Перейти к навигации Перейти к поиску
 {3,3,6}     |  {6,3,3} |  {4,3,6}  |  {6,3,4} |
 {5,3,6}  |  {6,3,5} |  {6,3,6} |  {3,6,3} |
 {4,4,3} |  {3,4,4} |  {4,4,4} |
В геометрии , однородные соты в гиперболическом пространстве являются мозаики выпуклых однородных многогранников клеток . В 3-мерном гиперболическом пространстве существует 23 групп Кокстера семейство паракомпактных однородных сот, сформированных в построении визофф и представлено кольцевых перестановками этих диаграмм кокстеровских для каждой семьи. Эти семейства могут создавать однородные соты с бесконечными или неограниченными гранями или фигурами вершин , включая идеальные вершины на бесконечности, аналогичногиперболические однородные мозаики в 2-мерном пространстве .
Обычные паракомпактные соты [ править ]
Из однородных паракомпактных сот H 3 11 являются регулярными , что означает, что их группа симметрий действует транзитивно на их флаги. У них есть символ Шлефли {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6 }, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}, и показаны ниже. Четыре имеют конечные идеальные многогранные клетки: {3,3,6}, {4,3,6}, {3,4,4} и {5,3,6}.
| 11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} | |||||||
| Имя | Символ Шлефли {p, q, r} | Coxeter   | Тип ячейки {p, q} | Тип лица {p} | Фигура края {r} | Фигура вершины {q, r} | Двойной | Группа Кокстера |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сотовый четырехгранник Order-6 | {3,3,6} | | {3,3} | {3} | {6} | {3,6} | {6,3,3} | [6,3,3] |
| Шестиугольная черепичная сотовая конструкция | {6,3,3} | | {6,3} | {6} | {3} | {3,3} | {3,3,6} | |
| Орден-4 соты восьмигранные | {3,4,4} | | {3,4} | {3} | {4} | {4,4} | {4,4,3} | [4,4,3] |
| Квадратная черепица сота | {4,4,3} | | {4,4} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,4} | |
| Треугольная черепица сотовая | {3,6,3} | | {3,6} | {3} | {3} | {6,3} | Самодвойственный | [3,6,3] |
| Заказать-6 соты куб. | {4,3,6} | | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | {6,3,4} | [6,3,4] |
| Гексагональные черепичные соты Order-4 | {6,3,4} | | {6,3} | {6} | {4} | {3,4} | {4,3,6} | |
| Квадратная черепица Заказать-4 соты | {4,4,4} | | {4,4} | {4} | {4} | {4,4} | Самодвойственный | [4,4,4] |
| Порядок-6 додекаэдрические соты | {5,3,6} | | {5,3} | {5} | {5} | {3,6} | {6,3,5} | [6,3,5] |
| Гексагональные черепичные соты Order-5 | {6,3,5} | | {6,3} | {6} | {5} | {3,5} | {5,3,6} | |
| Гексагональные черепичные соты Order-6 | {6,3,6} | | {6,3} | {6} | {6} | {3,6} | Самодвойственный | [6,3,6] |
Группы Кокстера паракомпактных однородных сот [ править ]
| Эти графы показывают отношения подгрупп паракомпактных гиперболических групп Кокстера. Подгруппы порядка 2 представляют собой биссектрисы тетраэдра Гурса с плоскостью зеркальной симметрии. | |
Это полный перечень 151 уникальных паракомпактных однородных сот Витоффа, порожденных тетраэдрическими фундаментальными областями (паракомпактные группы кокстера ранга 4). Соты проиндексированы здесь для перекрестных ссылок на повторяющиеся формы, с скобками вокруг непервичных конструкций.
В чередованиях есть в списке, но являются либо повторами или не создают единые решений. Чередование отдельных отверстий представляет собой операцию удаления зеркала. Если конечный узел удаляется, создается другое симплексное (тетраэдрическое) семейство. Если дыра имеет две ветви, создается многогранник Винберга , хотя с симплексными группами связаны только многогранники Винберга с зеркальной симметрией, а их однородные соты систематически не исследовались. Эти несимплектические (пирамидальные) группы Кокстера не перечислены на этой странице, за исключением частных случаев полугрупп тетраэдрических.
| Группа Кокстера | Объем симплекс | Подгруппа коммутатора | Уникальное количество сот | |
|---|---|---|---|---|
| [6,3,3] | | 0,0422892336 | [1 + , 6, (3,3) + ] = [3,3 [3] ] + | 15 |
| [4,4,3] | | 0,0763304662 | [1 + , 4,1 + , 4,3 + ] | 15 |
| [3,3 [3] ] |   | 0,0845784672 | [3,3 [3] ] + | 4 |
| [6,3,4] | | 0,1057230840 | [1 + , 6,3 + , 4,1 + ] = [3 [] x [] ] + | 15 |
| [3,4 1,1 ] |   | 0,1526609324 | [3 + , 4 1 + , 1 + ] | 4 |
| [3,6,3] | | 0,1691569344 | [3 + , 6,3 + ] | 8 |
| [6,3,5] | | 0,1715016613 | [1 + , 6, (3,5) + ] = [5,3 [3] ] + | 15 |
| [6,3 1,1 ] | | 0,2114461680 | [1 + , 6, (3 1,1 ) + ] = [3 [] x [] ] + | 4 |
| [4,3 [3] ] | | 0,2114461680 | [1 + , 4,3 [3] ] + = [3 [] x [] ] + | 4 |
| [4,4,4] | | 0,2289913985 | [4 + , 4 + , 4 + ] + | 6 |
| [6,3,6] | | 0,2537354016 | [1 + , 6,3 + , 6,1 + ] = [3 [3,3] ] + | 8 |
| [(4,4,3,3)] |  | 0,3053218647 | [(4,1 + , 4, (3,3) + )] | 4 |
| [5,3 [3] ] | | 0,3430033226 | [5,3 [3] ] + | 4 |
| [(6,3,3,3)] |    | 0,3641071004 | [(6,3,3,3)] + | 9 |
| [3 [] x [] ] | | 0,4228923360 | [3 [] x [] ] + | 1 |
| [4 1,1,1 ] | | 0,4579827971 | [1 + , 4 1 + , 1 + , 1 + ] | 0 |
| [6,3 [3] ] | | 0,5074708032 | [1 + , 6,3 [3] ] = [3 [3,3] ] + | 2 |
| [(6,3,4,3)] |  | 0,5258402692 | [(6,3 + , 4,3 + )] | 9 |
| [(4,4,4,3)] |  | 0,5562821156 | [(4,1 + , 4,1 + , 4,3 + )] | 9 |
| [(6,3,5,3)] |  | 0,6729858045 | [(6,3,5,3)] + | 9 |
| [(6,3,6,3)] | | 0,8457846720 | [(6,3 + , 6,3 + )] | 5 |
| [(4,4,4,4)] | | 0,9159655942 | [(4 + , 4 + , 4 + , 4 + )] | 1 |
| [3 [3,3] ] |  | 1,014916064 | [3 [3,3] ] + | 0 |
Полный список несимплектических (нететраэдрических) паракомпактных групп Кокстера был опубликован П. Тумаркиным в 2003 году. [1] Наименьшую паракомпактную форму в H 3 можно представить следующим образом:
или же 
, или [∞, 3,3, ∞], который может быть построен путем зеркального удаления паракомпактной гиперболической группы [3,4,4] как [3,4,1 + , 4]:
знак равно 
. Двойная фундаментальная область превращается из тетраэдра в четырехугольную пирамиду. Другая пирамида или же , построенный как [4,4,1 + , 4] = [∞, 4,4, ∞]: знак равно .
Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Кокстера превращается в графы-бабочки: [(3,3,4,1 + , 4)] = [((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3 ))] или же
, [(3,4,4,1 + , 4)] = [((4, ∞, 3)), ((3, ∞, 4))] или
, [(4,4,4,1 + , 4)] = [((4, ∞, 4)), ((4, ∞, 4))] или
. 
знак равно 
, знак равно , знак равно .
Другая несимплектическая полугруппа - это ↔ 
.
Радикальная несимплектическая подгруппа - это 
↔ 
, который можно удвоить в область треугольной призмы как 
↔ 
.
| Измерение | Классифицировать | Графики |
|---|---|---|
| H 3 | 5 |
|
Линейные графики [ править ]
[6,3,3] семья [ править ]
| # | Название соты Схема Кокстера :     Символ Шлефли | Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины) | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
| 1 | шестиугольник {6,3,3} | - | - | - | (4) (6.6.6) | Тетраэдр | |
| 2 | выпрямленный шестиугольный t 1 {6,3,3} или r {6,3,3} | (2) (3.3.3) | - | - | (3) (3.6.3.6) | Треугольная призма | |
| 3 | выпрямленный тетраэдр порядка 6 t 1 {3,3,6} или r {3,3,6} | (6) (3.3.3.3) | - | - | (2) (3.3.3.3.3.3) | Гексагональная призма | |
| 4 | тетраэдр порядка 6 {3,3,6} | (∞) (3.3.3) | - | - | - | Треугольная черепица | |
| 5 | усеченный шестиугольник t 0,1 {6,3,3} или t {6,3,3} | (1) (3.3.3) | - | - | (3) (3.12.12) | Треугольная пирамида | |
| 6 | скошенный шестиугольник t 0,2 {6,3,3} или rr {6,3,3} | (1) 3.3.3.3 | (2) (4.4.3) | - | (2) (3.4.6.4) | ||
| 7 | гексагональный т 0,3 {6,3,3} | (1) (3.3.3) | (3) (4.4.3) | (3) (4.4.6) | (1) (6.6.6) | ||
| 8 | скошенный тетраэдр порядка 6 t 0,2 {3,3,6} или rr {3,3,6} | (1) (3.4.3.4) | - | (2) (4.4.6) | (2) (3.6.3.6) | ||
| 9 | усеченный шестиугольник т 1,2 {6,3,3} или 2 т {6,3,3} | (2) (3.6.6) | - | - | (2) (6.6.6) | ||
| 10 | усеченный тетраэдр порядка 6 т 0,1 {3,3,6} или т {3,3,6} | (6) (3.6.6) | - | - | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| 11 | усеченный гексагональный t 0,1,2 {6,3,3} или tr {6,3,3} | (1) (3.6.6) | (1) (4.4.3) | - | (2) (4.6.12) | ||
| 12 | усеченный шестиугольник т 0,1,3 {6,3,3} | (1) (3.4.3.4) | (2) (4.4.3) | (1) (4.4.12) | (1) (3.12.12) | ||
| 13 | усеченный тетраэдр порядка 6 т 0,1,3 { 3,3,6 } | (1) (3.6.6) | (1) (4.4.6) | (2) (4.4.6) | (1) (3.4.6.4) | ||
| 14 | усеченный тетраэдр порядка 6 t 0,1,2 {3,3,6} или tr {3,3,6} | (2) (4.6.6) | - | (1) (4.4.6) | (1) (6.6.6) | ||
| 15 | усеченный шестиугольник т 0,1,2,3 {6,3,3} | (1) (4.6.6) | (1) (4.4.6) | (1) (4.4.12) | (1) (4.6.12) | ||
| # | Название соты Схема Кокстера : Символ Шлефли | Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины) | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | Alt | ||||
| [137] | чередующиеся шестиугольные (  ↔  знак равно  | - | - | (4) (3.3.3.3.3.3) | (4) (3.3.3) | (3.6.6) | ||
| [138] | кантик шестиугольный ↔ | (1) (3.3.3.3) | - | (2) (3.6.3.6) | (2) (3.6.6) | |||
| [139] | рунический шестиугольник ↔ | (1) (4.4.4) | (1) (4.4.3) | (1) (3.3.3.3.3.3) | (3) (3.4.3.4) | |||
| [140] | рунический шестиугольник ↔ | (1) (3.6.6) | (1) (4.4.3) | (1) (3.6.3.6) | (2) (4.6.6) | |||
| Неоднородный | курносый выпрямленный тетраэдр порядка 6 ↔ ср {3,3,6} | Irr. (3.3.3) | ||||||
| Неоднородный | кантик курносый порядок-6 тетраэдр sr 3 {3,3,6} | |||||||
| Неоднородный | омниснуб порядок-6 тетраэдр ht 0,1,2,3 {6,3,3} | Irr. (3.3.3) | ||||||
[6,3,4] семья [ править ]
Существует 15 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [6,3,4] или
| # | Название сотовой диаграммы Кокстера символ Шлефли | Ячейки по местоположению и количеству на вершину | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 16 | (Обычный) порядок-4 гексагональный {6,3,4} | - | - | - | (8) (6.6.6) | (3.3.3.3) | |
| 17 | выпрямленный порядок-4 гексагональный t 1 {6,3,4} или r {6,3,4} | (2) (3.3.3.3) | - | - | (4) (3.6.3.6) | (4.4.4) | |
| 18 | выпрямленный порядок-6 куб. t 1 {4,3,6} или r {4,3,6} | (6) (3.4.3.4) | - | - | (2) (3.3.3.3.3.3) | (6.4.4) | |
| 19 | порядка-6 куб. {4,3,6} | (20) (4.4.4) | - | - | - | (3.3.3.3.3.3) | |
| 20 | усеченный гексагональный порядок-4 т 0,1 {6,3,4} или т {6,3,4} | (1) (3.3.3.3) | - | - | (4) (3.12.12) | ||
| 21 год | bitruncated порядка 6 кубических т 1,2 {6,3,4} или 2 т {6,3,4} | (2) (4.6.6) | - | - | (2) (6.6.6) | ||
| 22 | усеченный порядок-6 куб. т 0,1 {4,3,6} или т {4,3,6} | (6) (3.8.8) | - | - | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| 23 | скошенный гексагональный порядок-4 t 0,2 {6,3,4} или rr {6,3,4} | (1) (3.4.3.4) | (2) (4.4.4) | - | (2) (3.4.6.4) | ||
| 24 | скошенный порядок-6 куб. t 0,2 {4,3,6} или rr {4,3,6} | (2) (3.4.4.4) | - | (2) (4.4.6) | (1) (3.6.3.6) | ||
| 25 | запущенный заказ-6 куб. т 0,3 {6,3,4} | (1) (4.4.4) | (3) (4.4.4) | (3) (4.4.6) | (1) (6.6.6) | ||
| 26 | усеченный гексагональный порядок-4 t 0,1,2 {6,3,4} или tr {6,3,4} | (1) (4.6.6) | (1) (4.4.4) | - | (2) (4.6.12) | ||
| 27 | усеченный порядок-6 куб. t 0,1,2 {4,3,6} или tr {4,3,6} | (2) (4.6.8) | - | (1) (4.4.6) | (1) (6.6.6) | ||
| 28 | усеченный порядок-4 гексагональный т 0,1,3 {6,3,4} | (1) (3.4.4.4) | (1) (4.4.4) | (2) (4.4.12) | (1) (3.12.12) | ||
| 29 | runcitruncated порядка-6 куб. т 0,1,3 {4,3,6} | (1) (3.8.8) | (2) (4.4.8) | (1) (4.4.6) | (1) (3.4.6.4) | ||
| 30 | усеченный порядок-6 куб. т 0,1,2,3 {6,3,4} | (1) (4.6.8) | (1) (4.4.8) | (1) (4.4.12) | (1) (4.6.12) | ||
| # | Название сотовой диаграммы Кокстера символ Шлефли | Ячейки по местоположению и количеству на вершину | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| [87] | чередование порядка-6 куб. ↔  ч {4,3,6} | (3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (3.6.3.6) | ||||
| [88] | кантик орден-6 куб. ↔ ч 2 {4,3,6} | (2) (3.6.6) | - | - | (1) (3.6.3.6) | (2) (6.6.6) | ||
| [89] | рунический порядок-6 куб. ↔ ч 3 {4,3,6} | (1) (3.3.3) | - | - | (1) (6.6.6) | (3) (3.4.6.4) | ||
| [90] | рунический орден-6 куб. ↔ ч 2,3 {4,3,6} | (1) (3.6.6) | - | - | (1) (3.12.12) | (2) (4.6.12) | ||
| [141] | чередование порядка 4 гексагональных   ↔ ↔  ч {6,3,4} | - | - | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3) | (4.6.6) | ||
| [142] | кантик порядка-4 гексагональный ↔ ↔ ч 1 {6,3,4} | (1) (3.4.3.4) | - | (2) (3.6.3.6) | (2) (4.6.6) | |||
| [143] | runcic order-4 шестиугольник ↔ ч 3 {6,3,4} | (1) (4.4.4) | (1) (4.4.3) | (1) (3.3.3.3.3.3) | (3) (3.4.4.4) | |||
| [144] | рунический орден-4 гексагональный ↔ ч 2,3 {6,3,4} | (1) (3.8.8) | (1) (4.4.3) | (1) (3.6.3.6) | (2) (4.6.8) | |||
| [151] | четверть порядка-4 шестиугольника ↔ q {6,3,4} | (3) | (1) | - | (1) | (3) | ||
| Неоднородный | биснуб заказ-6 куб. ↔ 2 с {4,3,6} | (3.3.3.3.3.3) | - | - | (3.3.3.3.6) | + (3.3.3) | ||
| Неоднородный | runcic bisnub order-6 кубический | | | | | |||
| Неоднородный | курносый ректификованный заказ-6 куб. ↔ sr {4,3,6} | (3.3.3.3.3) |  (3.3.3) | (3.3.3.4) | (3.3.3.3.6) | + (3.3.3) | ||
| Неоднородный | рунчик курносый ректификованный заказ-6 куб. sr 3 {4,3,6} | | | | | |||
| Неоднородный | курносый ректификованный порядок-4 гексагональный ↔  sr {6,3,4} | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3) | - | (3.3.3.3.6) | + (3.3.3) | ||
| Неоднородный | runcisnub ректификованный порядок-4 гексагональный sr 3 {6,3,4} | |||||||
| Неоднородный | омниснуб ректификованный порядок-6 куб. ht 0,1,2,3 {6,3,4} | (3.3.3.3.4) | (3.3.3.4) | (3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | + (3.3.3) | ||
[6,3,5] семья [ править ]
| # | Название соты Диаграмма Кокстера Символ Шлефли | Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины) | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 31 год | порядка 5 гексагональных {6,3,5} | - | - | - | (20) (6) 3 | Икосаэдр | |
| 32 | выпрямленный порядок-5 гексагональный t 1 {6,3,5} или r {6,3,5} | (2) (3.3.3.3.3) | - | - | (5) (3,6) 2 | (5.4.4) | |
| 33 | выпрямленный додекаэдр порядка 6 t 1 {5,3,6} или r {5,3,6} | (5) (3.5.3.5) | - | - | (2) (3) 6 | (6.4.4) | |
| 34 | додекаэдр порядка 6 {5,3,6} | (5.5.5) | - | - | - | (∞) (3) 6 | |
| 35 год | усеченный гексагональный порядок-5 т 0,1 {6,3,5} или т {6,3,5} | (1) (3.3.3.3.3) | - | - | (5) 3.12.12 | ||
| 36 | скошенный додекаэдр порядка 6 t 0,2 {6,3,5} или rr {6,3,5} | (1) (3.5.3.5) | (2) (5.4.4) | - | (2) 3.4.6.4 | ||
| 37 | управляемый додекаэдром порядка 6 т 0,3 {6,3,5} | (1) (5.5.5) | - | (6) (6.4.4) | (1) (6) 3 | ||
| 38 | скошенный додекаэдр порядка 6 t 0,2 {5,3,6} или rr {5,3,6} | (2) (4.3.4.5) | - | (2) (6.4.4) | (1) (3,6) 2 | ||
| 39 | усеченный битами додекаэдр порядка 6 т 1,2 {6,3,5} или 2 т {6,3,5} | (2) (5.6.6) | - | - | (2) (6) 3 | ||
| 40 | усеченный додекаэдр порядка 6 т 0,1 {5,3,6} или т {5,3,6} | (6) (3.10.10) | - | - | (1) (3) 6 | ||
| 41 год | усеченный гексагональный порядок 5 t 0,1,2 {6,3,5} или tr {6,3,5} | (1) (5.6.6) | (1) (5.4.4) | - | (2) 4.6.10 | ||
| 42 | усеченный гексагональный порядок-5 т 0,1,3 {6,3,5} | (1) (4.3.4.5) | (1) (5.4.4) | (2) (12.4.4) | (1) 3.12.12 | ||
| 43 | усеченный додекаэдр порядка 6 т 0,1,3 {5,3,6} | (1) (3.10.10) | (1) (10.4.4) | (2) (6.4.4) | (1) 3.4.6.4 | ||
| 44 | усеченный додекаэдр порядка 6 t 0,1,2 {5,3,6} или tr {5,3,6} | (1) (4.6.10) | - | (2) (6.4.4) | (1) (6) 3 | ||
| 45 | всенаправленный додекаэдр порядка 6 т 0,1,2,3 {6,3,5} | (1) (4.6.10) | (1) (10.4.4) | (1) (12.4.4) | (1) 4.6.12 | ||
| # | Название соты Диаграмма Кокстера Символ Шлефли | Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины) | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| [145] | чередование порядка 5 гексагональных ↔ ч {6,3,5} | - | - | - | (20) (3) 6 | (12) (3) 5 | (5.6.6) | |
| [146] | кантик порядка-5 гексагональный ↔ ч 2 {6,3,5} | (1) (3.5.3.5) | - | (2) (3.6.3.6) | (2) (5.6.6) | |||
| [147] | runcic order-5 шестиугольник ↔ ч 3 {6,3,5} | (1) (5.5.5) | (1) (4.4.3) | (1) (3.3.3.3.3.3) | (3) (3.4.5.4) | |||
| [148] | runcicantic order-5 шестиугольник ↔ ч 2,3 {6,3,5} | (1) (3.10.10) | (1) (4.4.3) | (1) (3.6.3.6) | (2) (4.6.10) | |||
| Неоднородный | курносый выпрямленный додекаэдр порядка 6 ↔ ср {5,3,6} | (3.3.5.3.5) | - | (3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | irr. тет | ||
| Неоднородный | omnisnub order-5 шестиугольник ht 0,1,2,3 {6,3,5} | (3.3.5.3.5) | (3.3.3.5) | (3.3.3.6) | (3.3.6.3.6) | irr. тет | ||
[6,3,6] семья [ править ]
Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [6,3,6] или
| # | Название сотовой диаграммы Кокстера символ Шлефли | Ячейки по местоположению и количеству на вершину | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 46 | порядка 6 шестиугольников {6,3,6} | - | - | - | (20) (6.6.6) | (3.3.3.3.3.3) | |
| 47 | выпрямленный порядок-6 гексагональный t 1 {6,3,6} или r {6,3,6} | (2) (3.3.3.3.3.3) | - | - | (6) (3.6.3.6) | (6.4.4) | |
| 48 | усеченный шестиугольник порядка 6 т 0,1 {6,3,6} или т {6,3,6} | (1) (3.3.3.3.3.3) | - | - | (6) (3.12.12) | ||
| 49 | скошенный шестиугольник порядка 6 t 0,2 {6,3,6} или rr {6,3,6} | (1) (3.6.3.6) | (2) (4.4.6) | - | (2) (3.6.4.6) | ||
| 50 | Runcinated order-6 шестиугольник т 0,3 {6,3,6} | (1) (6.6.6) | (3) (4.4.6) | (3) (4.4.6) | (1) (6.6.6) | ||
| 51 | усеченный шестиугольник порядка 6 t 0,1,2 {6,3,6} или tr {6,3,6} | (1) (6.6.6) | (1) (4.4.6) | - | (2) (4.6.12) | ||
| 52 | усеченный шестиугольник порядка 6 т 0,1,3 {6,3,6} | (1) (3.6.4.6) | (1) (4.4.6) | (2) (4.4.12) | (1) (3.12.12) | ||
| 53 | омниусеченный шестиугольник порядка 6 т 0,1,2,3 {6,3,6} | (1) (4.6.12) | (1) (4.4.12) | (1) (4.4.12) | (1) (4.6.12) | ||
| [1] | усеченный шестигранник порядка 6 ↔  ↔  т 1,2 {6,3,6} или 2 т {6,3,6} | (2) (6.6.6) | - | - | (2) (6.6.6) | ||
| # | Название сотовой диаграммы Кокстера символ Шлефли | Ячейки по местоположению и количеству на вершину | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| [47] | выпрямленный порядок-6 гексагональный ↔    ↔ q {6,3,6} = r {6,3,6} | (2) (3.3.3.3.3.3) | - | - | (6) (3.6.3.6) | (6.4.4) | ||
| [54] | треугольная ( ↔ знак равно h {6,3,6} = {3,6,3} | - | - | - | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | {6,3} | |
| [55] | кантик порядка-6 гексагональный ( ↔ знак равно h 2 {6,3,6} = r {3,6,3} | (1) (3.6.3.6) | - | (2) (6.6.6) | (2) (3.6.3.6) | |||
| [149] | runcic order-6 шестиугольник ↔ ч 3 {6,3,6} | (1) (6.6.6) | (1) (4.4.3) | (3) (3.4.6.4) | (1) (3.3.3.3.3.3) | |||
| [150] | runcicantic order-6 шестиугольник ↔ ч 2,3 {6,3,6} | (1) (3.12.12) | (1) (4.4.3) | (2) (4.6.12) | (1) (3.6.3.6) | |||
| [137] | чередующиеся шестиугольные ( ↔ ↔ знак равно 2s {6,3,6} = h {6,3,3} | (3.3.3.3.6) | - | - | (3.3.3.3.6) | + (3.3.3) | (3.6.6) | |
| Неоднородный | курносый ректификованный порядок-6 гексагональный sr {6,3,6} | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3) | - | (3.3.3.3.6) | + (3.3.3) | ||
| Неоднородный | чередующийся гексагональный порядок-6 ht 0,3 {6,3,6} | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3) | (3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | + (3.3.3) | ||
| Неоднородный | omnisnub order-6 шестиугольник ht 0,1,2,3 {6,3,6} | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.6) | (3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | + (3.3.3) | ||
[3,6,3] семья [ править ]
Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [3,6,3] или
| # | Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли | Количество ячеек / вершина и положение в сотах | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 54 | треугольный {3,6,3} | - | - | - | (∞) {3,6} | {6,3} | |
| 55 | выпрямленный треугольный t 1 {3,6,3} или r {3,6,3} | (2) (6) 3 | - | - | (3) (3,6) 2 | (3.4.4) | |
| 56 | скошенный треугольник t 0,2 {3,6,3} или rr {3,6,3} | (1) (3,6) 2 | (2) (4.4.3) | - | (2) (3.6.4.6) | ||
| 57 | беглый треугольник т 0,3 {3,6,3} | (1) (3) 6 | (6) (4.4.3) | (6) (4.4.3) | (1) (3) 6 | ||
| 58 | усеченный треугольник т 1,2 {3,6,3} или 2 т {3,6,3} | (2) (3.12.12) | - | - | (2) (3.12.12) | ||
| 59 | усеченный треугольник t 0,1,2 {3,6,3} или tr {3,6,3} | (1) (3.12.12) | (1) (4.4.3) | - | (2) (4.6.12) | ||
| 60 | усеченный треугольник т 0,1,3 {3,6,3} | (1) (3.6.4.6) | (1) (4.4.3) | (2) (4.4.6) | (1) (6) 3 | ||
| 61 | усеченный треугольник т 0,1,2,3 {3,6,3} | (1) (4.6.12) | (1) (4.4.6) | (1) (4.4.6) | (1) (4.6.12) | ||
| [1] | усеченный треугольник ↔ ↔ t 0,1 {3,6,3} или t {3,6,3} = {6,3,3} | (1) (6) 3 | - | - | (3) (6) 3 | {3,3} | |
| # | Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли | Количество ячеек / вершина и положение в сотах | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| [56] | скошенный треугольник знак равно с 2 {3,6,3} | (1) (3,6) 2 | - | - | (2) (3.6.4.6) | (3.4.4) | ||
| [60] | усеченный треугольник знак равно с 2,3 {3,6,3} | (1) (6) 3 | - | (1) (4.4.3) | (1) (3.6.4.6) | (2) (4.4.6) | ||
| [137] | чередующиеся шестиугольные ( ↔ знак равно ↔ ) s {3,6,3} | (3) 6 | - | - | (3) 6 | + (3) 3 | (3.6.6) | |
| Чешуйчатый | Runcisnub треугольный s 3 {3,6,3} | г {6,3} | - | (3.4.4) | (3) 6 | тройка | ||
| Неоднородный | omnisnub треугольная черепичная сотовая структура ht 0,1,2,3 {3,6,3} | (3.3.3.3.6) | (3) 4 | (3) 4 | (3.3.3.3.6) | + (3) 3 | ||
[4,4,3] семья [ править ]
Существует 15 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [4,4,3] или
| # | Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли | Количество ячеек / вершина и положение в сотах | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 62 | квадрат знак равно {4,4,3} | - | - | - | (6) | Куб | |
| 63 | выпрямленный квадрат знак равно t 1 {4,4,3} или r {4,4,3} | (2) | - | - | (3) | Треугольная призма | |
| 64 | выпрямленный порядок-4 октаэдрический t 1 {3,4,4} или r {3,4,4} | (4) | - | - | (2) | ||
| 65 | порядок-4 октаэдрический {3,4,4} | (∞) | - | - | - | | |
| 66 | усеченный квадрат знак равно t 0,1 {4,4,3} или t {4,4,3} | (1) | - | - | (3) | ||
| 67 | усеченный октаэдрический порядок 4 t 0,1 {3,4,4} или t {3,4,4} | (4) | - | - | (1) | ||
| 68 | усеченный квадрат т 1,2 {4,4,3} или 2 т {4,4,3} | (2) | - | - | (2) | ||
| 69 | Соборная площадь t 0,2 {4,4,3} или rr {4,4,3} | (1) | (2) | - | (2) | ||
| 70 | скошенный октаэдрический порядок-4 t 0,2 {3,4,4} или rr {3,4,4} | (2) | - | (2) | (1) | ||
| 71 | беглый квадрат т 0,3 {4,4,3} | (1) | (3) | (3) | (1) | ||
| 72 | усеченный квадрат t 0,1,2 {4,4,3} или tr {4,4,3} | (1) | (1) | - | (2) | ||
| 73 | усеченный октаэдр четвертого порядка t 0,1,2 {3,4,4} или tr {3,4,4} | (2) | - | (1) | (1) | ||
| 74 | усеченный квадрат т 0,1,3 {4,4,3} | (1) | (1) | (2) | (1) | ||
| 75 | усеченный октаэдрический порядок 4 т 0,1,3 {3,4,4} | (1) | (2) | (1) | (1) | ||
| 76 | усеченный квадрат т 0,1,2,3 {4,4,3} | (1) | (1) | (1) | (1) | ||
| # | Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли | Количество ячеек / вершина и положение в сотах | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| [83] | чередующийся квадрат ↔ ч {4,4,3} | - | - | - | | {4,3} | (4.3.4.3) | |
| [84] | кантическая площадь ↔ ч 2 {4,4,3} | (3.4.3.4) | - | (3.8.8) | (4.8.8) | |||
| [85] | рунический квадрат ↔ ч 3 {4,4,3} | (3.3.3.3) | - | (3.4.4.4) | (4.4.4) | |||
| [86] | Runcantic Square ↔ | (4.6.6) | - | (3.4.4.4) | (4.8.8) | |||
| Несимплектический | переменный выпрямленный квадрат ↔  ч. {4,4,3} | | - | - | | {} x {3} | ||
| Чешуйчатый | курносый порядок-4 октаэдрический знак равно знак равно с {3,4,4} | | - | - | | {} v {4} | ||
| Чешуйчатый | runcisnub порядок-4 октаэдр s 3 {3,4,4} | | | | | чашка-4 | ||
| 152 | пренебрежительный квадрат знак равно с {4,4,3} | | - | - | | {3,3} | ||
| Неоднородный | курносый выпрямленный октаэдрический порядок-4 sr {3,4,4} | | - | | | irr. {3,3} | ||
| Неоднородный | чередующийся бегусеченный квадрат ht 0,1,3 {3,4,4} | | | | | irr. {} v {4} | ||
| Неоднородный | омниснуб квадрат ht 0,1,2,3 {4,4,3} | | | | | irr. {3,3} | ||
[4,4,4] семья [ править ]
Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [4,4,4] или.
| # | Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли | Количество ячеек / вершина и положение в сотах | Симметрия | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | |||||
| 77 | порядка 4 кв. {4,4,4} | - | - | - | | [4,4,4] | Куб | |
| 78 | усеченный квадрат порядка 4 t 0,1 {4,4,4} или t {4,4,4} | | - | - | | [4,4,4] | ||
| 79 | усеченный битом квадрат порядка 4 т 1,2 {4,4,4} или 2 т {4,4,4} | | - | - | | [[4,4,4]] | ||
| 80 | запущенный орден-4 квадрат т 0,3 {4,4,4} | | | | | [[4,4,4]] | ||
| 81 год | усеченный квадрат порядка 4 т 0,1,3 {4,4,4} | | | | | [4,4,4] | ||
| 82 | омниусеченный квадрат порядка 4 т 0,1,2,3 {4,4,4} | | | | | [[4,4,4]] | ||
| [62] | квадрат ↔ t 1 {4,4,4} или r {4,4,4} | | - | - | | [4,4,4] | Квадратная плитка | |
| [63] | выпрямленный квадрат ↔ t 0,2 {4,4,4} или rr {4,4,4} | | | - | | [4,4,4] | ||
| [66] | усеченный квадрат порядка 4 ↔ t 0,1,2 {4,4,4} или tr {4,4,4} | | | - | | [4,4,4] | ||
| # | Название соты Диаграмма Кокстера и символ Шлефли | Количество ячеек / вершина и положение в сотах | Симметрия | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | |||||
| [62] | Квадрат ( ↔ ↔  ↔ знак равно | (4.4.4.4) | - | - | (4.4.4.4) | [1 + , 4,4,4] = [4,4,4] | |||
| [63] | выпрямленный квадрат знак равно с 2 {4,4,4} | | | - | | [ 4+ , 4,4] | |||
| [77] | порядка 4 кв. ↔ ↔ ↔ | - | - | - | | | [1 + , 4,4,4] = [4,4,4] | Куб | |
| [78] | усеченный квадрат порядка 4 ↔ ↔ ↔ | (4.8.8) | - | (4.8.8) | - | (4.4.4.4) | [1 + , 4,4,4] = [4,4,4] | ||
| [79] | усеченный битом квадрат порядка 4 ↔ ↔ ↔ | (4.8.8) | - | - | (4.8.8) | (4.8.8) | [1 + , 4,4,4] = [4,4,4] | ||
| [81] | усеченная квадратная мозаика порядка 4 знак равно с 2,3 {4,4,4} | | | | | [4,4,4] | |||
| [83] | чередующийся квадрат ( ↔ ) ↔ ч. {4,4,4} | | - | - | | | [4,1 + , 4,4] | (4.3.4.3) | |
| [104] | четверть порядка-4 кв. ↔ q {4,4,4} | [[1 + , 4,4,4,1 + ]] = [[4 [4] ]] | |||||||
| 153 | чередующаяся выпрямленная квадратная черепица ↔ ↔ чрр {4,4,4} | | | - | | [((2 + , 4,4)), 4] | |||
| 154 | чередующаяся квадратная черепица порядка 4 ht 0,3 {4,4,4} | | | | | [[(4,4,4,2 + )]] | |||
| Чешуйчатый | квадратная черепица snub order-4 с {4,4,4} | | - | - | | [ 4+ , 4,4] | |||
| Неоднородный | квадратная черепица runcic snub order-4 s 3 {4,4,4} | [ 4+ , 4,4] | |||||||
| Неоднородный | квадратная черепица bisnub order-4 2 с {4,4,4} | | - | - | | [[4,4 + , 4]] | |||
| [152] | плоская квадратная черепица ↔ sr {4,4,4} | | | - | | [(4,4) + , 4] | |||
| Неоднородный | чередующийся бегусеченный квадрат 4-го порядка ht 0,1,3 {4,4,4} | | | | | [((2,4) + , 4,4)] | |||
| Неоднородный | квадратная мозаика omnisnub order-4 ht 0,1,2,3 {4,4,4} | | | | | [[4,4,4]] + | |||
Графики Tridental [ править ]
[3,4 1,1 ] семья [ править ]
Существует 11 форм (из которых только 4 не являются общими с семейством [4,4,3]), порожденных перестановками колец группы Кокстера :
| # | Название соты Диаграмма Кокстера | Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины) | Фигура вершины | Рисунок | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
0   | 1 | 0 ' | 3 | ||||
| 83 | чередующийся квадрат ↔ | - | - | (4.4.4) | (4.4.4.4) | (4.3.4.3) | |
| 84 | кантическая площадь ↔ | (3.4.3.4) | - | (3.8.8) | (4.8.8) | ||
| 85 | рунический квадрат ↔ | (4.4.4.4) | - | (3.4.4.4) | (4.4.4.4) | ||
| 86 | Runcantic Square ↔ | (4.6.6) | - | (3.4.4.4) | (4.8.8) | ||
| [63] | выпрямленный квадрат ↔ | (4.4.4) | - | (4.4.4) | (4.4.4.4) | ||
| [64] | выпрямленный порядок-4 октаэдрический ↔ | (3.4.3.4) | - | (3.4.3.4) | (4.4.4.4) | ||
| [65] | порядок-4 октаэдрический ↔ | (4.4.4.4) | - | (4.4.4.4) | - | | |
| [67] | усеченный октаэдрический порядок 4 ↔ | (4.6.6) | - | (4.6.6) | (4.4.4.4) | ||
| [68] | усеченный квадрат ↔ | (3.8.8) | - | (3.8.8) | (4.8.8) | ||
| [70] | скошенный октаэдрический порядок-4 ↔ | (3.4.4.4) | (4.4.4) | (3.4.4.4) | (4.4.4.4) | ||
| [73] | усеченный октаэдр четвертого порядка ↔ | (4.6.8) | (4.4.4) | (4.6.8) | (4.8.8) | ||
| # | Название соты Диаграмма Кокстера | Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины) | Фигура вершины | Рисунок | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 ' | 3 | Alt | ||||
| Чешуйчатый | курносый порядок-4 октаэдрический знак равно знак равно с {3,4 1,1 } | | - | - | | irr. {} v {4} | ||
| Неоднородный | курносый выпрямленный октаэдрический порядок-4 ↔ sr {3,4 1,1 } | (3.3.3.3.4) | (3.3.3) | (3.3.3.3.4) | (3.3.4.3.4) | + (3.3.3) | ||
[4,4 1,1 ] семья [ править ]
There are 7 forms, (all shared with [4,4,4] family), generated by ring permutations of the Coxeter group:
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | ||||
| [62] | Square ( ↔ ) = | (4.4.4.4) | - | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | ||
| [62] | Square ( ↔ ) = | (4.4.4.4) | - | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | ||
| [63] | rectified square ( ↔ ) = | (4.4.4.4) | (4.4.4) | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | ||
| [66] | truncated square ( ↔ ) = | (4.8.8) | (4.4.4) | (4.8.8) | (4.8.8) | ||
| [77] | order-4 square ↔ | (4.4.4.4) | - | (4.4.4.4) | - | | |
| [78] | truncated order-4 square ↔ | (4.8.8) | - | (4.8.8) | (4.4.4.4) | ||
| [79] | bitruncated order-4 square ↔ | (4.8.8) | - | (4.8.8) | (4.8.8) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | Alt | ||||
| [77] | order-4 square ( ↔ ↔ ) = | | - | | - | Cube | | |
| [78] | truncated order-4 square ( ↔ ) = ( ↔ ) | | | | | |||
| [83] | Alternated square ↔ | | - | | | | | |
| Scaliform | Snub order-4 square | | - | | | |||
| Nonuniform | | | - | | | |||
| Nonuniform | | | - | | | |||
| Nonsimplectic | ( ↔ ) = ( ↔ ) | | | | | |||
| Nonuniform | Snub square ↔ ↔ | (3.3.4.3.4) | (3.3.3) | (3.3.4.3.4) | (3.3.4.3.4) | +(3.3.3) | ||
[6,31,1] family[edit]
There are 11 forms (and only 4 not shared with [6,3,4] family), generated by ring permutations of the Coxeter group: [6,31,1] or .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0' | 3 | ||||
| 87 | alternated order-6 cubic ↔ | - | - | (∞) (3.3.3.3.3) | (∞) (3.3.3) | (3.6.3.6) | |
| 88 | cantic order-6 cubic ↔ | (1) (3.6.3.6) | - | (2) (6.6.6) | (2) (3.6.6) | ||
| 89 | runcic order-6 cubic ↔ | (1) (6.6.6) | - | (3) (3.4.6.4) | (1) (3.3.3) | ||
| 90 | runcicantic order-6 cubic ↔ | (1) (3.12.12) | - | (2) (4.6.12) | (1) (3.6.6) | ||
| [16] | order-4 hexagonal ↔ | (4) (6.6.6) | - | (4) (6.6.6) | - | (3.3.3.3) | |
| [17] | rectified order-4 hexagonal ↔ | (2) (3.6.3.6) | - | (2) (3.6.3.6) | (2) (3.3.3.3) | ||
| [18] | rectified order-6 cubic ↔ | (1) (3.3.3.3.3) | - | (1) (3.3.3.3.3) | (6) (3.4.3.4) | ||
| [20] | truncated order-4 hexagonal ↔ | (2) (3.12.12) | - | (2) (3.12.12) | (1) (3.3.3.3) | ||
| [21] | bitruncated order-6 cubic ↔ | (1) (6.6.6) | - | (1) (6.6.6) | (2) (4.6.6) | ||
| [24] | cantellated order-6 cubic ↔ | (1) (3.4.6.4) | (2) (4.4.4) | (1) (3.4.6.4) | (1) (3.4.3.4) | ||
| [27] | cantitruncated order-6 cubic ↔ | (1) (4.6.12) | (1) (4.4.4) | (1) (4.6.12) | (1) (4.6.6) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | Alt | ||||
| [141] | alternated order-4 hexagonal ↔ ↔  ↔ | (4.6.6) | ||||||
| Nonuniform | bisnub order-4 hexagonal ↔ | |||||||
| Nonuniform | snub rectified order-4 hexagonal ↔ | (3.3.3.3.6) | (3.3.3) | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.3) | +(3.3.3) | ||
Cyclic graphs[edit]
[(4,4,3,3)] family[edit]
There are 11 forms, 4 unique to this family, generated by ring permutations of the Coxeter group: , with ↔ .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 91 | tetrahedral-square | - | (6) (444) | (8) (333) | (12) (3434) | (3444) | |
| 92 | cyclotruncated square-tetrahedral | (444) | (488) | (333) | (388) | ||
| 93 | cyclotruncated tetrahedral-square | (1) (3333) | (1) (444) | (4) (366) | (4) (466) | ||
| 94 | truncated tetrahedral-square | (1) (3444) | (1) (488) | (1) (366) | (2) (468) | ||
| [64] | ( ↔ ) = rectified order-4 octahedral | (3434) | (4444) | (3434) | (3434) | ||
| [65] | ( ↔  ) = order-4 octahedral | (3333) | - | (3333) | (3333) | | |
| [67] | ( ↔ ) = truncated order-4 octahedral | (466) | (4444) | (3434) | (466) | ||
| [83] | alternated square ( ↔ ) = | (444) | (4444) | - | (444) | (4.3.4.3) | |
| [84] | cantic square ( ↔ ) = | (388) | (488) | (3434) | (388) | ||
| [85] | runcic square ( ↔ ) = | (3444) | (3434) | (3333) | (3444) | ||
| [86] | runcicantic square ( ↔ ) = | (468) | (488) | (466) | (468) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location | Vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| Scaliform | snub order-4 octahedral = = | | - | - | | irr. {}v{4} | ||
| Nonuniform | | | | | | |||
| Nonsimplectic | alternated tetrahedral-square ↔   | | | | ||||
[(4,4,4,3)] family[edit]
There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group: .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 95 | cubic-square | (8) (4.4.4) | - | (6) (4.4.4.4) | (12) (4.4.4.4) | (3.4.4.4) | |
| 96 | octahedral-square | (3.4.3.4) | (3.3.3.3) | - | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | |
| 97 | cyclotruncated cubic-square | (4) (3.8.8) | (1) (3.3.3.3) | (1) (4.4.4.4) | (4) (4.8.8) | ||
| 98 | cyclotruncated square-cubic | (1) (4.4.4) | (1) (4.4.4) | (3) (4.8.8) | (3) (4.8.8) | ||
| 99 | cyclotruncated octahedral-square | (4) (4.6.6) | (4) (4.6.6) | (1) (4.4.4.4) | (1) (4.4.4.4) | ||
| 100 | rectified cubic-square | (1) (3.4.3.4) | (2) (3.4.4.4) | (1) (4.4.4.4) | (2) (4.4.4.4) | ||
| 101 | truncated cubic-square | (1) (4.8.8) | (1) (3.4.4.4) | (2) (4.8.8) | (1) (4.8.8) | ||
| 102 | truncated octahedral-square | (2) (4.6.8 | (1) (4.6.6) | (1) (4.4.4.4) | (1) (4.8.8) | ||
| 103 | omnitruncated octahedral-square | (1) (4.6.8) | (1) (4.6.8) | (1) (4.8.8) | (1) (4.8.8) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | |||
| Nonsimplectic | alternated cubic-square ↔ | - | | | | (3.4.4.4) | |
| Nonuniform | snub octahedral-square | | | | | ||
| Nonuniform | cyclosnub square-cubic | | | | | ||
| Nonuniform | cyclosnub octahedral-square | | | | | ||
| Nonuniform | omnisnub cubic-square | (3.3.3.3.4) | (3.3.3.3.4) | (3.3.4.3.4) | (3.3.4.3.4) | +(3.3.3) | |
[(4,4,4,4)] family[edit]
There are 5 forms, 1 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . Repeat constructions are related as: ↔ , ↔ , and 
↔ .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 104 | quarter order-4 square ↔ | (4.8.8) | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | (4.8.8) | ||
| [62] | square ↔ ↔ | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | ||
| [77] | order-4 square ( ↔ ) = | (4.4.4.4) | - | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | (4.4.4.4) | |
| [78] | truncated order-4 square ( ↔ ) = | (4.8.8) | (4.4.4.4) | (4.8.8) | (4.8.8) | ||
| [79] | bitruncated order-4 square ↔ | (4.8.8) | (4.8.8) | (4.8.8) | (4.8.8) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | |||
| [83] | alternated square ( ↔ ↔ ) = | (6) (4.4.4.4) | (6) (4.4.4.4) | (6) (4.4.4.4) | (6) (4.4.4.4) | (8) (4.4.4) | (4.3.4.3) |
| Nonsimplectic | alternated order-4 square ↔ | | - | | | ||
| Nonsimplectic | cantic order-4 square ↔ | | | | | ||
| Nonuniform | cyclosnub square | | | | | ||
| Nonuniform | snub order-4 square | | | | | ||
| Nonuniform | bisnub order-4 square ↔ | (3.3.4.3.4) | (3.3.4.3.4) | (3.3.4.3.4) | (3.3.4.3.4) | +(3.3.3) | |
[(6,3,3,3)] family[edit]
There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group: .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1  | 2 | 3 | |||
| 105 | tetrahedral-hexagonal | (4) (3.3.3) | - | (4) (6.6.6) | (6) (3.6.3.6) |  (3.4.3.4) |
| 106 | tetrahedral-triangular | (3.3.3.3) | (3.3.3) | - | (3.3.3.3.3.3) | (3.4.6.4) |
| 107 | cyclotruncated tetrahedral-hexagonal | (3) (3.6.6) | (1) (3.3.3) | (1) (6.6.6) | (3) (6.6.6) | |
| 108 | cyclotruncated hexagonal-tetrahedral | (1) (3.3.3) | (1) (3.3.3) | (4) (3.12.12) | (4) (3.12.12) | |
| 109 | cyclotruncated tetrahedral-triangular | (6) (3.6.6) | (6) (3.6.6) | (1) (3.3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.3.3) | |
| 110 | rectified tetrahedral-hexagonal | (1) (3.3.3.3) | (2) (3.4.3.4) | (1) (3.6.3.6) | (2) (3.4.6.4) | |
| 111 | truncated tetrahedral-hexagonal | (1) (3.6.6) | (1) (3.4.3.4) | (1) (3.12.12) | (2) (4.6.12) | |
| 112 | truncated tetrahedral-triangular | (2) (4.6.6) | (1) (3.6.6) | (1) (3.4.6.4) | (1) (6.6.6) | |
| 113 | omnitruncated tetrahedral-hexagonal | (1) (4.6.6) | (1) (4.6.6) | (1) (4.6.12) | (1) (4.6.12) | |
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | |||
| Nonuniform | omnisnub tetrahedral-hexagonal | (3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | +(3.3.3) | |
[(6,3,4,3)] family[edit]
There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group:
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | |||
| 114 | octahedral-hexagonal | (6) (3.3.3.3)  | - | (8) (6.6.6)  | (12) (3.6.3.6)  | |
| 115 | cubic-triangular | (∞) (3.4.3.4) | (∞) (4.4.4) | - | (∞) (3.3.3.3.3.3) | (3.4.6.4) |
| 116 | cyclotruncated octahedral-hexagonal | (3) (4.6.6) | (1) (4.4.4) | (1) (6.6.6) | (3) (6.6.6) | |
| 117 | cyclotruncated hexagonal-octahedral | (1) (3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3) | (4) (3.12.12) | (4) (3.12.12) | |
| 118 | cyclotruncated cubic-triangular | (6) (3.8.8) | (6) (3.8.8) | (1) (3.3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.3.3) | |
| 119 | rectified octahedral-hexagonal | (1) (3.4.3.4) | (2) (3.4.4.4) | (1) (3.6.3.6) | (2) (3.4.6.4) | |
| 120 | truncated octahedral-hexagonal | (1) (4.6.6) | (1) (3.4.4.4) | (1) (3.12.12) | (2) (4.6.12) | |
| 121 | truncated cubic-triangular | (2) (4.6.8) | (1) (3.8.8) | (1) (3.4.6.4) | (1) (6.6.6) | |
| 122 | omnitruncated octahedral-hexagonal | (1) (4.6.8) | (1) (4.6.8) | (1) (4.6.12) | (1) (4.6.12) | |
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | |||
| Nonuniform | cyclosnub octahedral-hexagonal  | (3.3.3.3.3)   | (3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | irr. {3,4} | |
| Nonuniform | omnisnub octahedral-hexagonal | (3.3.3.3.4) | (3.3.3.3.4)  | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | irr. {3,3} | |
[(6,3,5,3)] family[edit]
There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group:
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 123 | icosahedral-hexagonal | (6) (3.3.3.3.3) | - | (8) (6.6.6) | (12) (3.6.3.6) | 3.4.5.4 | |
| 124 | dodecahedral-triangular | (30) (3.5.3.5) | (20) (5.5.5) | - | (12) (3.3.3.3.3.3) | (3.4.6.4) | |
| 125 | cyclotruncated icosahedral-hexagonal | (3) (5.6.6) | (1) (5.5.5) | (1) (6.6.6) | (3) (6.6.6) | ||
| 126 | cyclotruncated hexagonal-icosahedral | (1) (3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.3) | (5) (3.12.12) | (5) (3.12.12) | ||
| 127 | cyclotruncated dodecahedral-triangular | (6) (3.10.10) | (6) (3.10.10) | (1) (3.3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| 128 | rectified icosahedral-hexagonal | (1) (3.5.3.5) | (2) (3.4.5.4) | (1) (3.6.3.6) | (2) (3.4.6.4) | ||
| 129 | truncated icosahedral-hexagonal | (1) (5.6.6) | (1) (3.5.5.5) | (1) (3.12.12) | (2) (4.6.12) | ||
| 130 | truncated dodecahedral-triangular | (2) (4.6.10) | (1) (3.10.10) | (1) (3.4.6.4) | (1) (6.6.6) | ||
| 131 | omnitruncated icosahedral-hexagonal | (1) (4.6.10) | (1) (4.6.10) | (1) (4.6.12) | (1) (4.6.12) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| Nonuniform | omnisnub icosahedral-hexagonal | (3.3.3.3.5) | (3.3.3.3.5) | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | +(3.3.3) | ||
[(6,3,6,3)] family[edit]
There are 6 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group: .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 132 | hexagonal-triangular | (3.3.3.3.3.3) | - | (6.6.6) | (3.6.3.6) | (3.4.6.4) | |
| 133 | cyclotruncated hexagonal-triangular | (1) (3.3.3.3.3.3) | (1) (3.3.3.3.3.3) | (3) (3.12.12) | (3) (3.12.12) | ||
| 134 | cyclotruncated triangular-hexagonal | (1) (3.6.3.6) | (2) (3.4.6.4) | (1) (3.6.3.6) | (2) (3.4.6.4) | ||
| 135 | rectified hexagonal-triangular | (1) (6.6.6) | (1) (3.4.6.4) | (1) (3.12.12) | (2) (4.6.12) | ||
| 136 | truncated hexagonal-triangular | (1) (4.6.12) | (1) (4.6.12) | (1) (4.6.12) | (1) (4.6.12) | ||
| [16] | order-4 hexagonal tiling = | (3) (6.6.6) | (1) (6.6.6) | (1) (6.6.6) | (3) (6.6.6) | (3.3.3.3) | |
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| [141] | alternated order-4 hexagonal ↔ ↔ ↔ | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | +(3.3.3.3) | (4.6.6) | |
| Nonuniform | cyclocantisnub hexagonal-triangular | |||||||
| Nonuniform | cycloruncicantisnub hexagonal-triangular | |||||||
| Nonuniform | snub rectified hexagonal-triangular | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.6) | +(3.3.3) | ||
Loop-n-tail graphs[edit]
[3,3[3]] family[edit]
There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [3,3[3]] or . 7 are half symmetry forms of [3,3,6]: 
↔ .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | ||||
| 137 | alternated hexagonal ( ↔ ) = | - | - | (3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (3.6.6) | |
| 138 | cantic hexagonal ↔ | (1) (3.3.3.3) | - | (2) (3.6.6) | (2) (3.6.3.6) | ||
| 139 | runcic hexagonal ↔ | (1) (4.4.4) | (1) (4.4.3) | (3) (3.4.3.4) | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| 140 | runcicantic hexagonal ↔ | (1) (3.10.10) | (1) (4.4.3) | (2) (4.6.6) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [2] | rectified hexagonal ↔ | (1) (3.3.3) | - | (1) (3.3.3) | (6) (3.6.3.6) | Triangular prism | |
| [3] | rectified order-6 tetrahedral ↔ | (2) (3.3.3.3) | - | (2) (3.3.3.3) | (2) (3.3.3.3.3.3) | Hexagonal prism | |
| [4] | order-6 tetrahedral ↔ | (4) (4.4.4) | - | (4) (4.4.4) | - | | |
| [8] | cantellated order-6 tetrahedral ↔ | (1) (3.3.3.3) | (2) (4.4.6) | (1) (3.3.3.3) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [9] | bitruncated order-6 tetrahedral ↔ | (1) (3.6.6) | - | (1) (3.6.6) | (2) (6.6.6) | ||
| [10] | truncated order-6 tetrahedral ↔ | (2) (3.10.10) | - | (2) (3.10.10) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [14] | cantitruncated order-6 tetrahedral ↔ | (1) (4.6.6) | (1) (4.4.6) | (1) (4.6.6) | (1) (6.6.6) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | Alt | |||
| Nonuniform | snub rectified order-6 tetrahedral ↔ | (3.3.3.3.3) | (3.3.3.3) | (3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | +(3.3.3) | |
[4,3[3]] family[edit]
There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [4,3[3]] or . 7 are half symmetry forms of [4,3,6]: ↔ .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | ||||
| 141 | alternated order-4 hexagonal ↔ | - | - | (3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (4.6.6) | |
| 142 | cantic order-4 hexagonal ↔ ↔ | (1) (3.4.3.4) | - | (2) (4.6.6) | (2) (3.6.3.6) | ||
| 143 | runcic order-4 hexagonal ↔ | (1) (4.4.4) | (1) (4.4.3) | (3) (3.4.4.4) | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| 144 | runcicantic order-4 hexagonal ↔ | (1) (3.8.8) | (1) (4.4.3) | (2) (4.6.8) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [16] | order-4 hexagonal ↔ | (4) (4.4.4) | - | (4) (4.4.4) | - | ||
| [17] | rectified order-4 hexagonal ↔ | (1) (3.3.3.3) | - | (1) (3.3.3.3) | (6) (3.6.3.6) | ||
| [18] | rectified order-6 cubic ↔ | (2) (3.4.3.4) | - | (2) (3.4.3.4) | (2) (3.3.3.3.3.3) | ||
| [21] | bitruncated order-4 hexagonal ↔ | (1) (4.6.6) | - | (1) (4.6.6) | (2) (6.6.6) | ||
| [22] | truncated order-6 cubic ↔ | (2) (3.8.8) | - | (2) (3.8.8) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [23] | cantellated order-4 hexagonal ↔ | (1) (3.4.4.4) | (2) (4.4.6) | (1) (3.4.4.4) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [26] | cantitruncated order-4 hexagonal ↔ | (1) (4.6.8) | (1) (4.4.6) | (1) (4.6.8) | (1) (6.6.6) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | Alt | |||
| Nonuniform | snub rectified order-4 hexagonal ↔ | (3.3.3.3.4) | (3.3.3.3) | (3.3.3.3.4) | (3.3.3.3.3.3) | +(3.3.3) | |
[5,3[3]] family[edit]
There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [5,3[3]] or . 7 are half symmetry forms of [5,3,6]: ↔ .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0' | 3 | ||||
| 145 | alternated order-5 hexagonal ↔ | - | - | (3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (3.6.3.6) | |
| 146 | cantic order-5 hexagonal ↔ | (1) (3.5.3.5) | - | (2) (5.6.6) | (2) (3.6.3.6) | ||
| 147 | runcic order-5 hexagonal ↔ | (1) (5.5.5) | (1) (4.4.3) | (3) (3.4.5.4) | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| 148 | runcicantic order-5 hexagonal ↔ | (1) (3.10.10) | (1) (4.4.3) | (2) (4.6.10) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [32] | rectified order-5 hexagonal ↔ | (1) (3.3.3.3.3) | - | (1) (3.3.3.3.3) | (6) (3.6.3.6) | ||
| [33] | rectified order-6 dodecahedral ↔ | (2) (3.5.3.5) | - | (2) (3.5.3.5) | (2) (3.3.3.3.3.3) | ||
| [34] | Order-5 hexagonal ↔ | (4) (5.5.5) | - | (4) (5.5.5) | - | ||
| [35] | truncated order-6 dodecahedral ↔ | (2) (3.10.10) | - | (2) (3.10.10) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [38] | cantellated order-5 hexagonal ↔ | (1) (3.4.5.4) | (2) (6.4.4) | (1) (3.4.5.4) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [39] | bitruncated order-5 hexagonal ↔ | (1) (5.6.6) | - | (1) (5.6.6) | (2) (6.6.6) | ||
| [44] | cantitruncated order-5 hexagonal ↔ | (1) (4.6.10) | (1) (6.4.4) | (1) (4.6.10) | (1) (6.6.6) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | Alt | ||||
| Nonuniform | snub rectified order-5 hexagonal ↔ | (3.3.3.3.5) | (3.3.3) | (3.3.3.3.5) | (3.3.3.3.3.3) | +(3.3.3) | ||
[6,3[3]] family[edit]
There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [6,3[3]] or . 7 are half symmetry forms of [6,3,6]: ↔ .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | ||||
| 149 | runcic order-6 hexagonal ↔ | (1) (6.6.6) | (1) (4.4.3) | (3) (3.4.6.4) | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| 150 | runcicantic order-6 hexagonal ↔ | (1) (3.12.12) | (1) (4.4.3) | (2) (4.6.12) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [1] | hexagonal ↔ ↔ ↔ | (1) (6.6.6) | - | (1) (6.6.6) | (2) (6.6.6) | ||
| [46] | order-6 hexagonal ↔ | (4) (6.6.6) | - | (4) (6.6.6) | - | ||
| [47] | rectified order-6 hexagonal ↔ | (2) (3.6.3.6) | - | (2) (3.6.3.6) | (2) (3.3.3.3.3.3) | ||
| [47] | rectified order-6 hexagonal ↔ | (1) (3.3.3.3.3.3) | - | (1) (3.3.3.3.3.3) | (6) (3.6.3.6) | ||
| [48] | truncated order-6 hexagonal ↔ | (2) (3.12.12) | - | (2) (3.12.12) | (1) (3.3.3.3.3.3) | ||
| [49] | cantellated order-6 hexagonal ↔ | (1) (3.4.6.4) | (2) (6.4.4) | (1) (3.4.6.4) | (1) (3.6.3.6) | ||
| [51] | cantitruncated order-6 hexagonal ↔ | (1) (4.6.12) | (1) (6.4.4) | (1) (4.6.12) | (1) (6.6.6) | ||
| [54] | triangular tiling honeycomb ( ↔ ) = | - | - | (3.3.3.3.3.3) | (3.3.3.3.3.3) | (6.6.6) | |
| [55] | cantic order-6 hexagonal ( ↔ ) = | (1) (3.6.3.6) | - | (2) (6.6.6) | (2) (3.6.3.6) | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0' | 3 | Alt | ||||
| [54] | triangular tiling honeycomb ( ↔ ↔ ) = | | - | | - | (6.6.6) | ||
| [137] | alternated hexagonal ( ↔ ) = ( ↔ ) | | - | | | +(3.6.6) | (3.6.6) | |
| [47] | rectified order-6 hexagonal ↔ ↔ ↔ | (3.6.3.6) | - | (3.6.3.6) | (3.3.3.3.3.3) | |||
| [55] | cantic order-6 hexagonal ( ↔ ) = ( ↔ ) = | (1) (3.6.3.6) | - | (2) (6.6.6) | (2) (3.6.3.6) | |||
| Nonuniform | snub rectified order-6 hexagonal ↔ | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3) | (3.3.3.3.6) | (3.3.3.3.3.3) | +(3.3.3) | ||
Multicyclic graphs[edit]
[3[ ]×[ ]] family[edit]
There are 8 forms, 1 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . Two are duplicated as ↔ , two as ↔ , and three as ↔ .
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 151 | Quarter order-4 hexagonal ↔ | | | | | ||
| [17] | rectified order-4 hexagonal ↔ ↔ ↔ | | | | | (4.4.4) | |
| [18] | rectified order-6 cubic ↔ ↔ ↔ | | | | | (6.4.4) | |
| [21] | bitruncated order-6 cubic ↔ ↔ ↔ | | | | | ||
| [87] | alternated order-6 cubic ↔ ↔ | - | | | | (3.6.3.6) | |
| [88] | cantic order-6 cubic ↔ ↔ | | | | | ||
| [141] | alternated order-4 hexagonal ↔ ↔ | | - | | | (4.6.6) | |
| [142] | cantic order-4 hexagonal ↔ ↔ | | | | | ||
| # | Honeycomb name Coxeter diagram | Cells by location (and count around each vertex) | Vertex figure | Picture | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | ||||
| Nonuniform | bisnub order-6 cubic ↔ | | | | | irr. {3,3} | ||
[3[3,3]] family[edit]
There are 4 forms, 0 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . They are repeated in four families: 
↔ (index 2 subgroup),
↔ (index 4 subgroup), ↔ (index 6 subgroup), and ↔ (index 24 subgroup).
| # | Name Coxeter diagram | 0 | 1 | 2 | 3 | vertex figure | Picture |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [1] | hexagonal ↔ | | | | | {3,3} | |
| [47] | rectified order-6 hexagonal ↔ | | | | | t{2,3} | |
| [54] | triangular tiling honeycomb ( ↔ ) = | | - | |  | t{3[3]} | |
| [55] | rectified triangular ↔ | | | | | t{2,3} |
| # | Name Coxeter diagram | 0 | 1 | 2 | 3 | Alt | vertex figure | Picture |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [137] | alternated hexagonal ( ↔ ) = | s{3[3]} | s{3[3]} | s{3[3]} | s{3[3]} | {3,3} | (4.6.6) |
Summary enumerations by family[edit]
Linear graphs[edit]
| Group | Extendedsymmetry | Honeycombs | Chiral extended symmetry | Alternation honeycombs | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
[4,4,3] | [4,4,3] | 15 | | | | | | | | | | | | | | [1+,4,1+,4,3+] | (6) | (↔ ) (↔ ) | | |
| [4,4,3]+ | (1) | | ||||
[4,4,4] | [4,4,4] | 3 | | | | [1+,4,1+,4,1+,4,1+] | (3) | (↔ = ) | |
| [4,4,4] ↔ | (3) | | | | [1+,4,1+,4,1+,4,1+] | (3) | (↔ ) | | |
| [2+[4,4,4]] | 3 | | | | [2+[(4,4+,4,2+)]] | (2) | | | |
| [2+[4,4,4]]+ | (1) | | ||||
[6,3,3] | [6,3,3] | 15 | | | | | | | | | | | | | | [1+,6,(3,3)+] | (2) | (↔ ) |
| [6,3,3]+ | (1) | | ||||
[6,3,4] | [6,3,4] | 15 | | | | | | | | | | | | | | [1+,6,3+,4,1+] | (6) | (↔ ) (↔ ) | | |
| [6,3,4]+ | (1) | | ||||
[6,3,5] | [6,3,5] | 15 | | | | | | | | | | | | | | [1+,6,(3,5)+] | (2) | (↔ ) |
| [6,3,5]+ | (1) | | ||||
[3,6,3] | [3,6,3] | 5 | | | | | | |||
| [3,6,3] ↔ | (1) | | [2+[3+,6,3+]] | (1) | | |
| [2+[3,6,3]] | 3 | | | | [2+[3,6,3]]+ | (1) | | |
[6,3,6] | [6,3,6] | 6 | | | | | | [1+,6,3+,6,1+] | (2) | (↔ ) |
| [2+[6,3,6]] ↔ | (1) | | [2+[(6,3+,6,2+)]] | (2) | | |
| [2+[6,3,6]] | 2 | | | | |||
| [2+[6,3,6]]+ | (1) | | ||||
Tridental graphs[edit]
| Group | Extendedsymmetry | Honeycombs | Chiral extended symmetry | Alternation honeycombs | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
[6,31,1] | [6,31,1] | 4 | | | | | |||
| [1[6,31,1]]=[6,3,4] ↔ | (7) | | | | | | | | [1[1+,6,31,1]]+ | (2) | (↔ ) | |
| [1[6,31,1]]+=[6,3,4]+ | (1) | | ||||
[3,41,1] | [3,41,1] | 4 | | | | | [3+,41,1]+ | (2) |  ↔ |
| [1[3,41,1]]=[3,4,4] ↔ | (7) | | | | | | | | [1[3+,41,1]]+ | (2) | | | |
| [1[3,41,1]]+ | (1) | | ||||
[41,1,1] | [41,1,1] | 0 | (none) | |||
| [1[41,1,1]]=[4,4,4] ↔ | (4) | | | | | [1[1+,4,1+,41,1]]+=[(4,1+,4,1+,4,2+)] | (4) | (↔ ) | | | |
[3[41,1,1]]=[4,4,3] ↔ | (3) | | | | [3[1+,41,1,1]]+=[1+,4,1+,4,3+] | (2) | (↔ ) | |
| [3[41,1,1]]+=[4,4,3]+ | (1) | | ||||
Cyclic graphs[edit]
| Group | Extendedsymmetry | Honeycombs | Chiral extended symmetry | Alternation honeycombs | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
[(4,4,4,3)] | [(4,4,4,3)] | 6 | | | | | | | [(4,1+,4,1+,4,3+)] | (2) | ↔ |
[2+[(4,4,4,3)]] | 3 | | | | [2+[(4,4+,4,3+)]] | (2) | | | |
| [2+[(4,4,4,3)]]+ | (1) | | ||||
[4[4]] | [4[4]] | (none) | ||||
| [2+[4[4]]] | 1 | | [2+[(4+,4)[2]]] | (1) | | |
| [1[4[4]]]=[4,41,1] ↔ | (2) | | [(1+,4)[4]] | (2) | ↔ | |
| [2[4[4]]]=[4,4,4] ↔ | (1) | | [2+[(1+,4,4)[2]]] | (1) | | |
| [(2+,4)[4[4]]]=[2+[4,4,4]] = | (1) | | [(2+,4)[4[4]]]+ = [2+[4,4,4]]+ | (1) | | |
[(6,3,3,3)] | [(6,3,3,3)] | 6 | | | | | | | |||
| [2+[(6,3,3,3)]] | 3 | | | | [2+[(6,3,3,3)]]+ | (1) | | |
[(3,4,3,6)] | [(3,4,3,6)] | 6 | | | | | | | [(3+,4,3+,6)] | (1) | |
| [2+[(3,4,3,6)]] | 3 | | | | [2+[(3,4,3,6)]]+ | (1) | | |
[(3,5,3,6)] | [(3,5,3,6)] | 6 | | | | | | | |||
| [2+[(3,5,3,6)]] | 3 | | | | [2+[(3,5,3,6)]]+ | (1) | | |
[(3,6)[2]] | [(3,6)[2]] | 2 | | | |||
[2+[(3,6)[2]]] | 1 | | ||||
| [2+[(3,6)[2]]] | 1 | | ||||
[2+[(3,6)[2]]] = | (1) | | [2+[(3+,6)[2]]] | (1) | | |
| [(2,2)+[(3,6)[2]]] | 1 | | [(2,2)+[(3,6)[2]]]+ | (1) | | |
| Group | Extendedsymmetry | Honeycombs | Chiral extended symmetry | Alternation honeycombs | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
[(3,3,4,4)] | [(3,3,4,4)] | 4 | | | | | |||
| [1[(4,4,3,3)]]=[3,41,1] ↔ | (7) | | | | | | | | [1[(3,3,4,1+,4)]]+ = [3+,41,1]+ | (2) | (= ) | |
| [1[(3,3,4,4)]]+ = [3,41,1]+ | (1) | | ||||
[3[ ]x[ ]] | [3[ ]x[ ]] | 1 | | |||
| [1[3[ ]x[ ]]]=[6,31,1] ↔ | (2) | | | ||||
| [1[3[ ]x[ ]]]=[4,3[3]] ↔ | (2) | | | ||||
| [2[3[ ]x[ ]]]=[6,3,4] ↔ | (3) | | | | [2[3[ ]x[ ]]]+ =[6,3,4]+ | (1) | | |
[3[3,3]]  | [3[3,3]] | 0 | (none) | |||
| [1[3[3,3]]]=[6,3[3]] ↔ | 0 | (none) | ||||
| [3[3[3,3]]]=[3,6,3] ↔ | (2) | | | ||||
| [2[3[3,3]]]=[6,3,6] ↔ | (1) | | ||||
| [(3,3)[3[3,3]]]=[6,3,3] = | (1) | | [(3,3)[3[3,3]]]+ = [6,3,3]+ | (1) | | |
Loop-n-tail graphs[edit]
Symmetry in these graphs can be doubled by adding a mirror: [1[n,3[3]]] = [n,3,6]. Therefore ring-symmetry graphs are repeated in the linear graph families.
| Group | Extendedsymmetry | Honeycombs | Chiral extended symmetry | Alternation honeycombs | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
[3,3[3]] | [3,3[3]] | 4 | | | | | |||
| [1[3,3[3]]]=[3,3,6] ↔ | (7) | | | | | | | | [1[3,3[3]]]+ = [3,3,6]+ | (1) | | |
[4,3[3]] | [4,3[3]] | 4 | | | | | |||
| [1[4,3[3]]]=[4,3,6] ↔ | (7) | | | | | | | | [1+,4,(3[3])+] | (2) | ↔ | |
| [4,3[3]]+ | (1) | | ||||
[5,3[3]] | [5,3[3]] | 4 | | | | | |||
| [1[5,3[3]]]=[5,3,6] ↔ | (7) | | | | | | | | [1[5,3[3]]]+ = [5,3,6]+ | (1) | | |
[6,3[3]] | [6,3[3]] | 2 | | | |||
| [6,3[3]] = | (2) | ( ↔ ) | ( = ) | ||||
| [(3,3)[1+,6,3[3]]]=[6,3,3] ↔ ↔ | (1) | | [(3,3)[1+,6,3[3]]]+ | (1) | | |
| [1[6,3[3]]]=[6,3,6] ↔ | (6) | | | | | | | [3[1+,6,3[3]]]+ = [3,6,3]+ | (1) | ↔ (= ) | |
| [1[6,3[3]]]+ = [6,3,6]+ | (1) | | ||||
See also[edit]
- Uniform tilings in hyperbolic plane
- List of regular polytopes#Tessellations of hyperbolic 3-space
Notes[edit]
- ^ P. Tumarkin, Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets (2003)
References[edit]
- James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
- The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space)
- Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2nd edition ISBN 0-8247-0709-5 (Chapter 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II)
- Coxeter Decompositions of Hyperbolic Tetrahedra, arXiv/PDF, A. Felikson, December 2002
- C. W. L. Garner, Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space Can. J. Math. 19, 1179-1186, 1967. PDF [1]
- Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) Chapters 11,12,13
- N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups (1999), Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [2] [3]
- N.W. Johnson, R. Kellerhals, J.G. Ratcliffe,S.T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups, (2002) H3: p130. [4]
- Klitzing, Richard. "Hyperbolic honeycombs H3 paracompact".