Свободная алгебра Ли

В математике , свободная алгебра Ли над полем K является алгеброй Ли , порожденные множества X , без каких - либо иных , чем определяющих соотношений переменного налагаемых отношений К -bilinearity и тождества Якоби .

Определение [ править ]

Определение свободной алгебры Ли, порожденной множеством X, выглядит следующим образом:

Пусть X некоторое множество , а морфизм множества ( функция ) из X в алгебре Ли L . Алгебра Ли L называется свободной на X, если - универсальный морфизм ; то есть, если для любой алгебры Ли A с морфизмом множеств существует единственный морфизм алгебры Ли такой, что .

{\ Displaystyle я \ двоеточие X \ в L}

{\ displaystyle i}

{\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до A}

{\ displaystyle g \ двоеточие от L \ до A}

{\ displaystyle f = g \ circ i}

Учитывая множество X , можно показать , что существует единственная свободная алгебра Ли , порожденную X . $L(X)$

На языке теории категорий , то функтор посылает множество X в алгебру Ли , порожденной X является свободным функтором из категории множеств к категории алгебр Ли. То есть он остается сопряженным с забывчивым функтором .

Свободная алгебра Ли на множестве X естественно градуирована . 0-градуированная компонента свободной алгебры Ли - это просто свободное векторное пространство на этом множестве.

В качестве альтернативы можно определить свободную алгебру Ли на векторном пространстве V как сопряженную слева к забывчивому функтору от алгебр Ли над полем K к векторным пространствам над полем K - забывая структуру алгебры Ли, но помня структуру векторного пространства.

Универсальная обертывающая алгебра [ править ]

Универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли на множество X есть свободная ассоциативная алгебра , порожденная X . По теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта она имеет «тот же размер», что и симметрическая алгебра свободной алгебры Ли (это означает, что если обе стороны градуируются, задавая элементы X степени 1, то они изоморфны как градуированные векторные пространства). Его можно использовать для описания размерности куска свободной алгебры Ли любой заданной степени.

Эрнст Витт показал, что количество основных коммутаторов степени k в свободной алгебре Ли на m -элементном множестве задается полиномом ожерелья :

M_{m}(k)={\frac {1}{k}}\sum _{d|k}\mu (d)\cdot m^{k/d},

где - функция Мёбиуса . $\mu$

Градуированная двойственная универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли на конечном множестве - это тасовая алгебра . По сути, это следует из того, что универсальные обертывающие алгебры имеют структуру алгебры Хопфа , а перемешанное произведение описывает действие коумножения в этой алгебре. См. Тензорную алгебру для подробного описания взаимосвязи между произведением перемешивания и коумножением.

Наборы для холла [ править ]

Явный базис свободной алгебры Ли может быть дан в терминах множества Холла , который представляет собой особый вид подмножества внутри свободную магму на X . Элементы свободной магма являются бинарные деревья с их листьями помечены элементами X . Наборы Холла были введены Маршаллом Холлом ( 1950 ) на основе работы Филипа Холла о группах. Впоследствии Вильгельм Магнус показал, что они возникают как градуированная алгебра Ли, связанная с фильтрацией на свободной группе, заданной нижним центральным рядом . Эта переписка была мотивированакоммутаторные тождества в теории групп Филипа Холла и Витта.

Основа Линдона [ править ]

Эти слова Линдона являются частным случаем слов Холла , и поэтому , в частности , существует базис свободной алгебры Ли , соответствующей линдонские слова. Это называется базисом Линдона в честь Роджера Линдона . (Это также называется базисом Чена – Фокса – Линдона или базисом Линдона – Ширшова и, по сути, то же самое, что и базис Ширшова .) Существует биекция γ из слов Линдона в упорядоченном алфавите в базис свободной Ли. алгебра на этом алфавите определяется следующим образом:

Если слово w имеет длину 1, то (рассматривается как генератор свободной алгебры Ли). $\gamma (w)=w$
Если w имеет длину не менее 2, то напишите вместо слов Линдона u , v с v как можно длиннее («стандартная факторизация» ^[1] ). Тогда . $w=uv$ $\gamma (w)=[\gamma (u),\gamma (v)]$

Теорема Ширшова – Витта [ править ]

Анатолий Ширшов ( 1953 ) и Витт ( 1956 ) показали, что любая подалгебра Ли свободной алгебры Ли сама является свободной алгеброй Ли.

Приложения [ править ]

Теорема Серра о полупростой алгебре Ли использует свободную алгебру Ли для построения полупростой алгебры из образующих и отношений.

В милноровские инварианты из в группе ссылок связаны с свободной алгебры Ли на компоненты связи , как описано в этой статье.

См. Также операду Ли относительно использования свободной алгебры Ли при построении операды.

См. Также [ править ]

Бесплатный объект
Свободная алгебра
Бесплатная группа

Ссылки [ править ]

^ Berstel, Жан; Перрин, Доминик (2007), "Истоки комбинаторики на словах" (PDF) , Европейский журнал комбинаторике , 28 (3): 996-1022, DOI : 10.1016 / j.ejc.2005.07.019 , MR 2300777

Бахтурин, Ю.А. (2001) [1994], "Свободная алгебра Ли над кольцом" , Энциклопедия математики , EMS Press
Бурбаки, Николас (1989). «Глава II: Свободные алгебры Ли». Группы Ли и алгебры Ли . Springer. ISBN 0-387-50218-1. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Чен, Куо-Цай; Фокс, Ральф Х .; Линдон, Роджер С. (1958), "Свободное дифференциальное исчисление IV Факторпространства группа нижнего центрального ряда..", Анналы математики , вторая серия, 68 (1): 81-95, DOI : 10,2307 / 1970044 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970044 , Руководство по ремонту 0102539 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Холл, Маршалл (1950), «Основа для свободных колец Ли и высших коммутаторов в свободных группах» , Труды Американского математического общества , 1 (5): 575-581, DOI : 10,1090 / S0002-9939-1950-0038336- 7 , ISSN 0002-9939 , MR 0038336 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Lothaire, M. (1997), Комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, 17 , Perrin, D .; Ройтенауэр, Кристоф; Berstel, J .; Пин, JE; Pirillo, G .; Foata, D .; Сакарович, Дж .; Саймон, I .; Шютценбергер, Марсель-Поль ; Choffrut, C .; Cori, R .; Линдон, Роджер ; Рота, Джан-Карло . Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.), Cambridge University Press , стр. 76–91, 98, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874,20040 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Магнус, Вильгельм (1937), «Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 177 (177): 105–115, doi : 10.1515 / crll.1937.177.105 , ISSN 0075-4102 , JFM 63.0065.01
Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитэр, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп (Перепечатка второго изд. 1976 г.). Минеола, Нью-Йорк: Дувр . ISBN 0-486-43830-9. Руководство по ремонту 2109550 .
Гай Мелансон (2001) [1994], "Набор Холла" , Энциклопедия математики , EMS Press
Гай Мелансон (2001) [1994], "Холл слово" , Энциклопедия математики , EMS Press
Мелансон, Гай (2001) [1994], "Основание Ширшова" , Энциклопедия математики , EMS Press
Рейтенауэр, Кристоф (1993), Свободные алгебры Ли , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 7 , The Clarendon Press Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853679-6, Руководство по ремонту 1231799
Ширшов, Анатолий И. (1953), "Подалгебры свободных алгебр Ли", Матем. Сборник , Новая серия, 33 (75): 441–452, MR 0059892
Ширшов, Анатолий И. (1958), "О свободных кольцах Ли", Матем. Сборник , Новая серия, 45 (2): 113–122, MR 0099356 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Бокут, Леонид А .; Латышев Виктор; Шестаков, Иван; Зельманов, Ефим , ред. (2009). Избранные произведения А. И. Ширшова . Перевод Бремнера, Мюррея; Кочетов, Михаил В. Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser. Руководство по ремонту 2547481 .
Витт, Эрнст (1956). "Die Unterringe der freien Lieschen Ringe". Mathematische Zeitschrift . 64 : 195–216. DOI : 10.1007 / BF01166568 . ISSN 0025-5874 . Руководство по ремонту 0077525 .

[1] Berstel, Жан; Перрин, Доминик (2007), "Истоки комбинаторики на словах" (PDF) , Европейский журнал комбинаторике , 28 (3): 996-1022, DOI : 10.1016 / j.ejc.2005.07.019 , MR 2300777