В математике , А свободный модуль является модулем , который имеет основу - то есть, порождающее множество , состоящее из линейно независимых элементов. Каждое векторное пространство является свободным модулем [1], но если кольцо коэффициентов не является телом (не полем в коммутативном случае), то существуют несвободные модули.
Для любого множества S и кольцо R , есть свободный R - модуль с базисом S , который называется свободным модулем на S или модуль формального R - линейные комбинации элементов из S .
Свободная абелева группа именно свободный модуль над кольцом Z от целых чисел .
Определение [ править ]
Для кольца и - модуля набор является основой, если:
- является порождающим множеством для ; иными словами, каждый элемент является конечной суммой элементов, умноженных на коэффициенты в ; а также
- является линейно независимым , то есть, для каждого подмножества из различных элементов , следует , что (где есть нулевой элемент и является нулевым элементом ).
Бесплатный модуль - это модуль с базой. [2]
Непосредственно вытекает из второй половины определения является то , что коэффициенты в первой половине являются уникальными для каждого элемента М .
Если имеет инвариантный базисный номер , то по определению любые две базы имеют одинаковую мощность. Мощность любого (а значит, и каждого) базиса называется рангом свободного модуля . Если эта мощность конечна, свободный модуль называется свободным от конечного ранга или свободным от ранга n, если известно, что ранг равен n .
Примеры [ править ]
Пусть R - кольцо.
- R - свободный модуль ранга один над собой (как левый, так и правый модуль); любой единичный элемент является основой.
- В более общем смысле , если R коммутативен, ненулевой идеал я из R свободен тогда и только тогда , когда он является главным идеалом , порожденным nonzerodivisor с генератором быть основой. [3]
- Если R коммутативно, кольцо многочленов от неопределенного X является свободным модулем с возможным базисом 1, X , X 2 , ....
- Пусть будет кольцо многочленов над коммутативным кольцом A , F унитарный многочлен степени г там, и образ т в B . Тогда B содержит A как подкольцо и свободен как A -модуль с базисом .
- Для любого неотрицательного целого числа п , , то декартово произведение из п копии R как левый R - модуль, является свободным. Если R имеет инвариантный базисный номер (что верно для коммутативного R ), то его ранг равен n .
- Прямая сумма свободных модулей свободна, в то время как бесконечное декартово произведение свободных модулей , как правило , не свободно (сравните группы Бэра-Шпекер .)
- Теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.
Формальные линейные комбинации [ править ]
Для множества E и кольца R существует свободный R -модуль, в основе которого лежит E, а именно прямая сумма копий R, индексированных E
- .
Явно, это подмодуль декартового произведения ( R рассматривается как, скажем, левый модуль), который состоит из элементов, которые имеют только конечное число ненулевых компонентов. Можно встроить E в R ( E ) как подмножество, отождествив элемент e с элементом R ( E ), у которого e-й компонент равен 1 (единица R ), а все остальные компоненты равны нулю. Тогда каждый элемент R ( E ) можно однозначно записать как
где только конечное число ненулевых. Это называется формальной линейной комбинацией элементов E .
Аналогичное рассуждение показывает, что каждый свободный левый (соответственно правый) R -модуль изоморфен прямой сумме копий R как левого (соответственно правого) модуля.
Другая конструкция [ править ]
Свободный модуль R ( E ) также может быть построен следующим эквивалентным способом.
Для кольца R и множества E сначала в качестве набора положим
Мы снабдим его структурой левого модуля, так что сложение определяется следующим образом: для x в E ,
и скалярное умножение на: для r в R и x в E ,
Теперь, будучи R -значной функцией на E , каждая функция f in может быть однозначно записана как
где находятся в R и только конечное их число ненулевых и задается как
(это вариант Кронекера .) Сказанное означает , что подмножество из является основой . Отображение - это биекция между E и этим базисом. Благодаря этому биекция, является свободным модулем с базисом Е .
Универсальное свойство [ править ]
Определенное выше отображение включения универсально в следующем смысле. Для произвольной функции из множества E в левый R -модуль N существует единственный гомоморфизм модулей такой, что ; а именно, определяется формулой:
и говорят, что он получается продолжением по линейности. Уникальность означает , что каждый R -линейной карта однозначно определяется его ограничение на Е .
Как обычно для универсальных свойств, это определяет R ( E ) до канонический изоморфизм . Также формирование для каждого множества E определяет функтор
- ,
из категории множеств в категорию левых R -модулей. Это называется свободным функтором и удовлетворяет естественное соотношение: для каждого набора E и левого модуля N ,
где - функтор забывания , то есть левый сопряженный функтора забывания.
Обобщения [ править ]
Многие утверждения о свободных модулях, которые неверны для общих модулей над кольцами, остаются верными для некоторых обобщений свободных модулей. Проективные модули - это прямые слагаемые свободных модулей, поэтому можно выбрать инъекцию в свободный модуль и использовать его базис, чтобы что-то доказать для проективного модуля. Даже более слабые обобщения - это плоские модули , которые по-прежнему обладают тем свойством, что тензор с их помощью сохраняет точные последовательности, и модули без кручения. Если кольцо обладает особыми свойствами, эта иерархия может разрушиться, например, для любого совершенного локального дедекиндова кольца каждый модуль без кручения также является плоским, проективным и свободным. Конечно порожденный модуль коммутативного ПИД без кручения свободен. Конечно порожденный Z -модуль свободен тогда и только тогда, когда он плоский.
Посмотрите местное кольцо , идеальное кольцо и кольцо Дедекинда .
См. Также [ править ]
- Бесплатный объект
- Проективный объект
- бесплатная презентация
- бесплатное разрешение
- Теорема Квиллена – Суслина
- стабильно бесплатный модуль
- общая свобода
Заметки [ править ]
- ^ Keown (1975). Введение в теорию представления групп . п. 24.
- ^ Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, Том 4 . п. 110.
- ^ Доказательство: предположим, чтоэто бесплатно с базой. Ибо,должно иметь уникальную линейную комбинацию в терминахи, что неверно. Таким образом, посколькусуществует только один базисный элемент, который должен быть ненулевым делителем. Обратное очевидно.
Ссылки [ править ]
Эта статья включает материал из бесплатного векторного пространства поверх набора на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
- Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. С. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. Руководство по ремонту 0345993 .
- Кеун, Р. (1975). Введение в теорию представления групп . Математика в науке и технике. 116 . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-404250-6. Руководство по ремонту 0387387 .
- Говоров, В.Е. (2001) [1994], "Свободный модуль" , Энциклопедия математики , EMS Press.