Квадратная черепица Заказать-4 соты | |
---|---|
Тип | Гиперболические обычные соты Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | {4,4,4} ч {4,4,4} ↔ {4,4 1,1 } {4 [4] } |
Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ |
Клетки | {4,4} |
Лица | квадрат {4} |
Фигурка края | квадрат {4} |
Фигура вершины | квадратная черепица , {4,4} |
Двойной | Самодвойственный |
Группы Кокстера | , [4,4,4] , [4 1,1,1 ] , [4 [4] ] |
Характеристики | Обычный, квазирегулярный |
В геометрии из гиперболического 3-пространства , то порядок-4 квадратная плитка сотни являются одним из 11 паракомпактных регулярных сот. Он паракомпактен, потому что у него бесконечные ячейки и фигуры вершин , причем все вершины являются идеальными точками на бесконечности. Предоставлено Шлефли символом {4,4,4}, он имеет четыре квадратных разбиений вокруг каждого ребра, и бесконечные квадратные разбиений вокруг каждой вершины в квадратной плитки вершины фигуры . [1]
Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Симметрия
Соты квадратной черепицы четвертого порядка имеют множество отражающих симметричных конструкций: как обычные соты, ↔ с чередованием типов (цветов) квадратных мозаик, и с 3-мя видами (цветами) квадратных плиток в соотношении 2: 1: 1.
Еще две полусимметричные конструкции с пирамидальными доменами имеют симметрию [4,4,1 + , 4]: ↔ , а также ↔ .
Есть две подгруппы с высоким индексом, каждая с индексом 8: [4,4,4 * ] ↔ [(4,4,4,4,1 + )], с пирамидальной фундаментальной областью: [((4, ∞, 4 )), ((4, ∞, 4))] или; и [4,4 * , 4] с 4 ортогональными наборами ультрапараллельных зеркал в октаэдрической фундаментальной области:.
Изображений
Квадратная мозаика-соты четвертого порядка аналогична двумерной гиперболической апейрогональной мозаике бесконечного порядка , {∞, ∞}, с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.
Это содержит а также эта плитка 2- поверхности гиперциклов , которые похожи на эти паракомпактные апейрогональные мозаики порядка 4 :
Связанные многогранники и соты
Соты квадратной мозаики порядка 4 представляют собой обычные гиперболические соты в 3-м пространстве. Это один из одиннадцати обычных паракомпактных сот.
11 паракомпактных обычных сот | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
В семействе группы [4,4,4] Кокстера девять однородных сот , включая эту регулярную форму.
[4,4,4] семейные соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{4,4,4} | г {4,4,4} | т {4,4,4} | rr {4,4,4} | т 0,3 {4,4,4} | 2т {4,4,4} | tr {4,4,4} | т 0,1,3 {4,4,4} | т 0,1,2,3 {4,4,4} | |||
Он является частью последовательности сот с квадратной фигурой вершины мозаики :
{п, 4,4} соты | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Космос | E 3 | H 3 | ||||
Форма | Аффинный | Паракомпакт | Некомпактный | |||
Имя | {2,4,4} | {3,4,4} | {4,4,4} | {5,4,4} | {6,4,4} | .. {∞, 4,4} |
Coxeter | ||||||
Изображение | ||||||
Клетки | {2,4} | {3,4} | {4,4} | {5,4} | {6,4} | {∞, 4} |
Он является частью последовательности сот с квадратными мозаичными ячейками:
{4,4, п} соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | E 3 | H 3 | |||||||||
Форма | Аффинный | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||||
Имя | {4,4,2} | {4,4,3} | {4,4,4} | {4,4,5} | {4,4,6} | ... {4,4, ∞} | |||||
Coxeter | |||||||||||
Изображение | |||||||||||
Фигура вершины | {4,2} | {4,3} | {4,4} | {4,5} | {4,6} | {4, ∞} |
Он является частью последовательности квазирегулярных полихор и сот:
Квазирегулярные полихоры и соты: h {4, p, q} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Аффинный | Компактный | Паракомпакт | |||||||
Символ Шлефли | ч {4,3,3} | ч {4,3,4} | ч {4,3,5} | ч {4,3,6} | ч {4,4,3} | ч {4,4,4} | |||||
Диаграмма Кокстера | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | |||||
↔ | ↔ | ||||||||||
Изображение | |||||||||||
Фигура вершины r {p, 3} |
Выпрямленные соты квадратной черепицы порядка 4
Выпрямленные соты квадратной черепицы порядка 4 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | r {4,4,4} или t 1 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | {4,4} r {4,4} |
Лица | квадрат {4} |
Фигура вершины | куб |
Группы Кокстера | , [4,4,4] , [4 1,1,1 ] |
Характеристики | Квазирегулярный или регулярный, в зависимости от симметрии |
Выпрямленные порядок-4 гексагональные плиточные соты , т 1 {4,4,4},имеет квадратные грани мозаики с кубической вершиной . Это то же самое, что и сотовая плитка из обычных квадратных плиток, {4,4,3},.
Усеченный квадратный мозаичный сотовый заполнитель порядка 4
Усеченный квадратный мозаичный сотовый заполнитель порядка 4 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | т {4,4,4} или т 0,1 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ ↔ |
Клетки | {4,4} т {4,4} |
Лица | квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | квадратная пирамида |
Группы Кокстера | , [4,4,4] , [4 1,1,1 ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усечен порядок-4 квадратный паркет соты , т 0,1 {4,4,4},имеет квадратную мозаику и усеченные квадратные грани мозаики с фигурой вершины квадратной пирамиды .
Сотовая мозаика квадратной формы с битовой усечкой порядка 4
Сотовая мозаика квадратной формы с битовой усечкой порядка 4 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | 2 т {4,4,4} или т 1,2 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ ↔ |
Клетки | т {4,4} |
Лица | квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | тетрагональный дисфеноид |
Группы Кокстера | , [[4,4,4]] , [4 1,1,1 ] , [4 [4] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберный, клеточно-транзитивный |
Bitruncated порядок-4 квадратная плитка сотни , т 1,2 {4,4,4},имеет усеченные квадратные грани мозаики с четырехугольной вершиной дисфеноида .
Квадратная черепица Cantellated order-4
Квадратная черепица Cantellated order-4 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | rr {4,4,4} или t 0,2 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | |
Клетки | {} x {4} r {4,4} rr {4,4} |
Лица | квадрат {4} |
Фигура вершины | треугольная призма |
Группы Кокстера | , [4,4,4] , [3,4,4] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Cantellated порядка 4 квадратных плиточные соты ,это то же самое, что и сотовая плитка из ректификованной квадратной плитки ,. Он имеет кубические и квадратные грани мозаики с треугольной формой вершины призмы .
Сотовый квадрат с усеченной квадратной плиткой порядка 4
Сотовый квадрат с усеченной квадратной плиткой порядка 4 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | tr {4,4,4} или t 0,1,2 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | {} x {4} tr {4,4} t {4,4} |
Лица | квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
Группы Кокстера | , [4,4,4] , [3,4,4] , [4 1,1,1 ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated порядка 4 квадратных плиточные соты ,такой же, как усеченный квадратный мозаичный сотовый ,. Он содержит кубические и усеченные квадратные грани мозаики с зеркально отраженной фигурой клиновидной вершины.
Это то же самое, что и сотовая плитка из усеченного квадрата ,.
Квадратная черепица Runcinated order-4 с сотовой структурой
Квадратная черепица Runcinated order-4 с сотовой структурой | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | т 0,3 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ |
Клетки | {4,4} {} x {4} |
Лица | квадрат {4} |
Фигура вершины | квадратная антипризма |
Группы Кокстера | , [[4,4,4]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Runcinated порядок-4 квадратный паркет соты , т 0,3 {4,4,4},имеет квадратную мозаику и грани куба с квадратной фигурой вершины антипризмы .
Усеченный квадратный квадратный сотовый заполнитель порядка 4
Усеченный квадратный квадратный сотовый заполнитель порядка 4 | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | т 0,1,3 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | т {4,4} rr {4,4} {} x {4} {8} x {} |
Лица | квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | квадратная пирамида |
Группы Кокстера | , [4,4,4] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcitruncated порядок-4 квадратная плитка сотни , т 0,1,3 {4,4,4},имеет квадратную мозаику , усеченную квадратную мозаику , кубические и восьмиугольные грани призмы с квадратной пирамидальной вершиной .
Runcicantellated порядка-4 квадратная плитка сотни эквивалентны runcitruncated порядка 4 квадратной плитки сот.
Многослойная квадратная черепица порядка 4-х сот.
Многослойная квадратная черепица порядка 4-х сот. | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | т 0,1,2,3 {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | |
Клетки | tr {4,4} {8} x {} |
Лица | квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | дигональный дисфеноид |
Группы Кокстера | , [[4,4,4]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Omnitruncated порядок-4 квадратная плитка сотни , т 0,1,2,3 {4,4,4},имеет усеченную квадратную мозаику и восьмиугольные грани призмы с двуугольной формой вершины дисфеноида .
Сотовый квадрат квадратной черепицы альтернативного порядка-4
Чередовались порядок-4 квадратный паркет соты представляет собой конструкцию более низкого симметрии порядка 4 квадратной плитки соты сам.
Cantic Order-4 квадратная черепица с сотовой структурой
Cantic порядок-4 квадратный паркет соты представляет собой конструкцию нижнего симметрии усеченного порядка 4 квадратной плитки сот .
Сотовый квадрат runcic order-4
Runcic порядок-4 квадратный паркет соты представляет собой конструкцию более низкого симметрии порядка 3 квадратной плитки сот .
Квадратная черепица runcicantic order-4
Runcicantic порядок-4 квадратный паркет соты представляет собой конструкцию нижнего симметрии bitruncated порядка 4 квадратной плитки сот .
Сотовая черепица квадратная под заказ-4 кв.
Сотовая черепица квадратная под заказ-4 кв. | |
---|---|
Тип | Паракомпактные однородные соты |
Символы Шлефли | q {4,4,4} |
Диаграммы Кокстера | |
Клетки | т {4,4} {4,4} |
Лица | квадрат {4} восьмиугольник {8} |
Фигура вершины | квадратная антипризма |
Группы Кокстера | , [4 [4] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Квартал порядка 4 квадрата плиточные сот , д {4,4,4},, или же , имеет усеченную квадратную мозаику и квадратные грани мозаики с квадратной фигурой вершины антипризмы .
Смотрите также
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
- Паракомпактные однородные соты
Рекомендации
- ↑ Coxeter The Beauty of Geometry , 1999, Глава 10, Таблица III.
- Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
- Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II)
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
- Норман У. Джонсон и Азия Ивич Вейсс Квадратичные целые числа и группы Кокстера PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999, с. 1307–1336