Гексагональные черепичные соты Order-6 | |
---|---|
Перспективный вид из центра модели диска Пуанкаре | |
Тип | Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | {6,3,6} {6,3 [3] } |
Диаграмма Кокстера | ↔ ↔ |
Клетки | {6,3} |
Лица | шестигранник {6} |
Фигурка края | шестигранник {6} |
Фигура вершины | {3,6} или {3 [3] } |
Двойной | Самодвойственный |
Группа Коксетера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Обычный, квазирегулярный |
В области гиперболической геометрии , то порядок-6 гексагональный плиточный сот является одной из 11 обычных паракомпактных сот в 3-мерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактен, потому что в нем есть ячейки с бесконечным количеством граней. Каждая ячейка представляет собой шестиугольную мозаику , вершины которой лежат в орисфере : плоской плоскости в гиперболическом пространстве, которая приближается к единственной идеальной точке на бесконечности.
Символ Шлефли шестиугольной черепичной сотовой конструкции - {6,3,6}. Так как шестиугольная мозаика плоскости равна {6,3}, эта сотовая структура имеет шесть таких шестиугольных мозаик, пересекающихся на каждом краю. Поскольку символ Шлефли треугольной мозаики равен {3,6}, вершина этой соты является треугольной мозаикой. Таким образом, бесконечно много шестиугольных мозаик пересекаются в каждой вершине этой соты. [1]
Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Связанные мозаики
Гексагональная мозаика-сот порядка 6 аналогична двумерной гиперболической апейрогональной мозаике бесконечного порядка , {∞, ∞}, с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.
Это содержит а также эта плитка 2- гиперциклические поверхности, похожие на паракомпактные мозаики а также ( усеченная треугольная мозаика бесконечного порядка и апейрогональная мозаика порядка 3 соответственно):
Симметрия
Гексагональные мозаичные соты порядка 6 имеют конструкцию полусимметрии: .
Он также имеет подгруппу индекса-6, [6,3 * , 6], с не симплексной фундаментальной областью. Эта подгруппа соответствует диаграмме Кокстера с шестью ветвями третьего порядка и тремя ветвями бесконечного порядка в форме треугольной призмы:.
Связанные многогранники и соты
Гексагональные мозаичные соты порядка 6 - это обычные гиперболические соты в 3-м пространстве и одна из одиннадцати паракомпактных сот в 3-м пространстве.
11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
В семействе [6,3,6] группы Кокстера девять однородных сот , включая эту регулярную форму.
{6,3,6} | г {6,3,6} | т {6,3,6} | рр {6,3,6} | т 0,3 {6,3,6} | 2т {6,3,6} | tr {6,3,6} | т 0,1,3 {6,3,6} | т 0,1,2,3 {6,3,6} |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Эти соты имеют родственные чередующиеся соты, треугольные плиточные соты , но с более низкой симметрией: ↔ .
Гексагональные мозаичные соты порядка 6 являются частью последовательности правильных полихор и сот с треугольными мозаичными фигурами вершин:
Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | {3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {6,3,6} | {7,3,6} | {8,3,6} | ... {∞, 3,6} |
Изображение | |||||||
Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Он также является частью последовательности регулярных полихор и сот с шестиугольными мозаичными ячейками:
{6,3, п} соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | H 3 | ||||||||||
Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||||||
Имя | {6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {6,3,7} | {6,3,8} | ... {6,3, ∞} | ||||
Coxeter | |||||||||||
Изображение | |||||||||||
Вершинная фигура {3, p} | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Он также является частью последовательности правильных полихор и сот с правильными дельтаэдрическими фигурами вершин :
{p, 3, p} обычные соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | Евклидово E 3 | H 3 | ||||||||
Форма | Конечный | Аффинный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||
Имя | {3,3,3} | {4,3,4} | {5,3,5} | {6,3,6} | {7,3,7} | {8,3,8} | ... {∞, 3, ∞} | ||||
Изображение | |||||||||||
Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | ||||
Фигура вершины | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Ректифицированная гексагональная черепица порядка 6 сот
Ректифицированная гексагональная черепица порядка 6 сот | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | r {6,3,6} или t 1 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ ↔ ↔ |
Клетки | {3,6} r {6,3} |
Лица | треугольник {3} шестиугольник {6} |
Фигура вершины | шестиугольная призма |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] , [3 [3,3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Выпрямленные порядок-6 гексагональные плиточные соты , т 1 {6,3,6},имеет треугольную мозаику и тригексагональные грани мозаики с фигурой вершины шестиугольной призмы .
его также можно рассматривать как гексагональные черепичные соты четверти порядка 6 , q {6,3,6}, ↔ .
Он аналогичен двумерному гиперболическому апейрогональному замощению порядка 4 , r {∞, ∞} с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.
Связанные соты
Гексагональные мозаичные соты порядка 6 являются частью серии сот с фигурами вершин шестиугольной призмы :
Космос | H 3 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
Имя | г {3,3,6} | г {4,3,6} | г {5,3,6} | г {6,3,6} | г {7,3,6} | ... г {∞, 3,6} | |
Изображение | |||||||
Ячейки {3,6} | г {3,3} | г {4,3} | г {5,3} | г {6,3} | г {7,3} | г {∞, 3} |
Он также является частью матрицы трехмерных четвертных сот: q {2p, 4,2q}
Евклидовы / гиперболические ( паракомпактные / некомпактные ) четверть соты q {p, 3, q} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
р \ д | 4 | 6 | 8 | ... ∞ | |||||||
4 | q {4,3,4} ↔ ↔ | q {4,3,6} ↔ ↔ | q {4,3,8} ↔ | д {4,3, ∞} ↔ | |||||||
6 | q {6,3,4} ↔ ↔ | q {6,3,6} ↔ | q {6,3,8} ↔ | д {6,3, ∞} ↔ | |||||||
8 | q {8,3,4} ↔ | q {8,3,6} ↔ | q {8,3,8} ↔ | д {8,3, ∞} ↔ | |||||||
... ∞ | q {∞, 3,4} ↔ | д {∞, 3,6} ↔ | q {∞, 3,8} ↔ | q {∞, 3, ∞} ↔ |
Усеченный шестиугольный черепичный сотовый заполнитель порядка 6
Усеченный шестиугольный черепичный сотовый заполнитель порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | т {6,3,6} или т 0,1 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | {3,6} т {6,3} |
Лица | треугольник {3} двенадцатигранник {12} |
Фигура вершины | шестиугольная пирамида |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усечен порядок-6 гексагональные плиточные соты , т 0,1 {6,3,6},имеет треугольную мозаику и усеченные шестиугольные грани мозаики с фигурой вершины шестиугольной пирамиды . [2]
Шестигранные черепичные соты с усеченной бородкой порядка 6
Шестигранные черепичные соты с усеченной бородкой порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | bt {6,3,6} или t 1,2 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | т {3,6} |
Лица | шестигранник {6} |
Фигура вершины | тетраэдр |
Группы Кокстера | , [[6,3,6]] , [6,3 [3] ] , [3,3,6] |
Характеристики | Обычный |
Bitruncated порядок-6 гексагональный плиточный сот представляет собой нижайшее строительство симметрии регулярных гексагональных плиточных сот , ↔ . Он содержит шестиугольные грани мозаики с фигурой вершины тетраэдра .
Гексагональные черепичные соты Cantellated порядка 6
Гексагональные черепичные соты Cantellated порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | rr {6,3,6} или t 0,2 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | r {3,6} rr {6,3} {} x {6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
Фигура вершины | клин |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantellated порядок-6 гексагональные плиточные соты , т 0,2 {6,3,6},имеет trihexagonal черепицы , rhombitrihexagonal черепицы и гексагональную призму клетку, с клиновидной вершиной фигурой .
Гексагональные черепичные соты с усеченной гексагональной структурой порядка 6
Гексагональные черепичные соты с усеченной гексагональной структурой порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | tr {6,3,6} или t 0,1,2 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | tr {3,6} t {3,6} {} x {6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated порядок-6 гексагональные плиточные соты , т 0,1,2 {6,3,6},имеет шестиугольную мозаику , усеченную трехгексагональную мозаику и шестиугольные призматические ячейки с зеркально отраженной фигурой вершины клиновидной кости .
Гексагональные черепичные соты Runcinated order-6
Гексагональные черепичные соты Runcinated order-6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | т 0,3 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | {6,3} {} × {6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
Фигура вершины | треугольная антипризма |
Группы Кокстера | , [[6,3,6]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Runcinated порядок-6 гексагональные плиточные соты , т 0,3 {6,3,6},имеет гексагональную мозаику и гексагональные ячейки призмы с треугольной формой вершины антипризмы .
Он аналогичен двумерному гиперболическому ромбогексагексагональному замощению , rr {6,6}, с квадратными и шестиугольными гранями:
Гексагональные черепичные соты с усеченной структурой порядка 6
Гексагональные черепичные соты с усеченной структурой порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | т 0,1,3 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | t {6,3} rr {6,3} {} x {6} {} x {12} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
Фигура вершины | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
Группы Кокстера | , [6,3,6] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcitruncated порядок-6 гексагональные плиточные соты , т 0,1,3 {6,3,6},имеет усеченную шестиугольную мозаику , ромбитрихексагональную мозаику , шестиугольную призму и ячейки додекагональной призмы с равнобедренной трапециевидной пирамидальной вершиной .
Гексагональные черепичные соты с многослойной усеченной структурой порядка 6
Гексагональные черепичные соты с многослойной усеченной структурой порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | tr {6,3} {} x {12} |
Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
Фигура вершины | филлический дисфеноид |
Группы Кокстера | , [[6,3,6]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Omnitruncated порядок-6 гексагональные плиточные соты , т 0,1,2,3 {6,3,6},имеет усеченную трехгексагональную мозаику и додекагональные призматические ячейки с филлической дисфеноидной вершиной .
Гексагональные черепичные соты с чередованием порядка 6
Гексагональные черепичные соты с чередованием порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | ч {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | {3,6} {3 [3] } |
Лица | треугольник {3} |
Фигура вершины | шестиугольная черепица |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Обычный, квазирегулярный |
Порядок-6 гексагональные плиточные соты чередовались представляют собой конструкцию более низкий симметрии регулярных треугольных плиточных сот , ↔ . Он содержит треугольные грани мозаики в вершине шестиугольной мозаичной фигуры .
Гексагональная черепичная сотовая панель Cantic Order-6
Гексагональная черепичная сотовая панель Cantic Order-6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | ч 2 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | т {3,6} r {6,3} ч 2 {6,3} |
Лица | треугольник {3} шестиугольник {6} |
Фигура вершины | треугольная призма |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Порядок-6 гексагональные плиточные соты cantic представляет собой конструкцию нижнего симметрии выпрямленных треугольных плиточных сот , ↔ , с трехгранной мозаикой и шестиугольными гранями мозаики в фигуре вершины треугольной призмы .
Гексагональная черепица runcic order-6 с сотовой структурой
Гексагональная черепица runcic order-6 с сотовой структурой | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | ч 3 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | rr {3,6} {6,3} {3 [3] } {3} x {} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} |
Фигура вершины | треугольный купол |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcic гексагонального плиточный сот , ч 3 {6,3,6},, или же , имеет шестиугольную мозаику , ромбитрихексагональную мозаику , треугольную мозаику и треугольные грани призмы с треугольной вершиной купола .
Гексагональные черепичные соты рунического ордена-6
Гексагональные черепичные соты runcicantic order-6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | ч 2,3 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | tr {6,3} t {6,3} h 2 {6,3} {} x {3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {12} |
Фигура вершины | прямоугольная пирамида |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcicantic порядок-6 гексагональный плиточный сот , ч 2,3 {6,3,6},, или же , содержит усеченную трехгексагональную мозаику , усеченную шестиугольную мозаику , трехгексагональную мозаику и грани треугольной призмы с прямоугольной вершиной пирамиды .
Смотрите также
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
- Паракомпактные однородные соты
Рекомендации
- ↑ Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Глава 10, Таблица III.
- ^ Twitter Вращение вокруг 3-кратной оси
- Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, ‹См. Tfd› LCCN 99-35678 ‹См. Tfd› , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
- Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера