| Орден-4 восьмигранные соты | |
|---|---|
 Перспективный вид в модели диска Пуанкаре | |
| Тип | Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | {3,4,4} {3,4 1,1 } |
| Диаграммы Кокстера |       ↔    ↔   ↔   |
| Клетки | {3,4}  |
| Лица | треугольник {3} |
| Фигурка края | квадрат {4} |
| Фигура вершины | квадратная черепица , {4,4}    |
| Двойной | Сотовый квадрат , облицованный плиткой, {4,4,3} |
| Группы Кокстера | , [3,4,4] , [3,4 1,1 ] |
| Характеристики | Обычный |
Порядок-4 октаэдрические сотни являются регулярными паракомпактными сотами в гиперболическом 3-пространстве . Он паракомпактен, потому что у него бесконечные фигуры вершин , причем все вершины являются идеальными точками на бесконечности. Предоставлено Шлефли символ {3,4,4}, он имеет четыре идеальных октаэдров вокруг каждое ребра, и бесконечные октаэдры вокруг каждой вершины в квадратной плитке вершине фигуры . [1]
Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Симметрия [ править ]
Конструкция полусимметрии [3,4,4,1 + ] существует как {3,4 1,1 } с двумя чередующимися типами (цветами) октаэдрических ячеек: ↔ .
Вторая полусимметрия [3,4,1 + , 4]: ↔ .
Субсимметрия более высокого индекса, [3,4,4 * ], которая является индексом 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью, [((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3))]: .
Эти соты содержат а также 
эта плитка 2- гиперциклических поверхностей, которые похожи на паракомпактные треугольные мозаики бесконечного порядка 
а также 
, соответственно:
Связанные многогранники и соты [ править ]
Октаэдрические соты четвертого порядка представляют собой обычные гиперболические соты в 3-м пространстве и являются одной из одиннадцати обычных паракомпактных сот.
| 11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} | |||||||
В семействе группы [3,4,4] Кокстера пятнадцать однородных сот , включая эту регулярную форму.
| {4,4,3} | г {4,4,3} | т {4,4,3} | рр {4,4,3} | т 0,3 {4,4,3} | tr {4,4,3} | т 0,1,3 {4,4,3} | т 0,1,2,3 {4,4,3} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,4,4} | г {3,4,4} | т {3,4,4} | rr {3,4,4} | 2т {3,4,4} | tr {3,4,4} | т 0,1,3 {3,4,4} | т 0,1,2,3 {3,4,4} |
Он является частью последовательности сот с квадратной фигурой вершины мозаики :
| {п, 4,4} соты | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Космос | E 3 | H 3 | ||||
| Форма | Аффинный | Паракомпакт | Некомпактный | |||
| Имя | {2,4,4} | {3,4,4} | {4,4,4} | {5,4,4} | {6,4,4} | .. {∞, 4,4} |
Coxeter |    | |  |   |    |   |
| Изображение | ||||||
| Клетки | {2,4} | {3,4} | {4,4} | {5,4} | {6,4} | {∞, 4} |
Он является частью последовательности регулярных полихор и сот с октаэдрическими ячейками :
| {3,4, p} многогранники | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Космос | S 3 | H 3 | |||||||||
| Форма | Конечный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||||
| Имя | {3,4,3}  | {3,4,4} | {3,4,5} | {3,4,6} | {3,4,7} | {3,4,8}  | ... {3,4, ∞} | ||||
| Изображение | |||||||||||
Фигура вершины | {4,3} | {4,4}  | {4,5} | {4,6} | {4,7} | {4,8} | {4, ∞} | ||||
Выпрямленные восьмигранные соты порядка 4 [ править ]
| Выпрямленные восьмигранные соты порядка-4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | r {3,4,4} или t 1 {3,4,4} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ ↔ |
| Клетки | г {4,3} {4,4} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
| Фигура вершины | квадратная призма |
| Группы Кокстера | , [3,4,4] , [3,4 1,1 ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный |
Выпрямляются порядка 4 октаэдрических сотни , т 1 {3,4,4},имеет кубооктаэдр и квадратные грани мозаики с квадратной призмой вершиной .
Октаэдрические соты усеченного порядка 4 [ править ]
| Октаэдрические соты усеченного порядка-4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | t {3,4,4} или t 0,1 {3,4,4} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ ↔ |
| Клетки | т {3,4} {4,4} |
| Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | квадратная пирамида |
| Группы Кокстера | , [3,4,4] , [3,4 1,1 ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усечен порядок-4 октаэдрические сотни , т 0,1 {3,4,4},имеет усеченный октаэдр и квадратные грани мозаики с квадратной пирамидальной вершиной .
Октаэдрические соты с обрезанным битом порядка 4 [ править ]
Bitruncated порядок-4 октаэдрические сотни являются таким же , как bitruncated квадратной плитки сот .
Сотовые восьмигранные соты четвертого порядка [ править ]
| Квантовые восьмигранные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | rr {3,4,4} или t 0,2 {3,4,4} s 2 {3,4,4} |
| Диаграммы Кокстера |  ↔ |
| Клетки | rr {3,4} {} x4 r {4,4} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
| Фигура вершины | клин |
| Группы Кокстера | , [3,4,4] , [3,4 1,1 ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantellated порядок-4 октаэдрические сотни , т 0,2 {3,4,4},имеет грани ромбокубооктаэдра , куба и квадратной мозаики с фигурой вершины клина .
Cantitruncated восьмигранные соты четвертого порядка [ править ]
| Октаэдрические соты Cantitruncated порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | tr {3,4,4} или t 0,1,2 {3,4,4} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ |
| Клетки | tr {3,4} {} x {4} t {4,4} |
| Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} |
| Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
| Группы Кокстера | , [3,4,4] , [3,4 1,1 ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated порядок-4 октаэдрические сотни , т 0,1,2 {3,4,4},имеет усеченный кубооктаэдр , куб и усеченные квадратные грани мозаики с зеркальной фигурой вершины клиновидной кости .
Октаэдрические соты Runcinated порядка 4 [ править ]
Runcinated порядок-4 октаэдрические сотни являются таким же , как runcinated квадратной плитки сот .
Усеченные восьмигранные соты четвертого порядка [ править ]
| Октаэдрические соты усеченного порядка 4-го порядка | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | т 0,1,3 {3,4,4} |
| Диаграммы Кокстера | ↔ |
| Клетки | t {3,4} {6} x {} rr {4,4} |
| Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} |
| Фигура вершины | квадратная пирамида |
| Группы Кокстера | , [3,4,4] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcitruncated порядок-4 октаэдрические сотни , т 0,1,3 {3,4,4},имеет усеченный октаэдр , шестиугольную призму и квадратные грани мозаики с квадратной фигурой вершины пирамиды .
Октаэдрические соты Runcicantellated порядка 4 [ править ]
Runcicantellated порядок-4 октаэдрические сотни являются таким же , как runcitruncated квадратной плитки сот .
Омнитусеченные восьмигранные соты четвертого порядка [ править ]
Omnitruncated порядок-4 октаэдрические сотни являются таким же , как omnitruncated квадратной плитки сот .
Октаэдрические соты типа Snub-4 [ править ]
| Сотовые соты Snub order-4 восьмигранные | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные чешуйчатые соты |
| Символы Шлефли | с {3,4,4} |
| Диаграммы Кокстера | ↔  ↔  ↔ |
| Клетки | квадратная мозаика икосаэдр квадратная пирамида |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
| Фигура вершины | |
| Группы Кокстера | [4,4,3 + ] [4 1,1 , 3 + ] [(4,4, (3,3) + )] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Вздернутый порядок-4 октаэдрические сот , с {3,4,4}, имеет диаграмму Кокстера. Это чешуйчатые соты с квадратной пирамидой , квадратной черепицей и гранями икосаэдра .
См. Также [ править ]
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
- Паракомпактные однородные соты
Ссылки [ править ]
- ↑ Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Глава 10, Таблица III.
- Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
- Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2015) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
- Норман У. Джонсон и Асия Ивич Вейсс Квадратичные целые числа и группы Кокстера PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999, с. 1307–1336
