Паракомпактные однородные соты
В геометрии однородные соты в гиперболическом пространстве представляют собой мозаики из ячеек выпуклых однородных многогранников . В трехмерном гиперболическом пространстве существует 23 семейства групп Кокстера паракомпактных однородных сот, порожденных конструкциями Витхоффа и представленных кольцевыми перестановками диаграмм Кокстера для каждого семейства. Эти семейства могут создавать однородные соты с бесконечными или неограниченными гранями или фигурой вершины , включая идеальные вершины на бесконечности, подобныегиперболические однородные мозаики в 2-мерном пространстве .
Из однородных паракомпактных сот H 3 11 являются правильными , что означает, что их группа симметрий действует транзитивно на их флагах. Они имеют символ Шлефли {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6 }, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6} и показаны ниже. Четыре имеют конечные идеальные многогранные ячейки: {3,3,6}, {4,3,6}, {3,4,4} и {5,3,6}.
Это полное перечисление 151 уникальных паракомпактных однородных сот Уитоффа , порожденных тетраэдрическими фундаментальными областями (паракомпактные группы Кокстера ранга 4). Соты проиндексированы здесь для перекрестных ссылок на повторяющиеся формы с квадратными скобками вокруг неосновных конструкций.
Чередования перечислены, но либо повторяются, либо не дают единообразных решений . Чередование одиночных отверстий представляет собой операцию удаления зеркала. Если конечный узел удален, создается другое симплексное (тетраэдрическое) семейство. Если дырка имеет две ветви, то порождается многогранник Винберга , хотя к симплексным группам относятся только многогранники Винберга с зеркальной симметрией, а их однородные соты систематически не исследовались. Эти несимплектические (пирамидальные) группы Кокстера на этой странице не перечисляются, за исключением частных случаев полугрупп тетраэдрических. Шесть однородных сот, возникающих здесь в виде чередований, были пронумерованы от 152 до 157, после 151 формы Витгофа, не требующей чередования для своего построения.
Полный список несимплектических (нететраэдрических) паракомпактных групп Кокстера был опубликован П. Тумаркиным в 2003 г. [1] Наименьшая паракомпактная форма в H 3 может быть представлена
или
, или [∞,3,3,∞], которые могут быть построены зеркальным удалением паракомпактной гиперболической группы [3,4,4] как [3,4,1 + ,4] :
"="
. Удвоенная фундаментальная область превращается из тетраэдра в четырехугольную пирамиду. Еще одна пирамидаили
, построенный как [4,4,1 + ,4] = [∞,4,4,∞] :"=".
Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Кокстера превращается в графы-бабочки: [(3,3,4,1 + ,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3 ))] или
, [(3,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] или
, [(4,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] или
.
"="
,"=","=".