Идеальный многогранник

Идеальный правильный октаэдр в модели Пуанкаре гиперболического пространства (сфера на бесконечности не показана). Все двугранные углы этой формы прямые .

Анимация идеального икосаэдра в модели Клейна гиперболического пространства

В трехмерном гиперболической геометрии , идеал полиэдр является выпуклый многогранник , у которого все вершины имеют идеальные точки , точки «на бесконечности» , а не внутрь к трехмерному гиперболического пространства . Его можно определить как выпуклую оболочку конечного множества идеальных точек. У идеального многогранника есть идеальные многоугольники в качестве граней , пересекающиеся по линиям гиперболического пространства.

В Платоновых тела и архимедова твердые имеют идеальные варианты, с той же комбинаторной структурой , как и их более привычными евклидовыми версий. Несколько однородных гиперболических сот делят гиперболическое пространство на ячейки этих форм, что очень похоже на знакомое разделение евклидова пространства на кубы. Однако не все многогранники могут быть представлены как идеальные многогранники - многогранник может быть идеальным только тогда, когда он может быть представлен в евклидовой геометрии со всеми его вершинами на описанной сфере . Используя линейное программирование , можно проверить, имеет ли данный многогранник идеальную версию за полиномиальное время .

Каждые два идеальных многогранника с одинаковым числом вершин имеют одинаковую площадь поверхности, и можно вычислить объем идеального многогранника с помощью функции Лобачевского . Поверхность идеального многогранника образует гиперболическое многообразие , топологически эквивалентное проколотой сфере, и каждое такое многообразие образует поверхность единственного идеального многогранника.

Примеры и контрпримеры [ править ]

Идеальный многогранник может быть построен как выпуклая оболочка конечного множества идеальных точек гиперболического пространства, если не все точки лежат на одной плоскости. Полученная форма является пересечением всех замкнутых полупространств, которые имеют заданные идеальные точки в качестве предельных точек. В качестве альтернативы любой выпуклый евклидов многогранник, который имеет описанную сферу, может быть интерпретирован как идеальный многогранник, интерпретируя внутреннюю часть сферы как модель Клейна для гиперболического пространства. ^[1] В модели Клейна каждый евклидов многогранник, заключенный в сферу, представляет собой гиперболический многогранник, а каждый евклидов многогранник со своими вершинами на сфере представляет собой идеальный гиперболический многогранник. ^[2]

Каждый изогональный выпуклый многогранник (один с симметриями, соединяющими каждую вершину с каждой другой вершиной) может быть представлен как идеальный многогранник с соблюдением его симметрии, поскольку он имеет описанную сферу с центром в центре симметрии многогранника. ^[3] В частности, это означает, что Платоновы и Архимедовы тела имеют идеальные формы. Однако другой высокосимметричный класс многогранников, каталонские твердые тела , не все имеют идеальные формы. Каталонские тела являются двойными многогранниками по отношению к архимедовым телам и обладают симметрией, соединяющей любую грань с любой другой гранью. Каталонские твердые тела, которые не могут быть идеальными, включают ромбический додекаэдр итриакис тетраэдр . ^[4]

Удаление некоторых троек вершин из триакисного тетраэдра разделяет оставшиеся вершины на несколько компонент связности. Когда такого трехвершинного разделения не существует, многогранник называется четырехсвязным . Каждый четырехсвязный многогранник имеет представление в виде идеального многогранника; например, это верно для тетракис-гексаэдра , другого каталонского твердого тела. ^[5]

Усечение одной вершины куба дает простой многогранник (один с тремя ребрами на вершину), который не может быть реализован как идеальный многогранник: по теореме Микеля о шести кругах , если семь из восьми вершин куба идеальны, восьмая вершина будет также идеален, и поэтому вершины, созданные его усечением, не могут быть идеальными. Также существуют многогранники с четырьмя ребрами на вершину, которые не могут быть реализованы как идеальные многогранники. ^[6] Если симплициальныймногогранник (один со всеми треугольниками граней) имеет все степени вершин от четырех до шести (включительно), тогда он имеет идеальное представление, но триакисный тетраэдр симплициальный и неидеальный, а приведенный выше 4-регулярный неидеальный пример показывает, что для несимплициальные многогранники, все степени в этом диапазоне не гарантируют идеальной реализации. ^[7]

Свойства [ править ]

Измерения [ править ]

Каждый идеал многогранник с вершинами имеет поверхность , которая может быть подразделена на идеальные треугольники , ^[8] каждый с областью . ^[9] Таким образом, площадь поверхности точно .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n-4}$ ${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle (2n-4) \ pi}$

В идеальном многограннике все углы граней и все телесные углы при вершинах равны нулю. Однако двугранные углы на ребрах идеального многогранника отличны от нуля. В каждой вершине сумма дополнительных углов двугранных углов, падающих на эту вершину, равна точно . ^[2] Этот факт можно использовать для вычисления самих двугранных углов для правильного или реберно-симметричного идеального многогранника (в котором все эти углы равны), подсчитав, сколько ребер пересекаются в каждой вершине: идеальный правильный тетраэдр, куб или додекаэдр с тремя ребрами на вершину имеет двугранные углы , идеальный правильный октаэдр или кубооктаэдр с четырьмя ребрами на вершину имеет двугранные углы${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle 60 ^ {\ circ} = \ pi / 3 = \ pi (1 - {\ tfrac {2} {3}})}$${\ Displaystyle 90 ^ {\ circ} = \ pi / 2 = \ pi (1 - {\ tfrac {2} {4}})}$, а идеальный правильный икосаэдр с пятью ребрами на вершину имеет двугранные углы . ^[10]${\ displaystyle 108 ^ {\ circ} = 3 \ pi / 5 = \ pi (1 - {\ tfrac {2} {5}})}$

Объем идеального тетраэдра может быть выражен через функцию Клаузена или функцию Лобачевского его двугранных углов, а объем произвольного идеального многогранника может быть затем найден путем разбиения его на тетраэдры и суммирования объемов тетраэдров. ^[11]

Инвариант Дена многогранника обычно находится путем объединения длины ребер и двугранные углов многогранника, но в случае идеального многогранника длина кромки бесконечна. Этой трудности можно избежать, используя для усечения горосферыкаждая вершина, оставляя конечную длину вдоль каждого края. Результирующая форма сама по себе не является многогранником, потому что усеченные грани не плоские, но она имеет конечную длину ребер, и ее инвариант Дена можно вычислить обычным способом, игнорируя новые ребра, где усеченные грани встречаются с исходными гранями многогранника. . Из-за способа определения инварианта Дена и ограничений на двугранные углы, пересекающиеся в одной вершине идеального многогранника, результат этого вычисления не зависит от выбора орисфер, используемых для усечения вершин. ^[12]

Комбинаторная структура [ править ]

Как доказал Эрнст Стейниц  ( 1928 ), максимальное независимое множество любого идеального многогранника (наибольшее возможное подмножество несмежных вершин) должно иметь не более половины вершин многогранника. Он может иметь ровно половину только тогда, когда вершины могут быть разбиты на два независимых множества равного размера, так что граф многогранника является сбалансированным двудольным графом , как и для идеального куба. ^[13] Более того, граф любого идеального многогранника является 1-жестким , что означает, что при удалении вершин из графа остается не более компонентов связности. ^[14] Например, ромбический додекаэдр${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$является двудольным, но имеет независимое множество с более чем половиной его вершин, а триакисный тетраэдр имеет независимый набор ровно с половиной вершин, но не является двудольным, поэтому ни один из них не может быть реализован как идеальный многогранник. ^[13]

Характеристика и признание [ править ]

Не все выпуклые многогранники комбинаторно эквивалентны идеальным многогранникам. Геометрическая характеристика вписанных многогранников была безуспешной попыткой Рене Декарта в его рукописи 1630 года De solidorum elementis . ^[15] Вопрос о нахождении комбинаторной характеристики идеальных многогранников, аналогичной теореме Стейница, характеризующей евклидовы выпуклые многогранники, был поднят Якобом Штайнером  ( 1832 г. ); числовая (а не комбинаторная) характеристика была предоставлена Hodgson, Rivin & Smith (1992) . Их характеристика основана на том, что двугранные углыидеального многогранника, инцидентного одной идеальной вершине, должны иметь дополнительные углы , сумма которых равна точно , в то время как дополнительные углы, пересекаемые любой жордановой кривой на поверхности многогранника, имеющего более одной вершины с обеих сторон, должны быть больше . Например, для идеального куба двугранные углы равны, а их дополнения равны . Сумма трех дополнительных углов в одной вершине равна сумме четырех углов, пересекаемых кривой на полпути между двумя противоположными гранями , а другие кривые пересекают еще большее количество этих углов с еще большей суммой. Ходжсон, Ривин и Смит (1992)${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi /3}$${\displaystyle 2\pi /3}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 8\pi /3>2\pi }$покажите, что выпуклый многогранник эквивалентен идеальному многограннику тогда и только тогда, когда можно присвоить номера его ребрам с одинаковыми свойствами: все эти числа лежат между и , они складываются в каждой вершине, и они складываются до большего чем на каждом нефациальном цикле двойственного графа . Когда такое сопоставление существует, существует единственный идеальный многогранник, двугранные углы которого дополняют эти числа. Как следствие этой характеристики, реализуемость идеального многогранника может быть выражена как линейная программа с экспоненциально большим числом ограничений (по одному для каждого нефлицевого цикла) и проверена за полиномиальное время с использованием алгоритма эллипсоида . ^[16]${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

Более комбинаторная характеристика была предоставлена Dillencourt & Smith (1995) для частного случая простых многогранников , многогранников только с тремя гранями и тремя ребрами, пересекающимися в каждой (идеальной) вершине. В соответствии с их характеристикой, простой многогранник идеал или подписываемый тогда и только тогда , когда одно из двух условий: либо графы многогранника является двудольным графом и его двойственный граф является 4-подключен , или это 1-сверхпрочным график . В этом состоянии 1-сверхпрочность - это изменение вязкости графа ; это означает, что для каждого набора из более чем одной вершины графа удаление${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$из графа остается количество компонент связности, которое строго меньше, чем . На основе этой характеристики они нашли комбинаторный алгоритм с линейным временем для проверки реализуемости простых многогранников как идеальных многогранников. ^[17]${\displaystyle |S|}$

Соты [ править ]

Поскольку идеальный правильный тетраэдр, куб, октаэдр и додекаэдр имеют двугранные углы, которые являются целыми долями , все они могут размещать мозаику в гиперболическом пространстве, образуя регулярные соты . ^[18] В этом они отличаются от евклидовых правильных тел, среди которых только куб может замощить пространство. ^[18] В идеале тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и формы , соответственно, порядок-6 тетраэдрические сотни , порядка 6 кубических сот , порядка 4 октаэдрических сотни , и порядок-6 додекаэдрические сотни ; здесь порядок относится к количеству ячеек, встречающихся на каждом краю. Однако идеальный икосаэдр не укладывает пространство таким же образом.${\displaystyle 2\pi }$^[18]

Разложение Эпштейна – Пеннера, конструкция DBA Epstein и RC Penner  ( 1988 ), можно использовать для разложения любого гиперболического трехмерного многообразия с каспами на идеальные многогранники и для представления многообразия как результата склеивания этих идеальных многогранников. ^[19] Каждое многообразие, которое может быть представлено таким образом, имеет конечное число представлений. ^[20] универсальное накрытие многообразия наследует же разложение, который образует соты идеальных многогранников. Примеры многообразий с каспами, приводящие таким образом к сотам, естественным образом возникают как узловые дополнения к гиперболическим зацеплениям., которые имеют перегиб для каждого компонента ссылки. Например, дополнение к узлу восьмерка ассоциируется таким образом с тетраэдрическими сотами порядка 6 ^[21], а дополнение к кольцам Борромео таким же образом ассоциируется с восьмигранными сотами порядка 4. ^[22] Эти две соты и три других, использующие идеальный кубооктаэдр , треугольную призму и усеченный тетраэдр , возникают при изучении групп Бианки и происходят из многообразий с каспами, образованных как факторы гиперболического пространства подгруппами групп Бианки. Эти же многообразия также можно интерпретировать как дополнительные звенья. ^[23]

Поверхностное многообразие [ править ]

Поверхность идеального многогранника (не считая его вершин) образует многообразие , топологически эквивалентное проколотой сфере, с однородной двумерной гиперболической геометрией; складки поверхности при ее погружении в гиперболическое пространство не обнаруживаются как складки во внутренней геометрии поверхности. Поскольку эту поверхность можно разбить на идеальные треугольники , ее общая площадь конечна. Наоборот, и аналогично теореме единственности Александрова , любое двумерное многообразие с однородной гиперболической геометрией и конечной площадью, комбинаторно эквивалентное сфере с конечными пунктами, может быть реализовано как поверхность идеального многогранника. (Как и в случае с теоремой Александрова, такие поверхности должны содержать идеальные диэдры.) ^[24] С этой точки зрения теория идеальных многогранников тесно связана с дискретными приближениями к конформным отображениям . ^[25]

Поверхности идеальных многогранников также можно рассматривать более абстрактно как топологические пространства, образованные путем изометрии склеивания идеальных треугольников по их ребрам. Для каждой такой поверхности и каждой замкнутой кривой, которая не просто оборачивается вокруг одной вершины многогранника (один или несколько раз), не разделяя никакие другие, существует единственная геодезическая на поверхности, гомотопная данной кривой. В этом отношении идеальные многогранники отличаются от евклидовых многогранников (и от их евклидовых моделей Клейна): например, на евклидовом кубе любая геодезическая может пересекать не более двух ребер, инцидентных одной вершине последовательно, прежде чем пересечь неинцидентное ребро. , но геодезические на идеальном кубе этим не ограничиваются.^[26]

См. Также [ править ]

• Канонический многогранник , многогранник, каждое ребро которого касается общей сферы.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]