| Шестигранная черепичная сотовая конструкция | |
|---|---|
 Перспективный вид в модели диска Пуанкаре | |
| Тип | Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | {6,3,3} t {3,6,3} 2t {6,3,6} 2t {6,3 [3] } t {3 [3,3] } |
| Диаграммы Кокстера |        ↔    ↔ ↔  ↔ |
| Клетки | {6,3}  |
| Лица | шестигранник {6} |
| Фигурка края | треугольник {3} |
| Фигура вершины |  тетраэдр {3,3} |
| Двойной | Сотовый четырехгранник Order-6 |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,6,3] , [6,3,6] , [6,3 [3] ] , [3 [3,3] ] |
| Характеристики | Обычный |
В области гиперболической геометрии , то гексагональные плиточные сотни являются одной из 11 обычных паракомпактных сот в 3-мерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактен, потому что имеет ячейки, состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка представляет собой гексагональную мозаику , вершины которой лежат на орисфере , поверхности в гиперболическом пространстве, которая приближается к единственной идеальной точке на бесконечности.
Символ Шлефли шестиугольной мозаичной сотовой структуры - {6,3,3}. Так как шестиугольная мозаика равна {6,3}, у этой соты есть три таких шестиугольной мозаики, пересекающиеся на каждом краю. Поскольку символ Шлефли тетраэдра равен {3,3}, вершина этой соты является тетраэдром. Таким образом, четыре шестиугольных мозаики пересекаются в каждой вершине этой соты, шесть шестиугольников пересекаются в каждой вершине и четыре ребра пересекаются в каждой вершине. [1]
Изображения [ редактировать ]
Если смотреть в перспективе вне модели диска Пуанкаре , на изображении выше показана одна шестиугольная мозаичная ячейка внутри сот и ее орисфера среднего радиуса (орисфера, падающая на средние точки краев). В этой проекции шестиугольники бесконечно малы по направлению к бесконечной границе, асимптотически приближаясь к одной идеальной точке. Его можно рассматривать как подобие апейрогонального замощения порядка 3 , {∞, 3} пространства H 2 , с орициклами, описывающими вершины апейрогональных граней.
| {6,3,3} | {∞, 3} |
|---|---|
| Одна шестиугольная мозаичная ячейка шестиугольной мозаичной сотовой структуры | Порядок-3 apeirogonal плиточного с зеленым apeirogon и его орициклом |
Построения симметрии [ править ]
Он имеет в общей сложности пять отражающих конструкций из пяти связанных групп Кокстера, все с четырьмя зеркалами, и только первое из них является обычным: 
[6,3,3], [3,6,3], [6,3,6], 
[6,3 [3] ] и [3 [3,3] ], имеющие фундаментальные области в 1, 4, 6, 12 и 24 раза соответственно . В разметках подгрупп нотации Кокстера они связаны следующим образом: [6, (3,3) * ] (удалить 3 зеркала, подгруппа индекса 24); [3,6,3 * ] или [3 * , 6,3] (удалить 2 зеркала, подгруппа индекса 6); [1 + , 6,3,6,1 + ] (удалить два ортогональных зеркала, подгруппа индекса 4); все они изоморфны [3 [3,3] ]. Окруженные диаграммы Кокстера - это, , , а также , представляющие различные типы (цвета) шестиугольных мозаик в конструкции Wythoff .
Связанные многогранники и соты [ править ]
Гексагональные мозаичные соты - это обычные гиперболические соты в 3-м пространстве, одна из 11 которых является паракомпактной.
| 11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} | |||||||
Это одна из 15 однородных паракомпактных сот в группе [6,3,3] Кокстера, наряду с ее двойными тетраэдрическими сотами шестого порядка .
| [6,3,3] семейные соты | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {6,3,3} | г {6,3,3} | т {6,3,3} | рр {6,3,3} | т 0,3 {6,3,3} | tr {6,3,3} | т 0,1,3 {6,3,3} | т 0,1,2,3 {6,3,3} | ||||
| {3,3,6} | г {3,3,6} | т {3,3,6} | рр {3,3,6} | 2т {3,3,6} | tr {3,3,6} | т 0,1,3 { 3,3,6 } | т 0,1,2,3 { 3,3,6 } | ||||
Он является частью последовательности регулярных полихор , которые включают 5-элементное {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} и 120-элементное {5,3,3} евклидово 4-пространство, наряду с другими гиперболическими сотами, содержащими четырехгранные вершины .
| {п, 3,3} соты | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Космос | S 3 | H 3 | ||||||
| Форма | Конечный | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
| Имя | {3,3,3} | {4,3,3} | {5,3,3} | {6,3,3} | {7,3,3} | {8,3,3} | ... {∞, 3,3} | |
| Изображение | ||||||||
| Диаграммы Кокстера | 1 | |  |  | |  |  |  |
| 4 |  | | | | ||||
| 6 | | | | | ||||
| 12 |  | |   |   | ||||
| 24 | | | ||||||
| Ячейки {p, 3}  | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | |
Он также является частью последовательности регулярных сот формы {6,3, p}, каждая из которых состоит из шестиугольных мозаичных ячеек:
| {6,3, п} соты | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Космос | H 3 | ||||||||||
| Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||||||
| Имя | {6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {6,3,7} | {6,3,8} | ... {6,3, ∞} | ||||
| Coxeter | |     | |       | | | | ||||
| Изображение | |||||||||||
| Вершинная фигура {3, p} | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} | ||||
Выпрямленные шестиугольные черепичные соты [ править ]
| Ректифицированная гексагональная черепичная сотовая структура | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | r {6,3,3} или t 1 {6,3,3} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ |
| Клетки | {3,3} r {6,3} или |
| Лица | треугольник {3} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | треугольная призма |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,3 [3] ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Выпрямляется гексагональной плиточные сот , т 1 {6,3,3},имеет тетраэдрические и тригексагональные грани мозаики с треугольной призмой вершиной . В Конструкция полусимметрии чередует два типа тетраэдров.
| Шестигранная черепичная сотовая конструкция | Ректифицированная гексагональная черепичная сотовая структура или же |
|---|---|
| Связанные мозаики H 2 | |
| Апейрогональная мозаика порядка 3 | Триапейрогональная черепица или же |
Усеченные шестиугольные мозаичные соты [ править ]
| Усеченный шестиугольный черепичный сотовый | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т {6,3,3} или т 0,1 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | {3,3} т {6,3} |
| Лица | треугольник {3} двенадцатигранник {12} |
| Фигура вершины | треугольная пирамида |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усеченной гексагональной плиточные соты , т 0,1 {6,3,3},имеет тетраэдрические и усеченные шестиугольные грани мозаики с треугольной пирамидальной вершиной .
Он аналогичен двумерному гиперболическому усеченному апейрогональному замощению порядка 3 , t {∞, 3} с апейрогональными и треугольными гранями:
Усеченные шестиугольные мозаичные соты [ править ]
| Сотовые шестиугольные мозаичные соты с усеченной бородкой Тетраэдрические соты с шестигранной усеченной структурой | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | 2 т {6,3,3} или т 1,2 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | ↔ |
| Клетки | т {3,3} т {3,6} |
| Лица | треугольник {3} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | дигональный дисфеноид |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,3 [3] ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Bitruncated гексагональный плиточный сота или bitruncated порядка 6 тетраэдрических сот , т 1,2 {6,3,3},имеет усеченный тетраэдр и шестиугольные мозаичные ячейки с двуугольной вершиной дисфеноида .
Гексагональные гексагональные черепичные соты [ править ]
| Гексагональные гексагональные черепичные соты | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | rr {6,3,3} или t 0,2 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | r {3,3} rr {6,3} {} × {3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | клин |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantellated гексагональных плиточных сот , т 0,2 {6,3,3},имеет октаэдр , ромбогексагональную мозаику и треугольные призматические ячейки с клиновидной вершиной .
Сота с усеченными шестиугольными плитками [ править ]
| Гексагональная черепица с усеченными сотовыми ячейками | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | tr {6,3,3} или t 0,1,2 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | t {3,3} tr {6,3} {} × {3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
| Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated гексагональных плиточных сот , т 0,1,2 {6,3,3},имеет усеченный тетраэдр , усеченную трехгексагональную мозаику и ячейки треугольной призмы с зеркальной фигурой вершины клиновидной кости .
Пучковатые шестиугольные черепичные соты [ править ]
| Гексагональная гексагональная черепица с ячеистой структурой | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т 0,3 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | {3,3} {6,3} {} × {6} {} × {3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | неправильная треугольная антипризма |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcinated гексагональных плиточных сот , т 0,3 {6,3,3},имеет ячейки тетраэдра , шестиугольной мозаики , шестиугольной призмы и треугольной призмы с неправильной треугольной формой вершины антипризмы .
Усеченные шестиугольные мозаичные соты [ править ]
| Гексагональная черепичная усеченная сотовая структура | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т 0,1,3 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | rr {3,3} {} x {3} {} x {12} t {6,3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} двенадцатигранник {12} |
| Фигура вершины | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcitruncated гексагональных плиточных сот , т 0,1,3 {6,3,3},имеет кубооктаэдр , треугольную призму , додекагональную призму и усеченные шестиугольные мозаичные ячейки с равнобедренной трапециевидной пирамидой в вершине .
Пучковые гексагональные черепичные соты [ править ]
| Сотовые соты с гексагональной черепицей, усеченные четырехгранные соты шестого порядка. | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т 0,2,3 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | t {3,3} {} x {6} rr {6,3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcicantellated гексагонального плиточный сота или runcitruncated порядка 6 сот четырехгранных , т 0,2,3 {6,3,3},имеет усеченный тетраэдр , гексагональную призму и ромбитригексагональные мозаичные ячейки с равнобедренной трапециевидной пирамидой в вершине .
Усеченные шестиугольные мозаичные соты [ править ]
| Усеченные гексагональные мозаичные соты Тетраэдрические соты с усеченными формами шестого порядка | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {6,3,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | tr {3,3} {} x {6} {} x {12} tr {6,3} |
| Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
| Фигура вершины | неправильный тетраэдр |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Omnitruncated гексагонального плиточный сота или omnitruncated порядка 6 сот четырехгранных , т 0,1,2,3 {6,3,3},имеет усеченный октаэдр , гексагональную призму , додекагональную призму и усеченные трехгексагональные мозаичные ячейки с неправильной формой вершины тетраэдра .
См. Также [ править ]
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
- Паракомпактные однородные соты
- Чередующиеся шестиугольные черепичные соты
Ссылки [ править ]
- ↑ Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Глава 10, Таблица III.
- Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
- Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
- Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований (1999), том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [1] [2]
- Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Классы соизмеримости гиперболических групп Кокстера , (2002) H 3 : p130. [3]
Внешние ссылки [ править ]
- Джон Баэз , Visual Insight : {6,3,3} соты (2014/03/15)
- Джон Баэз , Visual Insight : {6,3,3} соты в верхнем полупространстве (15.09.2013)
- Джон Баэз , Visual Insight : усеченные {6,3,3} соты (2016/12/01)
