моментов (вращения не коммутативны). ${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {j} }$

Своеобразная форма появления только один раз в совместном произведении вместо (например) определения заключается в том, чтобы поддерживать линейность: для этого примера (и для теории представлений в целом) вторичный продукт должен быть линейным. Как правило, копроизведение в теории представлений приводимо; коэффициенты задаются правилом Литтлвуда – Ричардсона . (Правило Литтлвуда – Ричардсона передает ту же идею, что и коэффициенты Клебша – Гордана, но в более общем контексте).${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$

Формальное определение коалгебры, приведенное ниже, абстрагирует этот частный случай и его необходимые свойства в общем контексте.

Формальное определение [ править ]

Формально коалгебра над полем K - это векторное пространство C над K вместе с K- линейными отображениями ∆: C → C ⊗ C и ε: C → K такими, что

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Здесь ⊗ означает тензорное произведение над K, а id - тождественная функция .)

Эквивалентно коммутируют следующие две диаграммы :

На первой диаграмме C ⊗ ( C ⊗ C ) отождествляется с ( C ⊗ C ) ⊗ C ; эти два естественно изоморфны . ^[1] Аналогичным образом во второй диаграмме отождествляются естественно изоморфные пространства C , C ⊗ K и K ⊗ C. ^[2]

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность алгебр умножения (называемую коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного тождества . Соответственно, отображение Δ называется коумножение (или копроизведение ) из C и ε является коединица из C .

Примеры [ править ]

Возьмем произвольное множество S и сформируем K -векторное пространство C = K ^{( S )} с базисом S следующим образом. Элементами этого векторного пространства C являются те функции от S до K, которые переводят все элементы S, кроме конечного, в ноль; отождествить элемент s в S с функцией, которая отображает s в 1, а все остальные элементы S в 0. Определите

Δ ( s ) = s ⊗ s и ε ( s ) = 1 для всех х в S .

По линейности, как Δ и ε может затем однозначно быть распространено на все C . Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением ∆ и коэлементом ε.

В качестве второго примера, рассмотрим кольцо многочленов K [ X ] в одном неопределенном X . Это становится коалгебра (The разделить мощности коалгебра ^{[3] [4]} ) , если для всех п ≥ 0 один определяет:

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{n-k},}$

${\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}$

Опять же, из-за линейности этого достаточно, чтобы определить Δ и ε однозначно на всем K [ X ]. Теперь K [ X ] - это ассоциативная алгебра с единицей и коалгебра, и эти две структуры совместимы. Подобные объекты называются биалгебрами , и на самом деле большинство важных коалгебр, рассматриваемых на практике, являются биалгебрами.

Примеры коалгебр включают тензорную алгебру , внешнюю алгебру , алгебры Хопфа и биалгебры Ли . В отличие от полиномиального случая выше, ни один из них не коммутативен. Следовательно, побочный продукт становится продуктом перемешивания , а не структурой деления мощности, указанной выше. Произведение в случайном порядке подходит, потому что оно сохраняет порядок членов, появляющихся в произведении, как того требуют некоммутативные алгебры.

Сингулярные гомологии из топологического пространства образует градуированную коалгебру всякий раз , когда изоморфизм Кюннета имеет место, например , если коэффициенты берутся быть поле. ^[5]

Если С является К -векторному пространству с базисным { х , гр }, рассмотрит Δ: C → C ⊗ C задаются

Δ ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ ( c ) = c ⊗ c - s ⊗ s

а ε: C → K задается формулой

ε ( s ) = 0

ε ( c ) = 1

В этой ситуации ( C , Δ, ε) - коалгебра, известная как тригонометрическая коалгебра . ^{[6] [7]}

Для локально конечного ч.у.м. P с набором интервалов J определим коалгебру инцидентности C с J как базис и коумножение для x < z

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{x<y<z}[x,y]\otimes [y,z]\ .}$

Интервалы нулевой длины соответствуют точкам P и являются элементами группового типа. ^[8]

Конечные размеры [ править ]

В конечных измерениях двойственность между алгебрами и коалгебрами более близка: двойственный элемент конечномерной (унитальной ассоциативной) алгебры является коалгеброй, в то время как двойственный элемент конечномерной коалгебры является (унитальной ассоциативной) алгеброй. В общем случае двойственное к алгебре не может быть коалгеброй.

Ключевым моментом является то, что в конечных размерностях ( A ⊗ A ) ^∗ и A ^∗ ⊗ A ^∗ изоморфны.

Чтобы различать их: в общем, алгебра и коалгебра являются двойственными понятиями (это означает, что их аксиомы двойственны: переверните стрелки), в то время как для конечных измерений они являются двойственными объектами (что означает, что коалгебра является двойственным объектом алгебры и наоборот) .

Если является конечно- мерной унитальной ассоциативная K - алгебра, то ее K -двойственный ^* , состоящая из всех K -линейных отображающей A до K является коалгеброй. Умножение A можно рассматривать как линейное отображение A ⊗ A → A , которое при дуализации дает линейное отображение A ^∗ → ( A ⊗ A ) ^∗ . В конечномерном случае ( A ⊗ A ) ^∗естественно изоморфно A ^∗ ⊗ A ^∗ , поэтому это определяет коумножение на A ^∗ . Счетчик A ^∗ дается вычислением линейных функционалов в 1.

Обозначение Sweedler [ править ]

При работе с коалгебрами некоторые обозначения коумножения значительно упрощают формулы и стали довольно популярными. Для элемента c коалгебры ( C , ∆, ε) существуют такие элементы c ₍₁₎ ^{( i )} и c ₍₂₎ ^{( i )} в C , что

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$

В обозначениях Sweedler в , ^[9] (названный так после того, как Мосс Суидлер ), это сокращенно

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

Тот факт, что ε является счетчиком, может быть выражен следующей формулой

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Коассоциативность Δ может быть выражена как

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

В обозначениях Свидлера оба этих выражения записываются как

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

Некоторые авторы также опускают символы суммирования; в этой бессистемной нотации Свидлера пишут

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

а также

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Каждый раз, когда в выражении такого типа встречается переменная с пониженным индексом в скобках, подразумевается символ суммирования для этой переменной.

Дополнительные концепции и факты [ править ]

Коалгебра ( C , Δ, ε ) называется ко-коммутативной, если , где σ: C ⊗ C → C ⊗ C - K- линейное отображение, определенное формулой σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c для всех c , d в C . В бессумной нотации Свидлера C ко-коммутативна тогда и только тогда, когда${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

для всех с в C . (Важно понимать, что подразумеваемое суммирование здесь имеет большое значение: не требуется, чтобы все слагаемые были попарно равны, только чтобы суммы были равны, что является гораздо более слабым требованием.)

Группы , как элемент (или набор-как элемент ) является элементом х таким образом, что Δ ( х ) = х ⊗ х и ε ( х ) = 1 . Вопреки тому, что это соглашение об именах предполагает, групповые элементы не всегда образуют группу, и в целом они только образуют набор. Групповые элементы алгебры Хопфа действительно образуют группу. Примитивный элемент представляет собой элемент х , удовлетворяющий Δ ( х ) = х ⊗ 1 + 1 ⊗ х . Примитивные элементы алгебры Хопфа образуют алгебру Ли. ^{[10] [11]}

Если ( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ ) и ( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ ) - две коалгебры над одним и тем же полем K , то морфизм коалгебр из C ₁ в C ₂ является K -линейным отображением f  : C ₁ → C ₂ такие, что и . В бессумной нотации Свидлера первое из этих свойств может быть записано как:${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$${\displaystyle \epsilon _{2}\circ f=\epsilon _{1}}$

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

Состав два коалгебра морфизмов снова коалгебра морфизм, и коалгебры над K вместе с этим понятием морфизма образует категорию .

Линейное подпространство Я в С называется коидеал , если I ⊆ кег ( е ) и А ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I . В этом случае фактор-пространство C / I естественным образом становится коалгеброй.

Подпространство D в C называется подкоалгеброй, если ∆ ( D ) ⊆ D ⊗ D ; в этом случае D сама по себе является коалгеброй с ограничением ε на D как коучит.

Ядро каждого коалгебра морфизм F  : С ₁ → С ₂ представляет собой коидеал в C ₁ , и изображение является subcoalgebra из C ₂ . Общие теоремы об изоморфизме верны для коалгебр, поэтому, например, C ₁ / ker ( f ) изоморфна im ( f ).

Если A - конечномерная ассоциативная K -алгебра с единицей, то A ^∗ - конечномерная коалгебра, и действительно, любая конечномерная коалгебра возникает таким образом из некоторой конечномерной алгебры (а именно, из K -двойственной коалгебры ). При этом соответствии коммутативные конечномерные алгебры соответствуют кокоммутативным конечномерным коалгебрам. Итак, в конечномерном случае теории алгебр и коалгебр двойственны; изучение одного равносильно изучению другого. Однако в бесконечномерном случае отношения расходятся: в то время как K- двойник любой коалгебры является алгеброй, K-двойник бесконечномерной алгебры не обязательно должен быть коалгеброй.

Каждая коалгебра представляет собой сумму своих конечномерных подкоалгебр, что неверно для алгебр. Абстрактно коалгебры являются обобщениями или двойниками конечномерных ассоциативных алгебр с единицей.

Концепции представления алгебр соответствует корпредставление или комодуль .

См. Также [ править ]

• Коалгебра Cofree
• Измерение коалгебры
• Dialgebra

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Блок, Ричард Э .; Лера, Пьер (1985), "Обобщенные двойные коалгебры алгебры, с приложениями к косвободным коалгебрам", Журнал теоретической и прикладной алгебра , 36 (1): 15-21, DOI : 10.1016 / 0022-4049 (85) 90060-X , ISSN  0022-4049 , MR  0782637 , Zbl  0556.16005
• Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Щербан (2001), Алгебры Хопфа: Введение , Чистая и прикладная математика, 235 (1-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl  0962,16026.
• Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), «Коалгебры и комодули над коммутативным кольцом», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
• Хазевинкель, Михель (2003), "косвободные коалгебры и многомерная рекурсивность", Журнал теоретических и прикладная алгебра , 183 (1): 61-103, DOI : 10.1016 / S0022-4049 (03) 00013-6 , ISSN  0022-4049 , Руководство по ремонту  1992043 , Zbl  1048.16022
• Монтгомери, Сьюзен (1993), алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, 82 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0738-2, Zbl  0793,16029
• Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl  1234,16022
• Йоконума, Такео (1992), Тензорные пространства и внешняя алгебра , Переводы математических монографий, 108 , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-4564-0, Zbl  0754,15028
• Глава III, раздел 11 в Bourbaki, Nicolas (1989). Алгебра . Springer-Verlag . ISBN 0-387-19373-1.

Внешние ссылки [ править ]

• Уильям Чин: Краткое введение в теорию представлений коалгебры