В математике тасованная алгебра - это алгебра Хопфа с базисом, соответствующим словам на некотором множестве, чье произведение дается произведением тасования X ⧢ Y двух слов X , Y : суммой всех способов их чередования. Переплетение дается Riffle в случайном порядке перестановки .
Перетасовка алгебра на конечное множестве является градиентным двойственной универсальным обертывающим в свободной алгебре Ли на множестве.
Алгебра тасования над рациональными числами изоморфна алгебре многочленов в словах Линдона .
Произведение в случайном порядке встречается в общих параметрах некоммутативных алгебр ; это потому, что он может сохранить относительный порядок умножения факторов - перестановка случайного перемешивания . Этого можно придерживаться в отличие от структуры разделенной мощности , которая становится уместной, когда факторы коммутативны.
Перемешать продукт [ править ]
Произведение в случайном порядке слов длины m и n представляет собой сумму по( м + п )!/м ! п ! способы чередования двух слов, как показано в следующих примерах:
- ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab
- ааа ⧢ аа = 10 ааааа
Это может быть определено индуктивно с помощью [1]
- u ⧢ ε = ε ⧢ u = u
- ua ⧢ vb = ( u ⧢ vb ) a + ( ua ⧢ v ) b
где ε - пустое слово , a и b - отдельные элементы, а u и v - произвольные слова.
Произведение в случайном порядке было введено Эйленбергом и Мак Лейном (1953) . Название «перемешанный продукт» относится к тому факту, что произведение можно представить как сумму всех способов перемешивания двух слов вместе: это перестановка перемешивания в случайном порядке . Продукт коммутативен и ассоциативен . [2]
Произведение двух слов в некотором алфавите в случайном порядке часто обозначается символом произведения в случайном порядке ⧢ ( символ Unicode U + 29E2 SHUFFLE PRODUCT , производный от кириллической буквы ⟨ш⟩ sha ).
Продукт проникновения [ править ]
Тесно связанный продукт инфильтрации был представлен Ченом, Фоксом и Линдоном (1958) . Он определяется индуктивно для слов над алфавитом A формулой
- fa ↑ ga = ( f ↑ ga ) a + ( fa ↑ g ) a + ( f ↑ g ) a
- fa ↑ gb = ( f ↑ gb ) a + ( fa ↑ g ) b
Например:
- AB ↑ AB = AB + 2 AAB + 2 АВВ + 4 AABB + 2 ABAB
- ab ↑ ba = aba + bab + abab + 2 abba + 2 baab + baba
Продукт инфильтрации также коммутативен и ассоциативен. [3]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Чен, Куо-Цай; Фокс, Ральф Х .; Линдон, Роджер С. (1958), "Свободное дифференциальное исчисление IV Факторпространства группа нижнего центрального ряда..", Анналы математики , вторая серия, 68 (1): 81-95, DOI : 10,2307 / 1970044 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970044 , MR 0102539 , Zbl 0142.22304
- Эйленберг, Самуэль ; Мак Лейн, Сондерс (1953), "О группах H (Π, п) я.", Анналы математики , второй серии 58 (1): 55-106, DOI : 10,2307 / 1969820 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969820 , MR 0056295 , Zbl 0050.39304
- Грин, Дж. А. (1995), Перемешанные алгебры, алгебры Ли и квантовые группы , Textos de Matemática. Série B, 9 , Коимбра: Universidade de Coimbra Departamento de Matemática, MR 1399082
- Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Shuffle algebra" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Hazewinkel, Michiel; Губарени, Надия; Кириченко В. В. Алгебры, кольца и модули (2010) . Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, 168 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, DOI : 10.1090 / Surv / 168 , ISBN 978-0-8218-5262-0, Руководство по ремонту 2724822 , Zbl 1211.16023
- Lothaire, M. (1997), Комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, 17 , Perrin, D .; Reutenauer, C .; Berstel, J .; Пин, JE; Pirillo, G .; Foata, D .; Сакарович, Дж .; Саймон, I .; Шютценбергер, депутат; Choffrut, C .; Cori, R .; Линдон, Роджер; Рота, Джан-Карло. Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874,20040 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Рейтенауэр, Кристоф (1993), Свободные алгебры Ли , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 7 , The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, Руководство по ремонту 1231799 , Zbl 0798.17001
Внешние ссылки [ править ]
- Символ продукта в случайном порядке
