| Треугольная черепица сотовая | |
|---|---|
 | |
| Тип | Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | {3,6,3} ч {6,3,6} ч {6,3 [3] } ↔ {3 [3,3] } |
| Диаграммы Кокстера-Дынкина |      ↔     ↔    ↔  |
| Клетки | {3,6}   |
| Лица | треугольник {3} |
| Фигурка края | треугольник {3} |
| Фигура вершины |    шестиугольная черепица |
| Двойной | Самодвойственный |
| Группы Кокстера | , [3,6,3] , [6,3 [3] ] , [3 [3,3] ] |
| Характеристики | Обычный |
Треугольные плиточные сотни являются одним из 11 паракомпактных регулярных космических заполнения мозаик (или сот ) в гиперболическом 3-пространстве . Он называется паракомпактным, потому что он имеет бесконечные ячейки и фигуры вершин , причем все вершины являются идеальными точками на бесконечности. Он имеет символ Шлефли {3,6,3}, состоящий из треугольных мозаичных ячеек. Каждое ребро сот окружено тремя ячейками, и каждая вершина идеальна с бесконечным количеством пересекающихся ячеек. Его вершина представляет собой шестиугольную мозаику .
Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Симметрия [ править ]
Он имеет две конструкции с более низкой отражательной симметрией в виде чередующихся гексагональных мозаичных сот порядка 6 , ↔ , и, как из 
, который чередует 3 типа (цвета) треугольных мозаик вокруг каждого ребра. В нотации Кокстера удаление 3-го и 4-го зеркал, [3,6,3 * ] создает новую группу Кокстера [3 [3,3] ],, индекс подгруппы 6. Фундаментальная область в 6 раз больше. По диаграмме Кокстера есть 3 копии первого исходного зеркала в новой фундаментальной области:
↔ 
.
Связанные мозаики [ править ]
Он аналогичен двумерному гиперболическому апейрогональному замощению бесконечного порядка {∞, ∞} с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.
Связанные соты [ править ]
Треугольные черепичные соты представляют собой обычные гиперболические соты в 3-м пространстве и одну из одиннадцати паракомпактных сот.
| 11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} | |||||||
В семействе группы [3,6,3] Кокстера девять однородных сот , включая эту регулярную форму, а также усеченную форму, t 1,2 {3,6,3},со всеми усеченными шестиугольными гранями мозаики .
| {3,6,3} | г {3,6,3} | т {3,6,3} | рр {3,6,3} | т 0,3 {3,6,3} | 2т {3,6,3} | tr {3,6,3} | т 0,1,3 {3,6,3} | т 0,1,2,3 {3,6,3} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Соты также являются частью серии полихор и сот с треугольными фигурными краями .
| {3, п , 3} многогранники | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Космос | S 3 | H 3 | |||||||||
| Форма | Конечный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | |||||||
| {3, п , 3} | {3,3,3} | {3,4,3} | {3,5,3} | {3,6,3} | {3,7,3} | {3,8,3} | ... {3, ∞, 3} | ||||
| Изображение | |||||||||||
| Клетки | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} | ||||
Фигура вершины | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | ||||
Выпрямленные треугольные черепичные соты [ править ]
| Ректифицированная треугольная черепичная сотовая структура | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | г {3,6,3} ч 2 {6,3,6} |
| Диаграмма Кокстера | ↔  ↔ ↔ |
| Клетки | г {3,6} {6,3} |
| Лица | треугольник {3} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | треугольная призма |
| Группа Коксетера | , [3,6,3] , [6,3 [3] ] , [3 [3,3] ] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Выпрямляется треугольной плиточные соты ,, имеет тригексагональную мозаику и шестиугольную мозаичную ячейку с треугольной призмой в вершине.
Симметрия [ править ]
Эти соты с более низкой симметрией могут быть сконструированы как кантические гексагональные мозаичные соты порядка 6 , ↔ . Вторая конструкция с более низким индексом: ↔ .
Усеченные треугольные мозаичные соты [ править ]
| Усеченный треугольный черепичный сотовый | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т {3,6,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | т {3,6} {6,3} |
| Лица | шестигранник {6} |
| Фигура вершины | тетраэдр |
| Группа Коксетера | , [3,6,3] , [3,3,6] |
| Характеристики | Обычный |
Усеченной треугольной черепицей соты ,, представляет собой форму гексагональной черепичной соты с более низкой симметрией ,. Он содержит шестиугольные грани мозаики с четырехгранной вершиной.
Соты с усеченной треугольной плиткой [ править ]
| Сотовая плитка треугольной формы с усеченной кромкой | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | 2т {3,6,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | т {6,3} |
| Лица | треугольник {3} двенадцатигранник {12} |
| Фигура вершины | тетрагональный дисфеноид |
| Группа Коксетера | , [[3,6,3]] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберный, клеточно-транзитивный |
Bitruncated треугольной плиточные соты ,, имеет усеченные шестиугольные мозаичные ячейки с четырехугольной вершиной дисфеноида .
Сотовидные треугольные мозаичные соты [ править ]
| Сотовая черепица со скошенными треугольными углами | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | rr {3,6,3} или t 0,2 {3,6,3} s 2 {3,6,3} |
| Диаграмма Кокстера |  |
| Клетки | rr {6,3} r {6,3} {} × {3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | клин |
| Группа Коксетера | , [3,6,3] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantellated треугольной плиточные соты ,, Имеет rhombitrihexagonal черепицы , trihexagonal черепицы и треугольную призму клетку, с клиновидной вершиной фигурой.
Симметрия [ править ]
Он также может быть сконструирован как кантик-курносый треугольный черепичный сотовый заполнитель ,, полусимметричная форма с симметрией [3 + , 6,3].
Сота с усеченными треугольными плитками [ править ]
| Сота с усеченной треугольной черепицей | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | tr {3,6,3} или t 0,1,2 {3,6,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | tr {6,3} t {6,3} {} × {3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
| Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
| Группа Коксетера | , [3,6,3] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated треугольной плиточные соты ,, имеет усеченную трехгексагональную мозаику , усеченную шестиугольную мозаику и ячейки треугольной призмы с зеркально отраженной фигурой вершины клиновидной кости .
Пучковатые треугольные черепичные соты [ править ]
| Гофрированные треугольные черепичные соты | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т 0,3 {3,6,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | {3,6} {} × {3} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
| Фигура вершины | шестиугольная антипризма |
| Группа Коксетера | , [[3,6,3]] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Runcinated треугольной плиточные соты ,, имеет треугольную мозаику и ячейки треугольной призмы с шестиугольной антипризмой в вершине.
Усеченные треугольные мозаичные соты [ править ]
| Сота с усеченной треугольной черепицей | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символы Шлефли | т 0,1,3 {3,6,3} с 2,3 {3,6,3} |
| Диаграммы Кокстера | |
| Клетки | t {3,6} rr {3,6} {} × {3} {} × {6} |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
| Группа Коксетера | , [3,6,3] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcitruncated треугольной плиточные соты ,, имеет шестиугольную мозаику , ромбитрихексагональную мозаику , треугольную призму и ячейки шестиугольной призмы с равнобедренной трапециевидной пирамидой в вершине .
Симметрия [ править ]
Она также может быть построен как runcicantic курносый треугольной плиточные соты ,, полусимметричная форма с симметрией [3 + , 6,3].
Усеченные треугольные мозаичные соты [ править ]
| Сота с усеченной треугольной черепицей | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты |
| Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {3,6,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | tr {3,6} {} × {6} |
| Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
| Фигура вершины | филлический дисфеноид |
| Группа Коксетера | , [[3,6,3]] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Omnitruncated треугольной плиточные соты ,, имеет усеченную трехгексагональную мозаику и гексагональные ячейки призмы с филлической формой вершины дисфеноида .
Треугольные черепичные соты Runcisnub [ править ]
| Треугольная черепица runcisnub с сотовой структурой | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные чешуйчатые соты |
| Символ Шлефли | s 3 {3,6,3} |
| Диаграмма Кокстера | |
| Клетки | r {6,3} {} x {3} {3,6} тройка |
| Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
| Фигура вершины | |
| Группа Коксетера | , [3 + , 6,3] |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный, неоднородный |
Runcisnub треугольной плиточные соты ,, имеет трехгранную мозаику , треугольную мозаику , треугольную призму и треугольные ячейки купола . Он вершинно-транзитивный , но не однородный, так как содержит сплошные треугольные купольные ячейки Джонсона .
См. Также [ править ]
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
- Паракомпактные однородные соты
Ссылки [ править ]
- Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
- Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
