Tractrix

Трактрисы (от латинского глагола trahere «тянуть, тянуть», множественное число: tractrices ) представляет собой кривую , по которой объект перемещается, под действием трения, когда потянувшийся на горизонтальную плоскости с помощью линейного сегмента , прикрепленного к трактору (вытягивать) точка, которая движется под прямым углом к исходной линии между объектом и съемником с бесконечно малой скоростью . Следовательно, это кривая преследования . Впервые он был введен Клодом Перро в 1670 году, а затем изучен Исааком Ньютоном (1676) и Христианом Гюйгенсом (1692). ^{[цитата необходима ]}

Трактрикс с исходным объектом в

(4,0)

Математический вывод [ править ]

Предположим , что объект находится в $(с, 0)$ (или $(4,0)$ в примере , показанном справа), и съемник в происхождении , так что длина вытягивания нити (4 в примере справа) . Затем съемник начинает движение по оси $y$ в положительном направлении. В каждый момент резьба будет касаться кривой $y$ $=$ $y$ $($ $x$ $),$ описываемой объектом, так что она полностью определяется движением съемника. Математически, если координаты объекта $($ $x$ $,$ $y$ $)$ , $y$ -координата съемника $y + sign (y) \sqrt a 2 - x 2$ по теореме Пифагора . Запись, что наклон резьбы равен наклону касательной к кривой, приводит к дифференциальному уравнению

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} {x}}}

с начальным условием $y (a) = 0$ . Его решение

{\ displaystyle y = \ int _ {x} ^ {a} {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -t ^ {2}}} {t}} \, dt = \ pm \ left (a \ ln {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} {x}} - {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \ right), }

где знак $\pm$ зависит от направления (положительного или отрицательного) движения съемника.

Первый член этого решения также можно записать

{\ displaystyle a \ operatorname {arsech} {\ frac {x} {a}},}

где $arsech$ - обратная гиперболическая секущая функция.

Знак перед решением зависит от того, движется съемник вверх или вниз. Обе ветви принадлежат трактрису, встречаясь в точке возврата $(a, 0)$ .

Основа трактрисы [ править ]

Существенным свойством трактрисы является постоянство расстояния между точкой $P$ на кривой и пересечением касательной в точке $P$ с асимптотой кривой.

Трактрикс можно рассматривать по-разному:

Это геометрическое место центра качения гиперболической спирали (без заноса) по прямой.
Это эвольвентное из провеса функции, которая описывает полностью гибкую, неэластичную , однородную строку , прикрепленную к двум точкам, подверженные гравитационному полю. Контактная сеть имеет уравнение $y (x) = a ch Икс / а$ .
Траектория, определяемая серединой задней оси автомобиля, который тянут за трос с постоянной скоростью и с постоянным направлением (первоначально перпендикулярно транспортному средству).
Это (нелинейная) кривая, которую окружность, катящаяся по прямой, всегда пересекает перпендикулярно.

Трактрикс создается концом шеста (лежащим на земле). Его другой конец сначала толкают, а затем тянут за палец, когда он раскручивается в одну сторону.

Функция допускает горизонтальную асимптоту. Кривая симметрична относительно оси $y$ . Радиус кривизны является $г = кроватка Икс / y$ .

Большое значение трактрисы заключалось в изучении ее поверхности вращения вокруг своей асимптоты: псевдосферы . Изучаемые Бельтрами в 1868 году, ^{[ править ]} в качестве поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны , псевдосферой является локальной моделью гиперболической геометрии . Идея была проведена далее Каснера и Ньюмен в своей книге Математика и воображение , ^{[ править ]} , где они показывают игрушечный поезд тащит на карманные часы , чтобы генерировать трактрисе.

Свойства [ править ]

Цепная цепь как эволюция трактрисы

Кривая может быть параметризована уравнением . ^[1] ${\ Displaystyle х = т- \ tanh (t), y = 1 / {\ cosh (t)}}$
Из-за геометрического способа определения трактриса обладает тем свойством, что отрезок его касательной между асимптотой и точкой касания имеет постоянную длину $a$ .
Длина дуги одной ветви между $х = х 1$ и $х = х 2$ является $пер$ $х 1 / х 2$ .
Площадь между трактрисой и ее асимптотой равна $π a 2 / 2$ которое можно найти с помощью интегрирования или теоремы Мамикона .
Конверт из нормалей в трактрисе (то есть, эволютный из трактрисы) является цепной линия (или цепь кривой ) определяется $у = а Cosh Икс / а$ .
Поверхность вращения, созданная вращением трактрисы вокруг своей асимптоты, является псевдосферой .

Практическое применение [ править ]

В 1927 г. П. Г. А. Х. Фойгт запатентовал рупорный громкоговоритель дизайн , основанный на предположении , что фронт волны путешествия через рупор сферический радиуса постоянная. Идея состоит в том, чтобы минимизировать искажения, вызванные внутренним отражением звука внутри рупора. Полученная форма представляет собой поверхность вращения трактрисы. ^[2]
Важное применение - технология формовки листового металла. В частности, профиль tractrix используется для угла матрицы, на которой листовой металл изгибается во время глубокой вытяжки. ^[3]

Зубчатый ремень -pulley конструкция обеспечивает повышенную эффективность для передачи механической энергии с помощью tractix формы цепной линии для своих зубов. ^[4] Эта форма сводит к минимуму трение зубцов ремня, зацепляющих шкив, поскольку подвижные зубья входят в зацепление и расцепляются с минимальным скользящим контактом. В оригинальных конструкциях ремня ГРМ использовались более простые трапециевидные или круглые зубья, которые вызывали значительное скольжение и трение.

Машины для рисования [ править ]

В октябре – ноябре 1692 года Христиан Гюйгенс описал три тракторных вытяжных машины. ^{[ необходима цитата ]}
В 1693 году Готфрид Вильгельм Лейбниц изобрел «универсальную тяговую машину», которая теоретически могла интегрировать любое дифференциальное уравнение. ^[5] Концепция представляла собой аналоговый вычислительный механизм, реализующий принцип тяги. Устройство было непрактично построить с использованием технологий времен Лейбница, и оно так и не было реализовано.
В 1706 году Джон Перкс построил тяговую машину, чтобы реализовать гиперболическую квадратуру. ^[6]
В 1729 году Иоганн Полени построил тяговое устройство, позволяющее рисовать логарифмические функции . ^[7]

Историю всех этих машин можно увидеть в статье HJM Bos ^[8]

См. Также [ править ]

Поверхность Дини
Гиперболические функции для $Тань$ , $Сечь$ , $CSCH$ , $arcosh$
Натуральный логарифм для $ЛУ$
Функция $подписи$ для $sgn$
Тригонометрическая функция для $sin$ , $cos$ , $tan$ , $arccot$ , $csc$

Заметки [ править ]

^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Tractrix" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
^ Дизайн Horn громкоговорителя стр. 4-5. (Перепечатано из журнала Wireless World, март 1974 г.)
^ Ланге, Курт (1985). Справочник по обработке металлов давлением . Книжная компания McGraw Hill. п. 20,43.
^ «Руководство по проектированию привода Gates Powergrip GT3» (PDF) . Корпорация Гейтс . 2014. с. 177 . Проверено 17 ноября 2017 года . Профиль зуба GT основан на математической функции tractix. В технических справочниках эта функция описывается как система «без трения». Это раннее развитие Шиле описывается как инволютивная форма цепной связи.
^ Milici, Pietro (2014). Лолли, Габриэле (ред.). От логики к практике: итальянские исследования в философии математики . Springer. ... изучены механические устройства ... для решения частных дифференциальных уравнений ... Мы должны вспомнить «универсальную тяговую машину» Лейбница.
^ Перкс, Джон (1706). «Построение и свойства новой квадратрисы гиперболы». Философские труды . 25 : 2253–2262. DOI : 10,1098 / rstl.1706.0017 . JSTOR 102681 .
^ Полени, Джон (1729). Epistolarum mathematicanim fasciculus . п. письмо нет. 7.
^ Бос, Х. Дж. М. (1989). «Признание и чудо - Гюйгенс, тяговое движение и некоторые мысли по истории математики» (PDF) . Евклид . 63 : 65–76.

Ссылки [ править ]

Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение . Саймон и Шустер . п. 141–143 .
Лоуренс, Дж. Деннис (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С. 5, 199 . ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Tractrix .

О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Tractrix" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
«Трактрикс» . PlanetMath .
«Знаменитые кривые на плоскости» . PlanetMath .
Tractrix на MathWorld
Модуль: Карманные часы Лейбница ODE в PHASER

[1] О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Tractrix" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.

[2] Дизайн Horn громкоговорителя стр. 4-5. (Перепечатано из журнала Wireless World, март 1974 г.)

[3] Ланге, Курт (1985). Справочник по обработке металлов давлением . Книжная компания McGraw Hill. п. 20,43.

[4] «Руководство по проектированию привода Gates Powergrip GT3» (PDF) . Корпорация Гейтс . 2014. с. 177 . Проверено 17 ноября 2017 года . Профиль зуба GT основан на математической функции tractix. В технических справочниках эта функция описывается как система «без трения». Это раннее развитие Шиле описывается как инволютивная форма цепной связи.

[5] Milici, Pietro (2014). Лолли, Габриэле (ред.). От логики к практике: итальянские исследования в философии математики . Springer. ... изучены механические устройства ... для решения частных дифференциальных уравнений ... Мы должны вспомнить «универсальную тяговую машину» Лейбница.

[6] Перкс, Джон (1706). «Построение и свойства новой квадратрисы гиперболы». Философские труды . 25 : 2253–2262. DOI : 10,1098 / rstl.1706.0017 . JSTOR 102681 .

[7] Полени, Джон (1729). Epistolarum mathematicanim fasciculus . п. письмо нет. 7.

[8] Бос, Х. Дж. М. (1989). «Признание и чудо - Гюйгенс, тяговое движение и некоторые мысли по истории математики» (PDF) . Евклид . 63 : 65–76.