| Сотовый четырехгранник Order-6 | |
|---|---|
 Перспективный вид в модели диска Пуанкаре | |
| Тип | Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | {3,3,6} {3,3 [3] } |
| Диаграммы Кокстера |      ↔   |
| Клетки | {3,3}  |
| Лица | треугольник {3} |
| Фигурка края | шестигранник {6} |
| Фигура вершины |   треугольная черепица |
| Двойной | Шестигранная черепичная сотовая конструкция |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,3 [3] ] |
| Характеристики | Обычный, квазирегулярный |
В гиперболическом 3-пространстве , то порядок-6 тетраэдрические сотни являются паракомпактной регулярным пространством заполнения тесселяция (или сотни ). Он паракомпактен, потому что у него есть фигуры вершин, составленные из бесконечного числа граней, и все вершины являются идеальными точками на бесконечности. С символом Шлефли {3,3,6} тетраэдрические соты порядка 6 имеют шесть идеальных тетраэдров по каждому краю. Все вершины идеальны , с бесконечным количеством тетраэдров, существующих вокруг каждой вершины в треугольной фигуре вершины мозаики . [1]
Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Построения симметрии [ править ]
Тетраэдрические соты шестого порядка имеют вторую конструкцию в виде однородных сот с символом Шлефли {3,3 [3] }. Эта конструкция содержит чередующиеся типы или цвета тетраэдрических ячеек. В обозначениях Кокстера эта полусимметрия представлена как [3,3,6,1 + ] ↔ [3, ((3,3,3))] или [3,3 [3] ]:
↔ 
.
Связанные многогранники и соты [ править ]
Тетраэдрические соты порядка 6 похожи на двумерную треугольную мозаику бесконечного порядка {3, ∞}. Обе мозаики правильные и содержат только треугольники и идеальные вершины.
Тетраэдрические соты порядка 6 также являются обычными гиперболическими сотами в 3-м пространстве и одним из 11, которые являются паракомпактными.
| 11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} | |||||||
Эти соты - одна из 15 однородных паракомпактных сот в группе [6,3,3] Кокстера, наряду с ее двойными, гексагональными плиточными сотами .
| [6,3,3] семейные соты | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {6,3,3} | г {6,3,3} | т {6,3,3} | рр {6,3,3} | т 0,3 {6,3,3} | tr {6,3,3} | т 0,1,3 {6,3,3} | т 0,1,2,3 {6,3,3} | ||||
| {3,3,6} | г {3,3,6} | т {3,3,6} | рр {3,3,6} | 2т {3,3,6} | tr {3,3,6} | т 0,1,3 { 3,3,6 } | т 0,1,2,3 { 3,3,6 } | ||||
Тетраэдрические соты порядка 6 являются частью последовательности регулярных полихор и сот с тетраэдрическими ячейками .
| {3,3, p} многогранники | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Космос | S 3 | H 3 | |||||||||
| Форма | Конечный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||||
| Имя | {3,3,3} | {3,3,4}  | {3,3,5} | {3,3,6} | {3,3,7} | {3,3,8}  | ... {3,3, ∞}  | ||||
| Изображение | |||||||||||
Фигура вершины | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} | ||||
Он также является частью последовательности сот с треугольными фигурами вершин .
| Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имя | {3,3,6} {3,3 [3] } | {4,3,6} {4,3 [3] } | {5,3,6} {5,3 [3] } | {6,3,6} {6,3 [3] } | {7,3,6} {7,3 [3] } | {8,3,6} {8,3 [3] } | ... {∞, 3,6} {∞, 3 [3] } |
 | | | | | | | |
| Изображение | |||||||
| Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Выпрямленные тетраэдрические соты порядка 6 [ править ]
| Выпрямленные четырехгранные соты порядка-6 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты Полуправильные соты |
| Символы Шлефли | r {3,3,6} или t 1 {3,3,6} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ |
| Клетки | г {3,3} {3,6} |
| Лица | треугольник {3} |
| Фигура вершины | шестиугольная призма |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,3 [3] ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Выпрямленные порядок-6 тетраэдрические сотни , т 1 {3,3,6} имеют октаэдрический и треугольную черепицу клетки , расположенные в виде гексагональной призмы вершины фигуры .
Перспективный вид в модели диска Пуанкаре
| Космос | H 3 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
| Имя | г {3,3,6} | г {4,3,6} | г {5,3,6} | г {6,3,6} | г {7,3,6} | ... г {∞, 3,6} | |
| Изображение | |||||||
| Ячейки {3,6} | г {3,3} | г {4,3} | г {5,3} | г {6,3} | г {7,3} | г {∞, 3} | |
Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 [ править ]
| Усеченные четырехгранные соты порядка 6 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | т {3,3,6} или т 0,1 {3,3,6} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ |
| Клетки | т {3,3} {3,6} |
| Лица | треугольник {3} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | шестиугольная пирамида |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,3 [3] ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усеченный порядок 6 тетраэдрические сотни , т 0,1 {3,3,6} имеют усеченный тетраэдр и треугольные облицовочные клетки расположены в виде шестиугольной пирамида вершина фигуры .
Тетраэдрические соты с усеченной битой порядка 6 [ править ]
Bitruncated порядок-6 тетраэдрические сотни эквивалентны bitruncated гексагональных плиточных сот .
Сотовые четырехгранные соты порядка 6 [ править ]
| Сотовые четырехгранные соты порядка 6 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | rr {3,3,6} или t 0,2 {3,3,6} |
| Диаграммы Кокстера | ↔  |
| Клетки | г {3,3} г {3,6} {} х {6} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | равнобедренная треугольная призма |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,3 [3] ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantellated порядок-6 тетраэдрические сотни , т 0,2 {3,3,6} имеет кубооктаэдр , trihexagonal черепицы и гексагональную призму клетки , расположенные в виде равнобедренной треугольной призма вершина фигуры .
Усеченные тетраэдрические соты шестого порядка [ править ]
| Гантусеченные тетраэдрические соты порядка 6 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | tr {3,3,6} или t 0,1,2 {3,3,6} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ |
| Клетки | tr {3,3} t {3,6} {} x {6} |
| Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
| Группы Кокстера | , [3,3,6] , [3,3 [3] ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated порядок-6 тетраэдрические сотни , т 0,1,2 {3,3,6} имеют усеченный октаэдр , гексагональную черепицу и гексагональную призму клетки , соединенные в зеркальной клиновидной вершине фигуре .
Тетраэдрические соты Runcinated порядка 6 [ править ]
Bitruncated порядок-6 тетраэдрические сотни эквивалентны bitruncated гексагональных плиточных сот .
Усеченные тетраэдрические соты порядка 6 [ править ]
Runcitruncated порядок-6 тетраэдрические сотни эквивалентны runcicantellated гексагональных плиточных сот .
Тетраэдрические соты с разветвленными контурами шестого порядка [ править ]
Runcicantellated порядок-6 тетраэдрические сотни эквивалентны runcitruncated гексагональных плиточных сот .
Усеченные четырехгранные соты порядка 6 [ править ]
Полностью усеченные тетраэдрические соты шестого порядка эквивалентны полусеченным шестиугольным мозаичным сотам .
См. Также [ править ]
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
- Паракомпактные однородные соты
Ссылки [ править ]
- ↑ Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Глава 10, Таблица III.
- Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
- Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
