Правый змей

Правый змей с описанными и вписанными окружностями. Крайняя левая и самая правая вершины имеют прямые углы.

В евклидовой геометрии , А правая змея является змея (а четырехугольник , чьи четыре стороны могут быть сгруппированы в две пары сторон одинаковой длины , которые расположены рядом друг с другом) , который может быть вписан в окружность. ^[1] То есть это воздушный змей с описанной окружностью (т. Е. Циклический змей). Таким образом, правый змей представляет собой выпуклый четырехугольник с двумя противоположными прямыми углами . ^[2] Если есть ровно два прямых угла, каждый должен находиться между сторонами разной длины. Правые воздушные змеи - двухцентровые четырехугольники.(четырехугольники с описанной и вписанной окружностями), поскольку все воздушные змеи имеют вписанную окружность . Одна из диагоналей (та, которая является линией симметрии ) делит правый змей на два прямоугольных треугольника и также является диаметром описанной окружности.

В касательном четырехугольнике (один с вписанной окружностью) четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками, где она касается четырехугольника, делят четырехугольник на четыре правых змея.

Особый случай [ править ]

Частным случаем воздушных змеев являются квадраты , в которых диагонали равны по длине, а вписанная и описанная окружности концентрические .

Характеристики [ править ]

Воздушный змей является правильным воздушным змеем тогда и только тогда, когда он имеет описанную окружность (по определению). Это эквивалентно тому, что это воздушный змей с двумя противоположными прямыми углами.

Формулы показателей [ править ]

Поскольку правый змей может быть разделен на два прямоугольных треугольника, следующие метрические формулы легко следуют из хорошо известных свойств прямоугольных треугольников. В прямом кайте ABCD, где противоположные углы B и D являются прямыми углами, два других угла могут быть вычислены из

${\ displaystyle \ tan {\ frac {A} {2}} = {\ frac {b} {a}}, \ qquad \ tan {\ frac {C} {2}} = {\ frac {a} {b }}}$

где a = AB = AD и b = BC = CD . Область правого кайта

${\ displaystyle \ displaystyle K = ab.}$

Диагональ переменного тока , который является линией симметрии имеет длину

${\ displaystyle p = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

и, поскольку диагонали перпендикулярны (то есть правый змей - это ортодиагональный четырехугольник с площадью ), другая диагональ BD имеет длину${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {pq} {2}}}$

${\ displaystyle q = {\ frac {2ab} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}$

Радиус описанной окружности представляет собой ( в соответствии с теоремой Пифагора )

${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

и, поскольку все воздушные змеи являются касательными четырехугольниками , радиус вписанной окружности определяется выражением

${\ displaystyle r = {\ frac {K} {s}} = {\ frac {ab} {a + b}}}$

где s - полупериметр.

Площадь определяется радиусом описанной окружности R и внутренним радиусом r как ^[3]

${\ displaystyle K = r (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}).}$

Если мы возьмем отрезку , простирающуюся от пересечения диагоналей до вершин по часовой стрелке , чтобы быть , , и , затем,${\ displaystyle d_ {1}}$${\ displaystyle d_ {2}}$${\ displaystyle d_ {3}}$${\ displaystyle d_ {4}}$

${\ displaystyle d_ {1} d_ {3} = d_ {2} d_ {4}}$

Это прямой результат теоремы о среднем геометрическом .

Двойственность [ править ]

Двойной многоугольник с правом кайта Н. равнобедренным тангенциальным трапециевидным . ^[1]

Альтернативное определение [ править ]

Иногда прямой змей определяется как змей с хотя бы одним прямым углом. ^[4] Если есть только один прямой угол, он должен быть между двумя сторонами равной длины; в этом случае приведенные выше формулы не применяются.

Ссылки [ править ]