Гексагональные черепичные соты Order-4

Гексагональные черепичные соты Order-4
Перспективный вид в модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	{6,3,4} {6,3 ^1,1 } т _0,1 {(3,6) ² }
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{6,3}
Лица	шестигранник {6}
Фигурка края	квадрат {4}
Фигура вершины	октаэдр
Двойной	Заказать-6 соты куб.
Группы Кокстера	${\ displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] , [6,3 ^1,1 ] , [(6,3) ^[2] ] ${\ displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {VV}} _ {3}}$
Характеристики	Обычный, квазирегулярный

В области гиперболической геометрии , то порядок-4 гексагональные плиточные сотни возникают как один из 11 регулярных паракомпактных сот в 3-мерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактен, потому что имеет ячейки, состоящие из бесконечного числа граней. Каждая ячейка представляет собой шестиугольную мозаику , вершины которой лежат в орисфере : плоской плоскости в гиперболическом пространстве, которая приближается к единственной идеальной точке на бесконечности.

Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Символ Шлефли гексагональной мозаичной сотовой структуры четвертого порядка равен {6,3,4}. Так как шестиугольная мозаика равна {6,3}, эта сотовая структура имеет четыре таких шестиугольной мозаики, пересекающихся на каждом краю. Поскольку символ Шлефли октаэдра равен {3,4}, вершина этой соты является октаэдром. Таким образом, восемь шестиугольных мозаик пересекаются в каждой вершине этой соты, а шесть ребер, пересекающихся в каждой вершине, лежат вдоль трех ортогональных осей. ^[1]

Изображения [ редактировать ]

Перспективная проекция	Одна ячейка, если смотреть снаружи сферы Пуанкаре
Вершины a t {(3, ∞, 3)} ,мозаика существует в виде двух гиперциклов внутри этой соты.	Соты аналогичны апейрогональной мозаике четвертого порядка H ² , {∞, 4}, показанной здесь с одним зеленым апейрогоном, очерченным его орициклом.

Симметрия [ править ]

Отношения подгруппы

Гексагональные мозаичные соты четвертого порядка имеют три отражающие конструкции с симплексной симметрией.

Равномерная конструкция полусимметрии {6,3 ^1,1 } имеет два типа (цвета) гексагональных мозаик с диаграммой Кокстера ↔ . Также существует конструкция с четвертью симметрии с четырьмя цветами шестиугольных мозаик:.

Существуют две дополнительные отражающие симметрии с непростыми фундаментальными областями: [6,3 ^* , 4], индекс 6, с диаграммой Кокстера. ; и [6, (3,4) ^* ], который является индексом 48. Последнее имеет кубическую фундаментальную область, и октаэдрические Косетер диаграммы , с тремя осевыми бесконечными ветвями: . Можно увидеть, что для раскрашивания шестиугольных плиток соты используются восемь цветов.

Гексагональные черепичные соты порядка 4 содержат , которые разбивают поверхности 2- гиперциклов и аналогичны усеченному треугольному разбиению бесконечного порядка ,:

Связанные многогранники и соты [ править ]

Гексагональные мозаичные соты четвертого порядка представляют собой обычные гиперболические соты в 3-м пространстве и один из 11 паракомпактных сот .

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

В семействе [6,3,4] группы Кокстера пятнадцать однородных сот , включая эту регулярную форму и ее двойственные , кубические соты порядка 6 .

[6,3,4] семейные соты
{6,3,4}	г {6,3,4}	т {6,3,4}	рр {6,3,4}	т 0,3 {6,3,4}	tr {6,3,4}	т 0,1,3 {6,3,4}	т 0,1,2,3 {6,3,4}


{4,3,6}	г {4,3,6}	т {4,3,6}	рр {4,3,6}	2т {4,3,6}	tr {4,3,6}	т 0,1,3 {4,3,6}	т 0,1,2,3 {4,3,6}

Гексагональные черепичные соты порядка 4 имеют соответствующие чередующиеся соты, ↔ , с треугольной мозаикой и октаэдрическими ячейками.

Он является частью последовательности регулярных сот формы {6,3, p}, каждая из которых состоит из шестиугольных мозаичных ячеек:

{6,3, п} соты v т е
Космос	H 3
Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3, ∞}
Coxeter
Изображение
Вершинная фигура {3, p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞}

Это сотовая также связано с 16-клетки , кубической соты и порядок-4 двенадцатигранной сот , все из которых имеют октаэдрические фигуры вершин.

{p, 3,4} обычные соты
Космос	S 3	E 3	H 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞, 3,4}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Вышеупомянутые соты также квазирегулярны:

Обычные и квазирегулярные соты: {p, 3,4} и {p, 3 ^1,1 }
Космос	Евклидово 4-пространство	Евклидово 3-пространство	Гиперболическое 3-пространство
Имя	{3,3,4} {3,3 1,1 } = ${\ Displaystyle \ влево \ {3, {3 \ наверху 3} \ вправо \}}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = ${\ Displaystyle \ влево \ {4, {3 \ наверху 3} \ вправо \}}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } = ${\ Displaystyle \ влево \ {5, {3 \ наверху 3} \ вправо \}}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } = $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$
Диаграмма Кокстера	знак равно	знак равно	знак равно	знак равно
Изображение
Ячейки {p, 3}

Выпрямленные гексагональные черепичные соты порядка 4 [ править ]

Выпрямленный гексагональный черепичный сотовый заполнитель порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	r {6,3,4} или t ₁ {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	{3,4} r {6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	квадратная призма
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] , [4,3 ^[3] ] , [6,3 ^1,1 ] , [3 ^{[] × []} ] ${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DP}}_{3}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные порядок-4 гексагональные плиточные соты , т ₁ {6,3,4},имеет октаэдрические и трехгексагональные грани мозаики с квадратной призмой вершиной .

Он аналогичен двумерному гиперболическому тетраапейрогональному замощению , r {∞, 4}, в котором чередуются апейрогональные и квадратные грани:

Усеченные гексагональные мозаичные соты порядка 4 [ править ]

Усеченный гексагональный черепичный сотовый заполнитель порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т {6,3,4} или т _0,1 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3,4} т {6,3}
Лица	треугольник {3} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	квадратная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] , [6,3 ^1,1 ] ${\overline {DV}}_{3}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усечен порядок-4 гексагональные плиточные соты , т _0,1 {6,3,4},имеет октаэдр и усеченные шестиугольные грани мозаики с квадратной пирамидальной вершиной .

Он аналогичен двумерному гиперболическому усеченному апейрогональному замощению порядка 4 , t {∞, 4}, с апейрогональным и квадратным гранями:

Гексагональные мозаичные соты с усеченным битом порядка 4 [ править ]

Сотовая гексагональная черепица с усеченной бородкой порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	2 т {6,3,4} или т _1,2 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔ ↔ ↔
Клетки	т {4,3} т {3,6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	дигональный дисфеноид
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] , [4,3 ^[3] ] , [6,3 ^1,1 ] , [3 ^{[] × []} ] ${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DP}}_{3}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Bitruncated порядок-4 гексагональные плиточные сотни , т _1,2 {6,3,4},имеет усеченный октаэдр и шестиугольные мозаичные ячейки с двуугольной вершиной дисфеноида .

Гексагональные черепичные соты Cantellated порядка 4 [ править ]

Гексагональные черепичные соты Cantellated order-4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	rr {6,3,4} или t _0,2 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г {3,4} {} x {4} rr {6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	клин
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] , [6,3 ^1,1 ] ${\overline {DV}}_{3}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantellated порядок-4 гексагональные плиточные соты , т _0,2 {6,3,4},имеет кубооктаэдрические , кубические и ромбитригексагональные мозаичные ячейки с клиновидной вершиной .

Гексагональные черепичные соты четвертого порядка [ править ]

Гексагональные черепичные соты гексагональной формы 4-го порядка
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	tr {6,3,4} или t _0,1,2 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	t {3,4} {} x {4} tr {6,3}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6] , [6,3 ^1,1 ] ${\overline {DV}}_{3}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantitruncated порядок-4 гексагональные плиточные сотни , т _0,1,2 {6,3,4},имеет усеченный октаэдр , куб и усеченные трехгексагональные мозаичные ячейки с зеркальной фигурой вершины клиновидной кости .

Гексагональные черепичные соты Runcinated порядка 4 [ править ]

Гексагональные черепичные соты Runcinated order-4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т _0,3 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{4,3} {} x {4} {6,3} {} x {6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	неправильная треугольная антипризма
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcinated порядок-4 гексагональные плиточные соты , т _0,3 {6,3,4},имеет ячейки куба , шестиугольной мозаики и шестиугольной призмы с неправильной треугольной формой вершины антипризмы .

Он содержит двумерный гиперболический ромбитетрагексагональный тайлинг , rr {4,6},с квадратными и шестиугольными гранями. Тайлинг также имеет конструкцию полусимметрии..

	знак равно

Runcitruncated гексагональные мозаичные соты порядка 4 [ править ]

Гексагональные черепичные соты Runcitruncated порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т _0,1,3 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	rr {3,4} {} x {4} {} x {12} t {6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcitruncated порядок-4 гексагональные плиточные сотни , т _0,1,3 {6,3,4},имеет ромбокубооктаэдр , куб , додекагональную призму и усеченные шестиугольные мозаичные ячейки с равнобедренной трапециевидной пирамидальной вершиной .

Гексагональные черепичные соты с гексагональной структурой типа Runcicantellated четвертого порядка [ править ]

Runcicantellated порядок-4 гексагональные плиточные соты являются таким же , как runcitruncated порядка 6 кубических сотни .

Многослойные шестиугольные мозаичные соты порядка 4 [ править ]

Многослойные гексагональные черепичные соты порядка 4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {6,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {4,3} tr {6,3} {} x {12} {} x {8}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} двенадцатигранник {12}
Фигура вершины	неправильный тетраэдр
Группы Кокстера	${\overline {BV}}_{3}$ , [4,3,6]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Omnitruncated порядок-4 гексагональные плиточные сотни , т _0,1,2,3 {6,3,4},имеет усеченный кубооктаэдр , усеченную трехгексагональную мозаику , додекагональную призму и ячейки восьмиугольной призмы с неправильной вершиной тетраэдра .

Гексагональные черепичные соты с чередованием порядка 4 [ править ]

Гексагональные черепичные соты с чередованием порядка-4
Тип	Паракомпактные однородные соты Полуправильные соты
Символы Шлефли	ч {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3 [3] } {3,4}
Лица	треугольник {3}
Фигура вершины	усеченный октаэдр
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный, квазирегулярный

Чередовался порядок-4 гексагональные плиточные соты , ↔ , состоит из треугольной мозаики и ячеек октаэдра в усеченной вершине октаэдра .

Гексагональные черепичные соты Cantic Order-4 [ править ]

Cantic order-4 гексагональные черепичные соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч ₂ {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	h 2 {6,3} t {3,4} r {3,4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6}
Фигура вершины	клин
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantic порядок-4 гексагональные плиточные соты , ↔ , состоит из ячеек трехгексагональной мозаики , усеченного октаэдра и кубооктаэдра с фигурой вершины клина .

Гексагональные черепичные соты Runcic order-4 [ править ]

Гексагональная черепица runcic order-4 с сотовой структурой
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч ₃ {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3 [3] } rr {3,4} {4,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Фигура вершины	треугольный купол
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcic порядок-4 гексагональные плиточные соты , ↔ , состоит из треугольной мозаики , ромбокубооктаэдра , куба и ячеек треугольной призмы с треугольной вершиной купола .

Гексагональные черепичные соты Runcicantic order-4 [ править ]

Гексагональные черепичные соты runcicantic order-4
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символы Шлефли	ч _2,3 {6,3,4}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	h 2 {6,3} tr {3,4} t {4,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	прямоугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {BP}}_{3}$ , [4,3 ^[3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcicantic порядок-4 гексагональные плиточные соты , ↔ , состоит из трехгексагональной мозаики , усеченного кубооктаэдра , усеченного куба и ячеек треугольной призмы с прямоугольной вершиной пирамиды .

Гексагональные черепичные соты четвертого порядка [ править ]

Четверть порядка-4 гексагональные черепичные соты
Тип	Паракомпактные однородные соты
Символ Шлефли	q {6,3,4}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3 [3] } {3,3} t {3,3} час 2 {6,3}
Лица	треугольник {3} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольный купол
Группы Кокстера	${\overline {DP}}_{3}$ , [3 ^{[] x []} ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Квартал порядка 4 гексагональных плиточных сот , д {6,3,4}, или же , состоит из треугольной мозаики , трехгексагональной мозаики , тетраэдра и усеченных ячеек тетраэдра с треугольной вершиной купола .

См. Также [ править ]

Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
Паракомпактные однородные соты

Ссылки [ править ]

↑ Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Глава 10, Таблица III.

Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера

[1] Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Глава 10, Таблица III.

[1]