Ортодиагональный четырехугольник

Ортодиагональный четырехугольник (желтый). Согласно характеристикам этих четырехугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырехугольника имеют такую ​​же общую площадь, как два синих квадрата на другой паре противоположных сторон.

В евклидовой геометрии , orthodiagonal четырехугольник является четырехугольник , в котором диагонали пересекаются под прямым углом . Другими слова, это четырехсторонняя фигура , в которой отрезка между несмежными вершинами являются ортогональной (перпендикулярно) друг с другом.

Особые случаи [ править ]

Воздушный змей - это ортодиагональный четырехугольник, в котором одна диагональ является линией симметрии. Воздушные змеи - это в точности ортодиагональные четырехугольники, содержащие окружность, касающуюся всех четырех сторон; то есть воздушные змеи - это касательные ортодиагональные четырехугольники. ^[1]

Ромб является orthodiagonal четырехугольника с двумя парами параллельных сторон (то есть, orthodiagonal четырехугольник , который также является параллелограмм ).

Квадрат представляет собой предельный случай как коршун и ромба.

Ортодиагональные равнодиагональные четырехугольники, в которых диагонали имеют по крайней мере такую ​​же длину, что все стороны четырехугольника имеют максимальную площадь для их диаметра среди всех четырехугольников, решая  случай n = 4 самой большой проблемы маленького многоугольника . Квадрат - один из таких четырехугольников, но существует бесконечно много других. Ортодиагональный четырехугольник, который также является равнодиагональным, является четырехугольником со средним квадратом, потому что его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена исключительно через его стороны.

Характеристики [ править ]

Для любого ортодиагонального четырехугольника сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон: для последовательных сторон a , b , c и d мы имеем ^{[2] [3]}

${\ displaystyle \ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}.}$

Это следует из теоремы Пифагора , с помощью которой любую из этих двух сумм двух квадратов можно разложить до суммы четырех квадратов расстояний от вершин четырехугольника до точки пересечения диагоналей. И наоборот, любой четырехугольник, в котором a ² + c ² = b ² + d ^2, должен быть ортодиагональным. ^[4] Это можно доказать разными способами, в том числе с помощью закона косинусов , векторов , косвенного доказательства и комплексных чисел . ^[5]

Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда два бимедиана имеют одинаковую длину. ^[5]

Согласно другой характеристике, диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ angle PAB + \ angle PBA + \ angle PCD + \ angle PDC = \ pi}$

где P - точка пересечения диагоналей. Из этого уравнения почти сразу следует, что диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда проекции диагонального пересечения на стороны четырехугольника являются вершинами вписанного четырехугольника . ^[5]

Выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершины которого являются серединами его сторон) является прямоугольником . ^[5] Связанная характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины сторон и основания четырех солодов являются восемью совпадающими точками ; круг из восьми точек . Центр этого круга - центр тяжести четырехугольника. Четырехугольник, образованный ножками солодовни, называется главным ортогональным четырехугольником . ^[6]

Если нормали к сторонам выпуклого четырехугольника ABCD через диагональное пересечение пересекают противоположные стороны в R , S , T , U и K , L , M , N являются основанием этих нормалей, то ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда если восемь точек K , L , M , N , R , S , T и U совпадают; вторая восемь точки окружность. Связанная характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда RSTU является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям ABCD . ^[5]

Существует несколько метрических характеристик четырех треугольников, образованных диагональным пересечением P и вершинами выпуклого четырехугольника ABCD . Обозначим через м ₁ , м ₂ , м ₃ , м ₄ в медианы в треугольников ABP , BCP , CDP , ДАФ от P к сторонам AB , BC , CD , DA соответственно. Если R ₁ , R ₂, R ₃ , R ₄ и ч ₁ , ч ₂ , ч ₃ , ч ₄ обозначат радиусы из окружностей и высоты соответственно из этих треугольников, то четырехугольник ABCD есть orthodiagonal тогда и только тогда , когда любое одно из следующих равенств: ^[5]

• ${\ displaystyle m_ {1} ^ {2} + m_ {3} ^ {2} = m_ {2} ^ {2} + m_ {4} ^ {2}}$
• ${\ Displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
• ${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {3} ^ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {4} ^ {2}}}}$

Кроме того, четырехугольник ABCD с пересечением P диагоналей является ортодиагональным тогда и только тогда, когда центры описанных окружностей треугольников ABP , BCP , CDP и DAP являются серединами сторон четырехугольника. ^[5]

Сравнение с тангенциальным четырехугольником [ править ]

Некоторые метрические характеристики касательных четырехугольников и ортодиагональных четырехугольников очень похожи по внешнему виду, как это видно в этой таблице. ^[5] Обозначения на сторонах a , b , c , d , окружных радиусах R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ и высотах h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ такие же, как и выше в оба типа четырехугольников.

Тангенциальный четырехугольник	Ортодиагональный четырехугольник
${\ displaystyle a + c = b + d}$	${\ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$
${\ Displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${\ Displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

Площадь [ править ]

Площадь K ортодиагонального четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q : ^[7]

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}}.}$

И наоборот, любой выпуклый четырехугольник, площадь которого можно вычислить по этой формуле, должен быть ортодиагональным. ^[5] У ортодиагонального четырехугольника самая большая площадь из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями.

Другие свойства [ править ]

• Ортодиагональные четырехугольники - единственные четырехугольники, для которых стороны и угол, образованный диагоналями, не определяют однозначно площадь. ^[3] Например, два ромба, оба имеют общую сторону a (и, как и все ромбы, оба имеют прямой угол между диагоналями), но один имеет меньший острый угол, чем другой, имеют разные площади (площадь первый приближается к нулю при приближении острого угла к нулю).
• Если квадраты возведены наружу на сторонах любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного), то их центры ( центроиды ) являются вершинами ортодиагонального четырехугольника, который также является равнодиагональным (то есть имеет диагонали одинаковой длины). Это называется теоремой Ван Обеля .
• Каждая сторона ортодиагонального четырехугольника имеет хотя бы одну общую точку с окружностью точек Паскаля. ^[8]

Свойства ортодиагональных четырехугольников, которые также являются вписанными [ править ]

Циркумрадиус и площадь [ править ]

Для циклического ортодиагонального четырехугольника (того, который можно вписать в круг ), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p ₁ и p _2, а другую диагональ на отрезки длиной q ₁ и q ₂ . Тогда ^[9] (первое равенство - это предложение 11 из Книги лемм Архимеда )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

где D представляет собой диаметр от окружности . Это справедливо, потому что диагонали перпендикулярны хордам окружности . Эти уравнения дают выражение для описанного радиуса

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

или, исходя из сторон четырехугольника, как ^[2]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

Отсюда также следует, что ^[2]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Таким образом, согласно теореме Эйлера о четырехугольнике , радиус описанной окружности может быть выражен через диагонали p и q , а расстояние x между серединами диагоналей как

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

Формула площади K вписанного ортодиагонального четырехугольника в терминах четырех сторон получается непосредственно при объединении теоремы Птолемея и формулы площади ортодиагонального четырехугольника . Результат ^{[10] : с.222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

Другие свойства [ править ]

• В круговом ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей. ^[2]
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для циклического ортодиагонального четырехугольника перпендикуляр с любой стороны, проходящей через точку пересечения диагоналей, делит пополам противоположную сторону. ^[2]
• Если orthodiagonal четырехугольник является также циклическими, расстояние от описанной окружности (центр окружности) к какой - либо стороне равна половине длины стороны , противоположной. ^[2]
• В круговом ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей. ^[2]

Бесконечные наборы вписанных прямоугольников [ править ]

${\displaystyle ABCD}$является ортодиагональным четырехугольником и представляет собой прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.${\displaystyle P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}}$${\displaystyle P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}}$

${\displaystyle ABCD}$- ортодиагональный четырехугольник. и - точки Паскаля, образованные кругом , - круг точек Паскаля, определяющий прямоугольник . и - точки Паскаля, образованные кругом , - круг точек Паскаля, определяющий прямоугольник .${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \sigma _{P_{1}Q_{1}}}$${\displaystyle P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \sigma _{P_{2}Q_{2}}}$${\displaystyle P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}}$

В каждый ортодиагональный четырехугольник можно вписать два бесконечных набора прямоугольников:

(i) набор прямоугольников, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника

(ii) набор прямоугольников, определяемых окружностями точек Паскаля. ^[11]

Ссылки [ править ]