В геометрии , любая гиперплоскость Н из проективного пространства P может быть принято в качестве гиперплоскости на бесконечности . Тогда дополнение множества P ∖ H называется аффинным пространством . Например, если ( x 1 , ..., x n , x n +1 ) являются однородными координатами для n -мерного проективного пространства, то уравнение x n +1 = 0 определяет гиперплоскость на бесконечности для n-мерное аффинное пространство с координатами ( x 1 , ..., x n ) . H также называют идеальной гиперплоскостью .
Точно так же, начиная с аффинного пространства A , каждый класс параллельных прямых может быть связан с бесконечно удаленной точкой . Объединение по всем классам параллелей составляют точки гиперплоскости на бесконечности. Присоединение точек этой гиперплоскости (называемых идеальными точками ) к A превращает ее в n- мерное проективное пространство, такое как реальное проективное пространство R P n .
При добавлении этих идеальных точек, все аффинное пространство завершено к проективному пространству Р , которое может быть названо проективное завершение из A . Каждое аффинное подпространство S из A завершено к проективное подпространство в Р , добавляя к S все идеальные точки , соответствующие направлениям линий , содержащихся в S . Полученные проективные подпространства часто называют аффинными подпространствами проективного пространства P , в отличие от бесконечного или идеального подпространства, которые являются подпространствами гиперплоскости на бесконечности (однако они являются проективными пространствами, а не аффинными пространствами).
В проективном пространстве каждое проективное подпространство размерности k пересекает идеальную гиперплоскость в проективном подпространстве «на бесконечности» размерности k - 1 .
Пара непараллельных аффинных гиперплоскостей пересекается в аффинном подпространстве размерности n - 2 , но пара параллельных аффинных гиперплоскостей пересекается в проективном подпространстве идеальной гиперплоскости (пересечение лежит на идеальной гиперплоскости). Таким образом, параллельные гиперплоскости, которые не пересекались в аффинном пространстве, пересекаются в проективном пополнении из-за добавления гиперплоскости на бесконечности.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Альбрехт Бойтельшпахер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия: от основ до приложений , стр. 27, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1 .
