В геометрии , А полупространство либо из двух частей , на которые плоскость делит трехмерное евклидово пространство . В более общем смысле полупространство - это одна из двух частей, на которые гиперплоскость делит аффинное пространство . То есть точки, не инцидентные гиперплоскости, разбиваются на два выпуклых множества (т. Е. Полупространства), так что любое подпространство, соединяющее точку в одном наборе с точкой в другом, должно пересекать гиперплоскость.
Полупространство может быть как открытым, так и закрытым . Открытое полупространство либо из двух открытых множеств , полученных вычитанием гиперплоскости из аффинного пространства. Замкнутое полупространство является объединением открытого полупространства и гиперплоскости , который определяет его.
Если пространство двумерное , то полупространство называется полуплоскостью (открытой или закрытой). Полупространство в одномерном пространстве называется полупрямой или лучом .
Полупространство может быть задано линейным неравенством, полученным из линейного уравнения, которое задает определяющую гиперплоскость.
Строгое линейное неравенство задает открытое полупространство:
Нестрогий определяет замкнутое полупространство:
Здесь предполагается, что не все действительные числа a 1 , a 2 , ..., a n равны нулю.
Свойства [ править ]
- Полупространство - это выпуклое множество .
Верхнее и нижнее полупространство [ править ]
Открытое (замкнутое) верхнее полупространство - это полупространство всех ( x 1 , x 2 , ..., x n ) таких, что x n > 0 (≥ 0). Открытое (замкнутое) нижнее полупространство определяется аналогично, требуя, чтобы x n был отрицательным (неположительным).
См. Также [ править ]
- Линия (геометрия)
- Верхняя полуплоскость
- Модель полуплоскости Пуанкаре
- Верхнее полупространство Зигеля
- Многоугольник Нефа , построение многогранников из полупространств.
Внешние ссылки [ править ]
- "Полуплоскость" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Полупространство» . MathWorld .
