Глубина (теория колец)
В коммутативной и гомологической алгебре глубина является важным инвариантом колец и модулей . Хотя глубина может быть определена более широко, наиболее часто рассматривается случай модулей над коммутативным нётеровым локальным кольцом . В этом случае глубина модуля связана с его проективной размерностью формулой Аусландера–Бухсбаума . Более элементарным свойством глубины является неравенство
где dim M обозначает размерность Крулля модуля M . Глубина используется для определения классов колец и модулей с хорошими свойствами, например, колец и модулей Коэна-Маколея , для которых выполняется равенство.
Пусть R — коммутативное кольцо, I — его идеал, а M — конечно порождённый R -модуль, обладающий тем свойством, что IM собственно содержится в M . Тогда I - глубина M , также обычно называемая степенью M , определяется как
Глубина локального кольца R с максимальным идеалом по определению есть его -глубина как модуль над собой. Если R локальное кольцо Коэна-Маколея , то глубина R равна размерности R .
По теореме Дэвида Риса глубину также можно охарактеризовать с помощью понятия регулярной последовательности .
Предположим, что R — коммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом , а M — конечно порождённый R -модуль. Тогда все максимальные регулярные последовательности x 1 ,..., x n для M , где каждый x i принадлежит , имеют одинаковую длину n , равную -глубине M .