Монада (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , монада (также тройка , триада , стандартная конструкция и фундаментальная конструкция ) ^[1] является эндофунктором ( функтором, отображающим категорию в себя) вместе с двумя естественными преобразованиями, необходимыми для выполнения определенных условий когерентности. . Монады используются в теории пар сопряженных функторов , и они обобщают операторы замыкания на частично упорядоченных множествах на произвольные категории.

Введение и определение [ править ]

Монада - это определенный тип эндофунктора . Например, если и - пара сопряженных функторов с сопряженными слева к , то композиция является монадой. Если и являются обратными функторами, соответствующая монада является тождественным функтором . В общем, присоединения не эквивалентны - они связывают категории разной природы. Теория монад важна как часть попытки уловить то, что «сохраняют» присоединения. Другая половина теории, о которой можно узнать аналогичным образом из рассмотрения , обсуждается в рамках дуальной теории комонад .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G \ circ F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle F \ circ G}$

Формальное определение [ править ]

На протяжении всей статьи обозначается категория . Монада на состоит из endofunctor вместе с двумя естественными преобразованиями : (где обозначает тождественный функтор на ) и (где это функтор из в ). Они необходимы для выполнения следующих условий (иногда называемых условиями согласованности ):${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle T \ двоеточие C \ to C}$${\ displaystyle \ eta \ двоеточие 1_ {C} \ to T}$${\ displaystyle 1_ {C}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mu \ двоеточие T ^ {2} \ to T}$${\ displaystyle T ^ {2}}$${\ Displaystyle T \ circ T}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

• ${\ Displaystyle \ mu \ circ T \ mu = \ mu \ circ \ mu T}$(как естественные преобразования );${\ displaystyle T ^ {3} \ to T}$
• ${\ displaystyle \ mu \ circ T \ eta = \ mu \ circ \ eta T = 1_ {T}}$(как естественные преобразования ; здесь означает тождественное преобразование из в ).${\ displaystyle T \ to T}$${\ displaystyle 1_ {T}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Мы можем переписать эти условия, используя следующие коммутативные диаграммы :

См. Статью о естественных преобразованиях для объяснения обозначений и , или см. Ниже коммутативные диаграммы, не использующие эти понятия:${\ displaystyle T \ mu}$${\ displaystyle \ mu T}$

Первая аксиома сродни ассоциативности в моноидах, если мы думаем о ней как о бинарной операции моноида, а вторая аксиома сродни существованию элемента идентичности (который мы думаем как заданный ). Действительно, в качестве альтернативы монаду можно определить как моноид в категории , объекты которой являются эндофункторами, а морфизмы - естественными преобразованиями между ними, с моноидальной структурой, индуцированной композицией эндофункторов.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mathbf {End} _ {C}}$${\ displaystyle C}$

Монада набора мощности [ править ]

Булеана монадой является монадой на категории : Для набора LET быть булеан из и для функции Пусть функция , между множествами мощности , индуцированного с прямыми образами под . Для каждого набора , у нас есть карта , которая присваивает каждому в одноэлементном . Функция${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle Т (А)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$${\ Displaystyle Т (е)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\displaystyle \eta _{A}\colon A\to T(A)}$${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \{a\}}$

${\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A)}$

переводит набор множеств в свое объединение . Эти данные описывают монаду.

Замечания [ править ]

Аксиомы монады формально аналогичны моноидные аксиомы. Фактически, монады являются частными случаями моноидов, а именно моноидами среди эндофункторов , которые снабжены умножением, задаваемым композицией эндофункторов.${\displaystyle \operatorname {End} (C)}$

Состав монад - это вообще не монада. Например, монада двойного набора мощности не допускает никакой монадной структуры. ^[2]${\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}}$

Комонады [ править ]

Категорично двойное определение является Формальным определением комонады (или cotriple ); это можно быстро сказать в терминах, что комонада для категории - это монада для противоположной категории . Следовательно, это функтор от самого к себе с набором аксиом для счетчика и коумножения, которые возникают в результате поворота стрелок повсюду в только что данном определении.${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C}$

Монады относятся к моноидам так же, как комонады для комоноидов . Каждый набор является комоноидом уникальным образом, поэтому комоноиды менее известны в абстрактной алгебре, чем моноиды; однако комоноиды в категории векторных пространств с их обычным тензорным произведением важны и широко изучаются под названием коалгебр .

Терминологическая история [ править ]

Понятие монады было изобретено Роджером Годеманом в 1958 году под названием «стандартная конструкция». В 1960-х и 1970-х многие люди использовали название «тройка». Теперь стандартный термин «монада» принадлежит Сондерсу Мак Лейну .

Примеры [ править ]

Монады, возникающие из присоединений [ править ]

Любое прилегание

${\displaystyle F:C\rightleftarrows D:G}$

приводит к монады на C . Эта очень распространенная конструкция работает следующим образом: эндофунктор - это композит.

${\displaystyle T=G\circ F.}$

Этот эндофунктор быстро становится монадой, где единичная карта проистекает из единичной карты присоединения, а карта умножения строится с использованием общей карты присоединения:${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\to G\circ F}$

${\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F{\stackrel {G\circ {\text{counit}}\circ F}{\to }}G\circ F=T.}$

Фактически, любую монаду можно найти как явное присоединение функторов с помощью категории Эйленберга – Мура (категории -алгебр) ^[3] .${\displaystyle C^{T}}$${\displaystyle T}$

Двойная дуализация [ править ]

Двойная дуализация монада , для фиксированного поля к вытекает из примыкания

${\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{op}:(-)^{*}}$

где оба функтора задаются отправкой векторного пространства V в его двойственное векторное пространство . Ассоциированная монада отправляет векторное пространство V своему двойному двойнику . Эта монада обсуждается в гораздо большей степени Коком (1970) .${\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}$ ${\displaystyle V^{**}}$

Операторы замыкания на частично упорядоченных наборах [ править ]

Для категорий, возникающих из частично упорядоченных множеств (с одним морфизмом от до iff ), формализм становится намного проще: присоединенные пары являются связностями Галуа, а монады - операторами замыкания .${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$

Вольно-забывчивые приставки [ править ]

Например, пусть будет стирающий функтор из категории Grp из групп в категории Набор множеств, и пусть будет свободная группа функтор из категории множеств в категорию групп. Затем примыкает к . В этом случае ассоциированная монада принимает набор и возвращает базовый набор свободной группы . Единичное отображение этой монады задается отображениями${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T=G\circ F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Free} (X)}$

${\displaystyle X\rightarrow T(X)}$

включение любого набора в набор естественным образом в виде строк длины 1. Далее, умножение этой монады есть отображение${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Free} (X)}$

${\displaystyle T(T(X))\rightarrow T(X)}$

изготовленные из натуральной конкатенации или «уплощение» из 'строк строк. Это составляет два естественных превращения . Предыдущий пример о свободных группах может быть обобщен на любой тип алгебры в смысле многообразия алгебр в универсальной алгебре . Таким образом, каждый такой тип алгебры порождает монаду в категории множеств. Важно отметить, что тип алгебры может быть восстановлен из монады (как категория алгебр Эйленберга – Мура), поэтому монады также можно рассматривать как обобщающие многообразия универсальных алгебр.

Другая монада, возникающая из присоединения, - это когда является эндофунктором в категории векторных пространств, который отображает векторное пространство в его тензорную алгебру и который отображает линейные отображения в их тензорное произведение. Тогда у нас есть естественное преобразование, соответствующее вложению в его тензорную алгебру , и естественное преобразование, соответствующее отображению из в, полученному простым разложением всех тензорных произведений.${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T(T(V))}$${\displaystyle T(V)}$

Монады кодовой плотности [ править ]

В мягких условиях функторы, не допускающие сопряженного слева, также порождают монаду, так называемую монаду кодовой плотности . Например, включение

${\displaystyle \mathbf {FinSet} \subset \mathbf {Set} }$

не допускает левого сопряженного. Его codensity монада монада на множествах отправки любого набора X на множество ультрафильтров на X . Этот и подобные примеры обсуждаются в Leinster (2013) .

Алгебры для монады [ править ]

Для данной монады в категории естественно рассматривать -алгебры , т. Е. Объекты C, на которые T действует таким образом, который совместим с единицей и умножением монады. Более формально, A Т - алгебра является объектом из вместе со стрелкой из называется структурная карта алгебры , такие , что диаграммы${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (x,h)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle h\colon Tx\to x}$${\displaystyle C}$

добираться.

Морфизм из -алгебр является стрелкой из такой , что диаграммы${\displaystyle f\colon (x,h)\to (x',h')}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f\colon x\to x'}$${\displaystyle C}$

ездит на работу. T -алгебры образуют категорию, называемую категорией Эйленберга – Мура и обозначаемую .${\displaystyle C^{T}}$

Примеры [ править ]

Алгебры над монадой свободной группы [ править ]

Например, для монады свободной группы, обсуждаемой выше, T -алгебра - это множество X вместе с отображением свободной группы, порожденной X, в сторону X, подчиняющуюся условиям ассоциативности и унитальности. Такая структура эквивалентна утверждению, что X сама является группой.

Алгебры над монадой распределения [ править ]

Другой пример - монада распределения по категории множеств. Он определяется отправкой набора в набор функций с конечной поддержкой и таких, что их сумма равна . В обозначении конструктора наборов это набор${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to [0,1]}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty \\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}}$

Путем проверки определений можно показать, что алгебры над монадой распределения эквивалентны выпуклым множествам , т. Е. Множествам, снабженным операциями для подчиненных аксиомам, напоминающим поведение выпуклых линейных комбинаций в евклидовом пространстве. ^[4]${\displaystyle x+_{r}y}$${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle rx+(1-r)y}$

Алгебры над симметричной монадой [ править ]

Другой полезный пример монады - функтор симметрической алгебры в категории -модулей для коммутативного кольца .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):{\text{Mod}}(R)\to {\text{Mod}}(R)}$

отправляя -модуль в прямую сумму симметричных тензорных степеней${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}$

где . Например, где -алгебра справа рассматривается как модуль. Тогда алгебры над этой монадой являются коммутативными -алгебрами. Существуют также алгебры над монадами для переменных тензоров и полных тензорных функторов, дающих антисимметрические -алгебры и свободные -алгебры, так что${\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}$${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}$${\displaystyle T^{\bullet }(-)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \end{aligned}}}$

где первое кольцо - это свободная антисимметрическая алгебра над ин- образующими, а второе кольцо - это свободная алгебра над ин- образующими.${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$

Коммутативные алгебры в E-бесконечных кольцевых спектрах [ править ]

Аналогичная конструкция для коммутативных -алгебр S {\displaystyle \mathbb {S} } ^{[5], стр. 113,} дает коммутативные -алгебры для коммутативных -алгебр . Если - категория -модулей, то функтором является монада, заданная формулой${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {P} :{\mathcal {M}}_{A}\to {\mathcal {M}}_{A}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j}}$

где

${\displaystyle M^{j}=M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M}$

${\displaystyle j}$-раз. Тогда существует ассоциированная категория коммутативных -алгебр из категории алгебр над этой монадой.${\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}$${\displaystyle A}$

Монады и присоединения [ править ]

Как было сказано выше, любое присоединение порождает монаду. И наоборот, каждая монада возникает из некоторого присоединения, а именно присоединения свободно-забывчивого

${\displaystyle T(-):C\rightleftarrows C^{T}:{\text{forget}}}$

левый сопряженный которого переводит объект X в свободную T -алгебру T ( X ). Однако обычно существует несколько различных добавлений, дающих начало монаде: пусть будет категорией, объектами которой являются такие присоединения , что и чьи стрелки являются морфизмами присоединений, на которых тождественны . Тогда указанное выше присоединение к свободе-забывчивости, включающее категорию Эйленберга – Мура, является терминальным объектом в . Исходным объектом является категория Клейсли , которая по определению является полной подкатегорией, состоящей только из свободных T -алгебр, т. Е. T -алгебр вида${\displaystyle \mathbf {Adj} (C,T)}$${\displaystyle (F,G,e,\varepsilon )}$${\displaystyle (GF,e,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{T}}$${\displaystyle \mathbf {Adj} (C,T)}$${\displaystyle C^{T}}$${\displaystyle T(x)}$для некоторых объектов х из С .

Монадические присоединения [ править ]

Для любого присоединения к ассоциированной монаде T функтор G может быть факторизован как${\displaystyle (F:C\to D,G:D\to C,\eta ,\varepsilon )}$

${\displaystyle D{\stackrel {\tilde {G}}{\to }}C^{T}{\stackrel {\text{forget}}{\to }}C,}$

т.е. G ( Y ) может быть естественным образом наделен Т структурой -алгебры для любого Y в D . Присоединение называется монадическим присоединением, если первый функтор дает эквивалентность категорий между D и категорией Эйленберга – Мура . ^[6] По расширению функтор называется монадическим, если он имеет сопряженный слева${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle C^{T}}$${\displaystyle G\colon D\to C}$${\displaystyle F}$образуя монадическое присоединение. Например, присоединение между группами и множествами со свободным забыванием является монадическим, поскольку алгебры над ассоциированной монадой являются группами, как упоминалось выше. В общем, знание того, что присоединение является монадическим, позволяет реконструировать объекты в D из объектов в C и T-действия .

Теорема Бека об монадичности [ править ]

Теорема Бека об монадичности дает необходимое и достаточное условие монадичности присоединения. Упрощенная версия этой теоремы утверждает, что G монадическая, если она консервативна (или G отражает изоморфизмы, т. Е. Морфизм в D является изоморфизмом тогда и только тогда, когда его образ под G является изоморфизмом в C ) и C имеет и G сохраняет соэквалайзеры .

Например, функтор забывания из категории компактных хаусдорфовых пространств в множества монадичен. Однако забывчивый функтор из всех топологических пространств в множества не является консервативным, поскольку существуют непрерывные биективные отображения (между некомпактными или нехаусдорфовыми пространствами), которые не могут быть гомеоморфизмами . Таким образом, этот забывчивый функтор не монадичен. ^[7] Двойственная версия теоремы Бека, характеризующая комонадические присоединения, актуальна в различных областях, таких как теория топосов и вопросы алгебраической геометрии, связанные с происхождением . Первым примером комонадического присоединения является присоединение

${\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:\operatorname {forget} }$

для гомоморфизма колец между коммутативными кольцами. Это примыкание является comonadic, по теореме Бека, если и только если B является строго плоско , как A - модуль. Таким образом, это позволяет спускаться B -модулям, снабженным данными спуска (т. Е. Действием комонады, заданным присоединением) к A -модулям. Полученная в результате теория строго плоского спуска широко применяется в алгебраической геометрии.${\displaystyle A\to B}$

Использует [ редактировать ]

Монады используются в функциональном программировании для выражения типов последовательных вычислений (иногда с побочными эффектами). См. Монады в функциональном программировании и более математически ориентированный модуль Викибука b: Haskell / Теория категорий .

В категориальной логике, аналогия была проведена между монадой-комонадой теорией и модальной логикой через оператор замыкания , внутренние алгебры и их отношения к моделям от S4 и интуиционистской логики .

Обобщение [ править ]

Можно определить монады в 2 категории . Описанные выше монады - это монады для .${\displaystyle C}$${\displaystyle C=\mathbf {Cat} }$

См. Также [ править ]

• Распределительный закон между монадами
• Теория Ловера
• Монада (функциональное программирование)
• Поляда
• Сильная монада

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (1999), Теория категорий для вычислительной науки (PDF)
• Годеман, Роджер (1958), Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux. , Actualités Sci. Ind., Publ. Математика. Univ. Страсбург, 1252 , Париж: Герман, стр. Viii + 283 стр.
• Кок, Андерс (1970), "О двойных дуализация монад", Mathematica Scandinavica , 27 : 151, DOI : 10,7146 / math.scand.a-10995
• Ленстер, Том (2013), «Плотность кодирования и монада ультрафильтров», Теория и приложения категорий , 28 : 332–370, arXiv : 1209.3606 , Bibcode : 2012arXiv1209.3606L
• Маклейн, Сондерс (1978), Категории для рабочего математика , Тексты для выпускников по математике, 5 , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-4721-8 , ISBN 978-1-4419-3123-8
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы теории порядка, топологии, алгебры и пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .
• Риль, Эмили (2017), Теория категорий в контексте , ISBN 9780486820804
• Тури, Даниэле (1996–2001), конспект лекций по теории категорий (PDF)

Внешние ссылки [ править ]

• Монады , пять коротких лекций (с одним приложением).
• Книга Джона Баэза « Находки по математической физике на этой неделе» (неделя 89) охватывает монады в двух категориях.