Описанный круг

Окружность, С , и описанная окружность, О , из циклического многоугольника , P

В геометрии , то окружность или окружность из многоугольника является кругом , который проходит через все вершины многоугольника. Центр этой окружности называется центром описанной окружности, а ее радиус - радиусом описанной окружности .

Не каждый многоугольник имеет описанный круг. Многоугольник, у которого он есть, называется циклическим многоугольником или иногда конциклическим многоугольником, потому что его вершины совпадают . Все треугольники , все правильные простые многоугольники , все прямоугольники , все равнобедренные трапеции и все правые воздушные змеи являются циклическими.

Связанное с этим понятие - это понятие минимальной ограничивающей окружности , которая представляет собой наименьшую окружность, полностью содержащую многоугольник внутри себя, если центр круга находится внутри многоугольника. Каждый многоугольник имеет уникальный минимальный ограничивающий круг, который может быть построен с помощью алгоритма линейного времени . ^[1] Даже если у многоугольника есть описанная окружность, она может отличаться от минимальной ограничивающей окружности. Например, для тупого треугольника минимальная ограничивающая окружность имеет самую длинную сторону в качестве диаметра и не проходит через противоположную вершину.

Треугольники [ править ]

Все треугольники циклические; то есть каждый треугольник имеет описанную окружность.

Конструкция линейки и компаса [ править ]

Построение описанной окружности (красная) и центра описанной окружности Q (красная точка)

Центр описанной окружности треугольника можно построить , нарисовав любые два из трех перпендикулярных биссектрис . Для трех неколлинеарных точек эти две прямые не могут быть параллельны, а центр описанной окружности - это точка, где они пересекаются. Любая точка на биссектрисе равноудалена от двух точек, которые она делит пополам, из чего следует, что эта точка на обеих биссектрисах равноудалена от всех трех вершин треугольника. Радиус описанной окружности - это расстояние от нее до любой из трех вершин.

Альтернативное строительство [ править ]

Альтернативный метод определения центра описанной окружности состоит в том, чтобы нарисовать любые две линии, каждая из которых выходит из одной из вершин под углом к ​​общей стороне, причем общий угол вылета составляет 90 ° минус угол противоположной вершины. (В случае, если противоположный угол тупой, рисование линии под отрицательным углом означает выход за пределы треугольника.)

В прибрежной навигации описанная окружность треугольника иногда используется как способ получения линии положения с помощью секстанта, когда компас недоступен. Горизонтальный угол между двумя ориентирами определяет описанную окружность, на которой лежит наблюдатель.

Уравнения окружности [ править ]

Декартовы координаты [ править ]

На евклидовой плоскости можно явно задать уравнение описанной окружности через декартовы координаты вершин вписанного треугольника. Предположим, что

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = (A_ {x}, A_ {y}) \\\ mathbf {B} & = (B_ {x}, B_ {y}) \\\ mathbf {C} & = (C_ {x}, C_ {y}) \ end {выровнено}}}$

являются координаты точек , B и C . Описанная окружность - это геометрическое место точек v = ( v _x , v _y ) на декартовой плоскости, удовлетворяющих уравнениям

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

гарантируя, что точки A , B , C и v находятся на одинаковом расстоянии r от общего центра u круга. Используя поляризационное тождество , эти уравнения сводятся к условию, что матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

имеет ненулевое ядро . Таким образом, описанную окружность можно также описать как геометрическое место нулей определителя этой матрицы:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

Используя расширение кофактора , пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

тогда мы имеем | v | ² - 2 Sv - b = 0 и, если предположить, что три точки не находились на одной прямой (в противном случае описанная окружность - это та линия, которую также можно рассматривать как обобщенную окружность с S на бесконечности), | v - S / a | ² = б / а + | S | ² / a ² , что дает центр описанной окружности S / a и радиус описанной окружности √ b / a + | S | ² / а ². Подобный подход позволяет вывести уравнение circumsphere о наличии тетраэдра .

Параметрическое уравнение [ править ]

Единичный вектор перпендикулярно к плоскости , содержащей окружность задается

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

Следовательно, с учетом радиуса r , центра P _c , точки на окружности P ₀ и единичной нормали к плоскости, содержащей окружность ,, одно параметрическое уравнение окружности, начинающееся из точки P ₀ и продолжающееся положительно ориентированный (т.е. правосторонний ) смысл о следующем:${\textstyle {\widehat {n}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {n}}}$

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

Трилинейные и барицентрические координаты [ править ]

Уравнение описанной окружности в трилинейных координатах x  : y  : z имеет вид ^[2] a / x + b / y + c / z = 0 . Уравнение описанной окружности в барицентрических координатах x  : y  : z имеет вид ² / x + b ² / y + c ² / z = 0 .

Изогональный конъюгат по окружности является линией на бесконечности, приведены в координатах трилинейных от ах + с + сг = 0 , а в барицентрических координатах х + у + г = 0 .

Высшие измерения [ править ]

Кроме того, описанную окружность треугольника, вложенного в d- измерения, можно найти с помощью обобщенного метода. Пусть A , B и C - d -мерные точки, образующие вершины треугольника. Мы начинаем с транспонирования системы, чтобы поместить C в начало координат:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Радиус описанной окружности r равен

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

где θ - внутренний угол между a и b . Центр описанной окружности, p ₀ , определяется как

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

Эта формула работает только в трех измерениях, поскольку перекрестное произведение не определено в других измерениях, но ее можно обобщить на другие измерения, заменив перекрестные произведения следующими идентичностями:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {a} ,\\\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} ,\\\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|&={\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}.\end{aligned}}}$

Координаты окружности [ править ]

Декартовы координаты [ править ]

В декартовы координаты на описанной окружности являются ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

Без ограничения общности это можно выразить в упрощенном виде после перевода вершины A в начало декартовых систем координат, т. Е. Когда A ′ = A - A = ( A ′ _x , A ′ _y ) = (0, 0) . В этом случае координаты вершин B = B - A и C = C - A представляют векторы из вершины A в эти вершины. Обратите внимание, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и центра описанной окружности${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$треугольника A ′ B ′ C ′ следуют как

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

Из-за перевода вершины A в начало координат радиус описанной окружности r может быть вычислен как

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

а фактический центр окружности ABC выглядит следующим образом:

${\displaystyle U=U'+A}$

Трилинейные координаты [ править ]

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты ^[3]

cos α  : cos β  : cos γ

где α , β , γ - углы треугольника.

С точки зрения длин сторон a, b, c трилинейные линии равны ^[4]

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

Барицентрические координаты [ править ]

Центр окружности имеет барицентрические координаты

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$^[5]

где a , b , c - длины ребер ( BC , CA , AB соответственно) треугольника.

С точки зрения углов треугольника барицентрические координаты центра описанной окружности равны ^[4]${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}$

${\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}$

Кругоцентр вектор [ править ]

Поскольку декартовы координаты любой точки являются средневзвешенными координатами вершин, а веса представляют собой барицентрические координаты точки, нормированные на единицу, вектор центра описанной окружности может быть записан как

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

Здесь U - вектор центра описанной окружности, а A, B, C - векторы вершин. Делитель здесь равен 16 S ^2, где S - площадь треугольника. Как было сказано ранее

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Декартовы координаты из перекрестных и точечных произведений [ править ]

В евклидовом пространстве существует единственный круг, проходящий через любые заданные три неколлинеарные точки P ₁ , P ₂ и P ₃ . Используя декартовы координаты для представления этих точек как пространственных векторов , можно использовать скалярное произведение и перекрестное произведение для вычисления радиуса и центра круга. Позволять

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

Тогда радиус круга определяется выражением

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

Центр круга задается линейной комбинацией

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$

Расположение относительно треугольника [ править ]

Положение центра описанной окружности зависит от типа треугольника:

• Для острого треугольника (все углы меньше прямого) центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда находится в середине гипотенузы . Это одна из форм теоремы Фалеса .
• Для тупого треугольника (треугольник с одним углом больше прямого) центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника.

Эти особенности местоположения можно увидеть, рассматривая приведенные выше трилинейные или барицентрические координаты для центра описанной окружности: все три координаты положительны для любой внутренней точки, по крайней мере одна координата отрицательна для любой внешней точки, и одна координата равна нулю, а две положительны для не вершина на стороне треугольника.

Углы [ править ]

Углы, которые образует описанная окружность со сторонами треугольника, совпадают с углами, под которыми стороны встречаются друг с другом. Сторона, противоположная углу α, пересекает окружность дважды: по одному на каждом конце; в каждом случае под углом α (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой об альтернативном сегменте , в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен углу в альтернативном сегменте.

Центр треугольника находится на описанной окружности треугольника ABC [ править ]

В этом разделе углы вершин обозначены A , B , C, а все координаты являются трилинейными :

• Точка Штейнера = bc / ( b ² - c ² ): ca / ( c ² - a ² ): ab / ( a ² - b ² ) = невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера. ( Эллипс Штейнера с центром = центроид ( ABC ) - это эллипс наименьшей площади, проходящий через A , B и C. Уравнение для этого эллипса: 1 / ( ax ) + 1 / ( by ) + 1 / (cz ) = 0. )
• Tarry point = sec ( A + ω): sec ( B + ω): sec ( C + ω) = антипод точки Штейнера
• Фокус параболы Киперта = csc ( B - C ): csc ( C - A ): csc ( A - B ).

Другие свойства [ править ]

Диаметр описанной окружности, называется circumdiameter и равна удвоенной описанной окружности , может быть вычислена как длина любой стороны треугольника , деленной на синус противоположного угла :

${\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

Как следствие закона синусов , не имеет значения, какая сторона и противоположный угол взяты: результат будет таким же.

Диаметр описанной окружности также можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$

где a , b , c - длины сторон треугольника, а s = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр. Выражение выше - это площадь треугольника по формуле Герона . ^[6] Тригонометрические выражения для диаметра описанной окружности включают ^[7]${\displaystyle {\sqrt {\scriptstyle {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}$

${\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

Окружность из девяти точек треугольника имеет половину диаметра описанной окружности.

В любом данном треугольнике центр описанной окружности всегда коллинеарен центроиду и ортоцентру . Линия, которая проходит через все они, известна как линия Эйлера .

Изогональный конъюгат из описанной окружности является ортоцентром .

Полезный минимальный ограничивающий круг из трех точек определяется либо описанной окружностью (где три точки находятся на минимальном ограничивающем круге), либо двумя точками на самой длинной стороне треугольника (где две точки определяют диаметр круга). Обычно минимальную ограничивающую окружность путают с описанной.

Описанная окружность трех коллинеарных точек - это линия, на которой лежат три точки, которую часто называют окружностью бесконечного радиуса . Почти коллинеарные точки часто приводят к численной нестабильности при вычислении описанной окружности.

Окружностей треугольников имеют близкие отношения с триангуляции Делоне в виде множества точек.

По теореме Эйлера в геометрии расстояние между центром описанной окружности O и центром I равно

${\displaystyle OI={\sqrt {R(R-2r)}},}$

где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности; следовательно, радиус описанной окружности как минимум вдвое больше внутреннего радиуса ( неравенство треугольника Эйлера ), причем равенство достигается только в равностороннем случае. ^{[8] [9]}

Расстояние между O и ортоцентром H составляет ^{[10] [11]}

${\displaystyle OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

Для центроида G и девятиточечного центра N имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}IG&<IO,\\2IN&<IO,\\OI^{2}&=2R\cdot IN.\end{aligned}}}$

Произведение радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности треугольника со сторонами a , b и c равно ^[12]

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

С описанным радиусом R , сторонами a , b , c и медианами m _a , m _b и m _c имеем ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}$

Если медиана m , высота h и внутренняя биссектриса t исходят из одной и той же вершины треугольника с описанным радиусом R , то ^[14]

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса . ^[15] Здесь длина сегмента считается отрицательной тогда и только тогда, когда сегмент полностью лежит за пределами треугольника.

Если в треугольнике есть две определенные окружности в качестве описанной и вписанной окружности , существует бесконечное количество других треугольников с такими же описанными и вписанными окружностями, с любой точкой на описанной окружности в качестве вершины. (Это  случай n = 3 поризмы Понселе ). Необходимым и достаточным условием существования таких треугольников является указанное выше равенство ^[16]${\displaystyle OI={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Циклические четырехугольники [ править ]

Четырехугольники, которые можно описать, обладают особыми свойствами, включая тот факт, что противоположные углы являются дополнительными углами (в сумме до 180 ° или π радиан).

Циклические n -угольники [ править ]

Для циклического многоугольника с нечетным числом сторон все углы равны тогда и только тогда, когда многоугольник правильный. У циклического многоугольника с четным числом сторон все углы равны тогда и только тогда, когда альтернативные стороны равны (то есть стороны 1, 3, 5, ... равны, а стороны 2, 4, 6, ... равны). ^[17]

Циклический пятиугольник с рациональными сторонами и площадью известен как пятиугольник Роббинса ; во всех известных случаях его диагонали также имеют рациональную длину. ^[18]

В любом циклическом n -угольнике с четным n сумма одного набора альтернативных углов (первого, третьего, пятого и т. Д.) Равна сумме другого набора альтернативных углов. Это может быть доказано индукцией из случая n = 4, в каждом случае заменяя одну сторону еще тремя сторонами и отмечая, что эти три новые стороны вместе со старой стороной образуют четырехугольник, который сам обладает этим свойством; Альтернативные углы последнего четырехугольника представляют собой прибавления к суммам альтернативных углов предыдущего n -угольника.

Пусть один п - угольник быть вписан в круг, и пусть другой п - угольник быть тангенциальным к этой окружности в вершинах первого п - угольника. Тогда из любой точки P на окружности произведение перпендикулярных расстояний от P до сторон первого n -угольника равно произведению перпендикулярных расстояний от P до сторон второго n -угольника. ^[19]

Точка на описанной окружности [ править ]

Пусть циклический n -угольник имеет вершины A ₁ , ..., A _n на единичной окружности. Тогда для любой точки M на вспомогательной дуге A ₁ A _n расстояния от M до вершин удовлетворяют ^[20]

${\displaystyle {\begin{cases}MA_{1}+MA_{3}+\cdots +MA_{n-2}+MA_{n}<n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is odd}};\\MA_{1}+MA_{3}+\cdots +MA_{n-3}+MA_{n-1}\leq n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$

Для правильного n -угольника, если - расстояния от любой точки описанной окружности до вершин , то ^[21]${\displaystyle MA_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle 3(MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+...+MA_{n}^{2})^{2}=2n(MA_{1}^{4}+MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).}$

Константа, описывающая многоугольник [ править ]

Любой правильный многоугольник циклический. Рассмотрим единичный круг, затем описываем правильный треугольник так, чтобы каждая сторона касалась круга. Опишите круг, а затем квадрат. Опять описываем круг, затем описываем правильный 5-угольник и так далее. Радиусы описанных окружностей сходятся к так называемой константе, описывающей многоугольник

${\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=8.7000366\ldots .}$

(последовательность A051762 в OEIS ). Обратной величиной этой постоянной является постоянная Кеплера – Боукампа .

См. Также [ править ]

• Circumgon
• Описанная сфера
• Вписанный круг
• Японская теорема для циклических многоугольников
• Японская теорема для циклических четырехугольников
• Теорема Юнга , неравенство, связывающее диаметр множества точек с радиусом ее минимальной ограничивающей сферы
• Теорема Косницы
• Теорема Лестера
• Тангенциальный многоугольник
• Центр треугольника

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вывод формулы для радиуса описанной окружности треугольника на Mathalino.com
• Полурегулярные углы и боковые углы: соответствующие обобщения прямоугольников и ромбов в эскизах динамической геометрии, интерактивный эскиз динамической геометрии.

MathWorld [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Окружность" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклический многоугольник» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Круговой эллипс Штайнера" . MathWorld .

Интерактивный [ править ]

• Описанная окружность треугольника и центр описанной окружности С интерактивной анимацией
• Интерактивный Java-апплет для центра окружности