В геометрии , А множество из точек , как говорят, на одной окружности (или коциклических ) , если они лежат на общей окружности . Все совпадающие точки находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Три точки на плоскости, которые не все попадают на прямую, являются параллельными, но четыре или более таких точек на плоскости не обязательно совпадают.
Биссектрисы
В общем, центр O окружности, на которой лежат точки P и Q, должен быть таким, чтобы OP и OQ находились на равных расстояниях. Следовательно, точка O должна лежать на серединном перпендикуляре отрезка PQ . [1] Для п различных точек существует п ( п - 1) / 2 биссектрисы, а на одной окружности условия , что все они встречаются в одной точке, центр вывода .
Циклические многоугольники
Треугольники
Вершины каждого треугольника попадают в круг. (Из-за этого некоторые авторы определяют «концикличность» только в контексте четырех или более точек на окружности.) [2] Окружность, содержащая вершины треугольника, называется описанной окружностью треугольника. Несколько других наборов точек, определенных из треугольника, также совмещены с другими окружностями; см. Девятиточечный круг [3] и теорему Лестера . [4]
Радиус окружности , на которой лежит множество точек, по определению, радиус окружности любого треугольника с вершинами в любом трех из этих точек. Если попарные расстояния между тремя точками равны a , b и c , то радиус круга равен
Уравнение описанной окружности треугольника, а также выражения для радиуса и координат центра окружности в декартовых координатах вершин приведены здесь и здесь .
Четырехугольники
Четырехугольник ABCD с совпадающими вершинами называется вписанным четырехугольником ; это происходит тогда и только тогда, когда ( теорема о вписанном угле ), которая верна тогда и только тогда, когда противоположные углы внутри четырехугольника являются дополнительными . [5] У вписанного четырехугольника с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром s = ( a + b + c + d ) / 2 радиус описанной окружности равен [6] [7]
выражение, которое было получено индийским математиком Ватассери Парамешвара в 15 веке.
По теореме Птолемея , если четырехугольник задан попарными расстояниями между его четырьмя вершинами A , B , C и D по порядку, то он является циклическим тогда и только тогда, когда произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон :
Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC, а другая - отрезок BD , пересекаются в точке X , то четыре точки A , B , C , D совпадают, если и только если [8]
Пересечение X может быть внутренним или внешним по отношению к окружности. Эта теорема известна как степень точки .
Полигоны
В более общем смысле многоугольник, в котором все вершины совпадают, называется циклическим многоугольником . Многоугольник является циклическим тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры его ребер совпадают . [9]
Вариации
Некоторые авторы считают коллинеарные точки (множества точек, принадлежащих одной прямой) как частный случай совпадающих точек, при этом прямая рассматривается как окружность бесконечного радиуса. Эта точка зрения полезна, например, при изучении инверсии через окружность и преобразований Мёбиуса , поскольку эти преобразования сохраняют смыкание точек только в этом расширенном смысле. [10]
В комплексной плоскости (образованной путем просмотра действительные и мнимые части из комплексного числа , что и х и у декартовой системы координат плоскости), concyclicity имеет особенно простую формулировку: четыре точки на комплексной плоскости является либо одной окружностью или коллинеарны тогда и только если их соотношение является действительным числом . [11]
Прочие свойства
Набор из пяти или более точек является концикличным тогда и только тогда, когда каждое подмножество из четырех точек совпадает. [12] Это свойство можно рассматривать как аналог прилегания свойства Хелли выпуклых множеств.
Примеры
Треугольники
В любом треугольнике все следующие девять точек пересекаются с так называемым кругом из девяти точек : середины трех ребер, основания трех высот и точки на полпути между ортоцентром и каждой из трех вершин.
Окружность Лестер утверждает , что в любом разностороннем треугольнике , две Fermat точка , тот центр девяти пунктов , и Окружность лежит на одной окружности.
Если линии проводятся через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, тогда шесть точек пересечения линий и сторон треугольника совпадают, в так называемом круге Лемуана .
Ван Lamoen круг , связанный с каким - либо данным треугольникомсодержит центры описанных окружностей шести треугольников, определенных внутрипо его трем медианам .
Центр описанной окружности треугольника , его точка Лемуана и первые две точки Брокара совпадают, причем отрезок от центра описанной окружности до точки Лемуана является диаметром . [13]
Другие полигоны
Многоугольник определяется как циклическая , если его вершины все лежат на одной окружности. Например, все вершины правильного многоугольника с любым числом сторон совпадают.
Тангенциальное полигон является одним имеющий вписанной окружности касательной к каждой из сторон многоугольника; эти точки касания, таким образом, совпадают с вписанной окружностью.
Выпуклый четырехугольник является ортодиагональным (имеет перпендикулярные диагонали) тогда и только тогда, когда середины сторон и основания четырех высот являются восемью совпадающими точками, на так называемой восьмиконечной окружности .
Рекомендации
- ^ Либескинд, Шломо (2008), Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование , Jones & Bartlett Learning, стр. 21, ISBN 9780763743666/
- ^ Эллиотт, Джон (1902), Элементарная геометрия , Swan Sonnenschein & Co., Стр. 126.
- ^ Айзекс, И. Мартин (2009), Геометрия для студентов колледжей , Чистые и прикладные тексты для студентов, 8 , Американское математическое общество, стр. 63, ISBN 9780821847947.
- ^ Ю, Пол (2010), «Круги Лестера, Эванса, Парри и их обобщения» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 175–209, MR 2868943.
- ^ Педо, Дэн (1997), Круги: математический взгляд , MAA Spectrum (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. xxii, ISBN 9780883855188.
- ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «О диагоналях вписанного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9
- ^ Хоэн, Ларри (март 2000 г.), "Окружной радиус вписанного четырехугольника", Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, JSTOR 3621477
- ^ Брэдли, Кристофер Дж. (2007), Алгебра геометрии: декартовы, площадные и проективные координаты, Highperception, стр. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422
- ^ Байер, Оуэн; Лазебник, Феликс; Смельцер, Дейрдре Л. (2010), Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, стр. 77, ISBN 9780883857632.
- ^ Цвиккер, К. (2005), Расширенная геометрия плоских кривых и их приложения , Courier Dover Publications, стр. 24, ISBN 9780486442761.
- ^ Хан, Лян-шин (1996), Комплексные числа и геометрия , MAA Spectrum (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 65, ISBN 9780883855102.
- ^ Педо, Дэн (1988), Геометрия: всеобъемлющий курс , Courier Dover Publications, стр. 431, ISBN 9780486658124.
- ^ Скотт, JA "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Концикличный» . MathWorld .
- Четыре конциклических точки Майкла Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .