Псевдосфера

В геометрии , A Псевдосфера является поверхностью с постоянной отрицательной гауссовой кривизны . Теорема Гильберта гласит, что никакую псевдосферу нельзя погрузить в трехмерное пространство.

Более подробное описание псевдосферы [ править ]

Псевдосфера радиуса $R$ - это поверхность, имеющая кривизну $-$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $1 / R 2$ в каждой точке. Его название происходит от аналогии со сферой радиуса $R$ , которая является поверхностью кривизны. $1 / R 2$ . Этот термин был введен Эухенио Бельтрами в его статье 1868 года о моделях гиперболической геометрии . ^[1]

Tractricoid [ править ]

Трактрикоид

Же поверхность может быть также описана как результат вращаясь в трактрисе о ее асимптоте . По этой причине псевдосферу еще называют трактрикоидом . Например, (половина) псевдосфера (с радиусом 1) представляет собой поверхность вращения трактрисы, параметризованную ^[2]

{\ displaystyle t \ mapsto \ left (t- \ tanh {t}, \ operatorname {sech} \, {t} \ right), \ quad \ quad 0 \ leq t <\ infty.}

Это сингулярное пространство (экватор особенность), но вдали от особенностей, она имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну и , следовательно , локально изометрическое к гиперболической плоскости .

Название «псевдосфера» происходит потому, что она имеет двумерную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны, точно так же, как сфера имеет поверхность с постоянной положительной гауссовой кривизной. Подобно тому, как сфера имеет в каждой точке положительно изогнутую геометрию купола, вся псевдосфера в каждой точке имеет отрицательно изогнутую геометрию седла .

Еще в 1693 году Христиан Гюйгенс обнаружил, что объем и площадь поверхности псевдосферы конечны ^[3], несмотря на бесконечную протяженность формы вдоль оси вращения. Для заданного края радиуса $R$ , то область является $4p - R 2$ так же , как это для области, в то время как объем является $2 / 3 π R 3$ и, следовательно, вдвое меньше сферы этого радиуса. ^[4]^[5]

Универсальное перекрытие [ править ]

Псевдосфера и ее связь с тремя другими моделями гиперболической геометрии

Полупсевдосфера кривизны -1 покрыта частью гиперболической верхней полуплоскости с $y \geq 1$ . ^[6] Покрывающая карта периодична в направлении $x$ с периодом 2 $π$ и переводит орициклы $y = c$ в меридианы псевдосферы, а вертикальные геодезические $x = c$ - в трактрисы, которые порождают псевдосферу. Это отображение является локальной изометрией и, таким образом, демонстрирует часть $y \geq 1$ верхней полуплоскости как универсальное накрывающее пространство псевдосферы. Точное отображение

(x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}

куда

t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}

- параметризация трактрисы выше.

Гиперболоид [ править ]

В некоторых источниках, которые используют модель гиперболоида гиперболической плоскости, гиперболоид упоминается как псевдосфера . ^[7] Это слово связано с тем, что гиперболоид можно рассматривать как сферу воображаемого радиуса, встроенную в пространство Минковского .

См. Также [ править ]

Поверхность Дини
Рог Габриэля
Гиперболоид
Гиперболоидная структура
Квазисфера
Уравнение синуса – Гордона
Сфера
Поверхность революции

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Beltrami, Eugenio (1868). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии». Гиор. Мат. (на итальянском). 6 : 248–312.
(Также Бельтрами, Эудженио. Opere Matematiche [ Математические работы ] (на итальянском языке). 1, стр. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9.; Бельтрами, Эухенио (1869). "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne" [Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии]. Annales de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 6 : 251–288. Архивировано из оригинала на 2016-02-02 . Проверено 24 июля 2010 .
)
^ Bonahon, Фрэнсис (2009). Низкоразмерная геометрия: от евклидовых поверхностей до гиперболических узлов . Книжный магазин AMS. п. 108. ISBN 0-8218-4816-X., Глава 5, страница 108
^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (перераб., 3-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8., выписка со страницы 345
^ Le Lionnais, F. (2004). Великие течения математической мысли, Vol. II: Математика в искусстве и науках (2-е изд.). Courier Dover Publications. п. 154. ISBN 0-486-49579-5., Глава 40, страница 154
^ Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосфера» . MathWorld .
^ Терстон, Уильям, Трехмерная геометрия и топология , 1 , Princeton University Press, стр. 62.
^ Гасанов, Эльман (2004), "Новая теория комплексных лучей" , IMA J. Appl. Математика. , 69 : 521-537, DOI : 10,1093 / имамат / 69.6.521 , ISSN 1464-3634

Стиллвелл, Дж. (1996). Источники гиперболической геометрии . Амер. Математика. Soc & London Math. Soc.
Хендерсон, DW; Таймина, Д. (2006). «Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей». Эстетика и математика (PDF) . Springer-Verlag.
Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение . Саймон и Шустер . п. 140, 145, 155.

Внешние ссылки [ править ]

Неевклид
Вязание крючком гиперболической плоскости: интервью с Дэвидом Хендерсоном и Дайной Тайминой
Норман Вильдбергер, лекция 16 , История математики, Университет Нового Южного Уэльса. YouTube. 2012 май.
Псевдосферические поверхности в виртуальном математическом музее.

[1] Перейти ↑ Beltrami, Eugenio (1868). «Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии». Гиор. Мат. (на итальянском). 6 : 248–312.
(Также Бельтрами, Эудженио. Opere Matematiche [ Математические работы ] (на итальянском языке). 1, стр. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9.; Бельтрами, Эухенио (1869). "Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne" [Трактат об интерпретации неевклидовой геометрии]. Annales de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 6 : 251–288. Архивировано из оригинала на 2016-02-02 . Проверено 24 июля 2010 .
)

[2] Bonahon, Фрэнсис (2009). Низкоразмерная геометрия: от евклидовых поверхностей до гиперболических узлов . Книжный магазин AMS. п. 108. ISBN 0-8218-4816-X., Глава 5, страница 108

[3] Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (перераб., 3-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8., выписка со страницы 345

[4] Le Lionnais, F. (2004). Великие течения математической мысли, Vol. II: Математика в искусстве и науках (2-е изд.). Courier Dover Publications. п. 154. ISBN 0-486-49579-5., Глава 40, страница 154

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосфера» . MathWorld .

[6] Терстон, Уильям, Трехмерная геометрия и топология , 1 , Princeton University Press, стр. 62.

[7] Гасанов, Эльман (2004), "Новая теория комплексных лучей" , IMA J. Appl. Математика. , 69 : 521-537, DOI : 10,1093 / имамат / 69.6.521 , ISSN 1464-3634

[1]