Тангенциальный четырехугольник

Касательный четырехугольник с вписанной окружностью

В евклидовой геометрии , A тангенциального четырехугольник (иногда просто касательная четырехугольник ) или ограниченный четырехугольник является выпуклым четырехугольник , стороны которого все может быть касательной к одной окружности внутри четырехугольника. Этот круг называется вписанной окружностью четырехугольника или вписанной в него окружности, его центр является центром, а радиус называется внутренним радиусом . Поскольку эти четырехугольники можно нарисовать, окружая или описывая их вписанные окружности, их также называют описываемыми четырехугольниками ,описываемые четырехугольники и описываемые четырехугольники . ^[1] Касательные четырехугольники - это частный случай касательных многоугольников .

Другие менее часто используемые названия для данного класса четырехугольников являются inscriptable четырехугольника , inscriptible четырехугольника , подписываемый четырехугольник , circumcyclic четырехугольника , и со-циклического четырехугольник . ^{[1] [2]} Из - за риска смешения с четырехугольника , который имеет окружность, которая называется циклическим четырехугольник или вписан четырехугольник, предпочтительно не использовать какой - либо из последних пяти имен. ^[1]

Все треугольники могут иметь вписанную окружность, но не все четырехугольники. Примером четырехугольника, который не может быть касательным, является прямоугольник, не являющийся квадратным . В приведенных ниже характеристиках сечения указано, каким необходимым и достаточным условиям должен удовлетворять четырехугольник, чтобы он мог иметь вписанную окружность.

Особые случаи [ править ]

Примерами тангенциальных четырехугольников являются воздушные змеи , которые включают ромбы , которые, в свою очередь, включают квадраты . Воздушные змеи - это в точности касательные четырехугольники, которые также ортодиагональны . ^[3] право кайт кайт с окружностью . Если четырехугольник одновременно и тангенциальный, и вписанный , он называется бицентрическим четырехугольником , а если он одновременно тангенциальный и трапециевидный , он называется тангенциальной трапецией .

Характеристики [ править ]

В тангенциальном четырехугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности. И наоборот, выпуклый четырехугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть касательным, а общая точка - центром. ^[4]

Согласно теореме Пито , две пары противоположных сторон в касательном четырехугольнике в сумме составляют одну и ту же общую длину, которая равна полупериметру s четырехугольника:

${\ displaystyle a + c = b + d = {\ frac {a + b + c + d} {2}} = s.}$

И наоборот, выпуклый четырехугольник, в котором a + c = b + d, должен быть касательным. ^{[1] : стр.65 [4]}

Если противоположные стороны выпуклого четырехугольника ABCD (который не является трапецией ) пересекаются в точках E и F , то он является касательным тогда и только тогда, когда любое из ^[4]

${\ displaystyle \ displaystyle BE + BF = DE + DF}$

или же

${\ displaystyle \ displaystyle AE-EC = AF-FC.}$

Второе из них почти такое же, как одно из равенств в теореме Уркарта . Единственное отличие - это знаки с обеих сторон; в теореме Уркарта вместо разностей стоят суммы.

Другим необходимым и достаточным условием является то , что выпуклый четырехугольник ABCD является касательным , если и только если вписанные в двух треугольников ABC и ADC являются касательной друг к другу. ^{[1] : стр.66}

Характеристика углов, образованных диагональю BD и четырьмя сторонами четырехугольника ABCD , принадлежит Иосифеску. В 1954 году он доказал, что выпуклый четырехугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда ^[5]

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ angle ABD} {2}} \ cdot \ tan {\ frac {\ angle BDC} {2}} = \ tan {\ frac {\ angle ADB} {2}} \ cdot \ tan {\ frac {\ angle DBC} {2}}.}$

Далее, выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d является касательным тогда и только тогда, когда

${\ Displaystyle R_ {a} R_ {c} = R_ {b} R_ {d}}$

где R _a , R _b , R _c , R _d - радиусы окружностей, касательных снаружи к сторонам a , b , c , d соответственно, и продолжения двух смежных сторон для каждой стороны. ^{[6] : стр.72}

Еще несколько характеристик известны в четырех подтреугольниках, образованных диагоналями.

Специальные линейные сегменты [ править ]

Восемь касательных длин ( e , f , g , h на рисунке справа) касательного четырехугольника - это отрезки прямых от вершины до точек, где вписанная окружность касается сторон. От каждой вершины есть две конгруэнтные касательные длины.

Две хорды касания ( k и l на рисунке) касательного четырехугольника - это отрезки прямых, которые соединяют точки на противоположных сторонах, где вписанная окружность касается этих сторон. Они также являются диагоналями этого контакта четырехугольника .

Площадь [ править ]

Нетригонометрические формулы [ править ]

Область К тангенциальному четырехугольнику определяются

${\ Displaystyle \ Displaystyle К = г \ cdot s,}$

где s - полупериметр, а r - внутренний радиус . Другая формула ^[7]

${\displaystyle \displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}}$

что дает площадь через диагонали p , q и стороны a , b , c , d касательного четырехугольника.

Площадь также можно выразить через четыре длины касательной . Если это e , f , g , h , то тангенциальный четырехугольник имеет площадь ^[3]

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}$

Кроме того, площадь касательного четырехугольника может быть выражена через стороны a, b, c, d и последовательные длины касательной e, f, g, h как ^{[3] : стр.128}

${\displaystyle K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}$

Так как eg = fh тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник также является вписанным и, следовательно, бицентрическим, ^[8] это показывает, что максимальная площадь возникает тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник является бицентричным.${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$

Тригонометрические формулы [ править ]

Тригонометрическая формула для области с точкой зрения сторон , б , гр , д и двумя углов противоположных является ^{[7] [9] [10] [11]}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Для заданной длины стороны площадь максимальна, когда четырехугольник также является вписанным и, следовательно, двухцентровым четырехугольником . Тогда, поскольку противоположные углы являются дополнительными углами . Это можно доказать другим способом с помощью исчисления . ^[12]${\displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

Другая формула для площади касательного четырехугольника ABCD, который включает два противоположных угла: ^{[10] : стр.19}

${\displaystyle K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}$

где я инмиттер.

Фактически, площадь может быть выражена двумя соседними сторонами и двумя противоположными углами как ^[7]

${\displaystyle K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Еще одна формула площади ^[7]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,}$

где θ - любой из углов между диагоналями. Эта формула не может использоваться, когда касательный четырехугольник является воздушным змеем, поскольку тогда θ равно 90 °, а функция касания не определена.

Неравенства [ править ]

Как косвенно отмечалось выше, площадь касательного четырехугольника со сторонами a , b , c , d удовлетворяет условию

${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда это бицентрический четырехугольник .

По данным Т.А. Ивановой (1976 г.), полупериметр s касательного четырехугольника удовлетворяет условию

${\displaystyle s\geq 4r}$

где r - внутренний радиус. Равенство существует тогда и только тогда, когда четырехугольник - квадрат . ^[13] Это означает, что для области K = rs имеет место неравенство

${\displaystyle K\geq 4r^{2}}$

с равенством тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник является квадратом.

Свойства раздела [ править ]

Четыре отрезка прямой между центром вписанной окружности и точками касания четырехугольника делят четырехугольник на четыре правых змея .

Если линия разрезает тангенциальный четырехугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами , то эта линия проходит через центр центра . ^[4]

Инрадиус [ править ]

Внутренний радиус в касательном четырехугольнике с последовательными сторонами a , b , c , d определяется формулой ^[7]

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}}$

где K - площадь четырехугольника, а s - его полупериметр. Для тангенциального четырехугольника с заданными сторон, inradius это максимум , когда четырехугольник является также циклическим (и , следовательно, bicentric четырехугольника ).

В терминах касательных длин вписанная окружность имеет радиус ^{[8] : Лемма 2 [14]}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

Внутренний радиус можно также выразить через расстояния от центра I до вершин касательного четырехугольника ABCD . Если u = AI , v = BI , x = CI и y = DI , то

${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$

где . ^[15]${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$

Если вписанные окружности в треугольники ABC , BCD , CDA , DAB имеют радиусы соответственно, то внутренний радиус касательного четырехугольника ABCD равен${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}$

${\displaystyle r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}$

где . ^[16]${\displaystyle G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}}$

Формулы углов [ править ]

Если e , f , g и h - длины касательной от вершин A , B , C и D соответственно к точкам, где вписанная окружность касается сторон касательного четырехугольника ABCD , то углы четырехугольника могут быть вычислены по формуле ^[3]

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

Угол между хордами касания k и l определяется выражением ^[3]

${\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}$

Диагонали [ править ]

Если e , f , g и h - длины касательной от A , B , C и D соответственно к точкам, где вписанная окружность касается сторон касательного четырехугольника ABCD , то длины диагоналей p = AC и q = BD являются ^{[8] : Лемма 3}

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

Аккорды касания [ править ]

Если e , f , g и h - касательные длины касательного четырехугольника, то длины касательных хорд равны ^[3]

${\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}}$

где хорда касания длины k соединяет стороны длин a = e + f и c = g + h , а хорда длины l соединяет стороны длин b = f + g и d = h + e . Квадрат отношения хорд касания удовлетворяет ^[3]

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}$

Два аккорда касания

• являются перпендикулярны тогда и только тогда , когда касательная четырехугольник также имеет окружность (это bicentric ). ^{[3] : с.124}
• иметь равную длину тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник является воздушным змеем . ^{[17] : с.166}

Хорда касания между сторонами AB и CD в касательном четырехугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA, тогда и только тогда, когда бимедиан между сторонами AB и CD короче, чем хорда между сторонами BC и DA . ^{[18] : с.162}

Если касательный четырехугольник ABCD имеет точки касания W на AB и Y на CD , и если хорда касания WY пересекает диагональ BD в точке M , то отношение длин касательной равно отношению отрезков диагонали BD . ^[19]${\displaystyle {\tfrac {BW}{DY}}}$${\displaystyle {\tfrac {BM}{DM}}}$

Коллинеарные точки [ править ]

Если M ₁ и M ₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в касательном четырехугольнике ABCD с центром I , и если пары противоположных сторон пересекаются в J и K, причем M ₃ является серединой JK , то точки M ₃ , M ₁ , I и M ₂ лежат на одной прямой . ^{[4] : стр.42} Строка, содержащая их, являетсяЛиния Ньютона четырехугольника.

Если расширения противоположных сторон в тангенциальном четырехугольника пересекаются в точке J и K , и продолжений противоположных сторон в ее контактной четырехугольника пересекаются в точке L и М , то четыре точки J , L , K и M лежат на одной прямой. ^{[20] : Кор.3}

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD , DA в точках T ₁ , T ₂ , T ₃ , T ₄ соответственно, и если N ₁ , N ₂ , N ₃ , N ₄ являются изотомическими сопряженными этими точками с относительно соответствующих сторон (т. е. AT ₁ = BN ₁ и т. д.), то точка Нагелякасательного четырехугольника определяется как пересечение прямых N ₁ N ₃ и N ₂ N ₄ . Обе эти линии делят периметр четырехугольника на две равные части. Что еще более важно, точка Нагеля N , «центр тяжести площади» G и центр I коллинеарны в этом порядке, и NG = 2 GI . Эта линия называется линией Нагеля касательного четырехугольника. ^[21]

В касательном четырехугольнике ABCD с центром I, диагонали которого пересекаются в точке P , пусть H _X , H _Y , H _Z , H _W - ортоцентры треугольников AIB , BIC , CID , DIA . Тогда точки P , H _X , H _Y , H _Z , H _W лежат на одной прямой. ^{[10] : стр.28}

Параллельные и перпендикулярные линии [ править ]

Две диагонали и две хорды касания совпадают . ^{[11] [10] : p.11} Один из способов увидеть это как предельный случай теоремы Брианшона, гласящей , что шестиугольник, все стороны которого касаются одного конического сеченияимеет три диагонали, которые пересекаются в одной точке. Из касательного четырехугольника можно образовать шестиугольник с двумя углами 180 °, поместив две новые вершины в две противоположные точки касания; все шесть сторон этого шестиугольника лежат на прямых, касающихся вписанной окружности, поэтому его диагонали пересекаются в одной точке. Но две из этих диагоналей совпадают с диагоналями касательного четырехугольника, а третья диагональ шестиугольника - это линия, проходящая через две противоположные точки касания. Повторение того же аргумента с двумя другими точками касания завершает доказательство результата.

Если продолжения противоположных сторон касательного четырехугольника пересекаются в точках J и K , а диагонали пересекаются в точке P , то JK перпендикулярно продолжению IP, где I - центр. ^{[20] : Кор.4}

Incenter [ править ]

Центр тангенциального четырехугольника лежит на его линии Ньютона (которая соединяет середины диагоналей). ^{[22] : Thm. 3}

Соотношение двух противоположных сторон в касательном четырехугольнике можно выразить через расстояния между центром I и вершинами согласно ^{[10] : с.15}

${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {IA\cdot IB}{IC\cdot ID}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {IB\cdot IC}{ID\cdot IA}}.}$

Произведение двух смежных сторон в касательном четырехугольнике ABCD с центром I удовлетворяет ^[23]

${\displaystyle AB\cdot BC=IB^{2}+{\frac {IA\cdot IB\cdot IC}{ID}}.}$

Если I - центр касательного четырехугольника ABCD , то ^{[10] : с.16}

${\displaystyle IA\cdot IC+IB\cdot ID={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}$

Центр I в касательном четырехугольнике ABCD совпадает с «центроидом вершины» четырехугольника тогда и только тогда, когда ^{[10] : с.22}

${\displaystyle IA\cdot IC=IB\cdot ID.}$

Если M _p и M _q - середины диагоналей AC и BD соответственно в касательном четырехугольнике ABCD с центром I , то ^{[10] : с.19 [24]}

${\displaystyle {\frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={\frac {IA\cdot IC}{IB\cdot ID}}={\frac {e+g}{f+h}}}$

где e , f , g и h - касательные длины в точках A , B , C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с предыдущим свойством, «центр тяжести вершины» касательного четырехугольника совпадает с центром в том и только в том случае, если центр является средней точкой отрезка прямой, соединяющего середины диагоналей.

Если четырехстоечный рычажный механизм выполнен в форме тангенциального четырехугольника, он останется тангенциальным независимо от того, как рычажный механизм изгибается, при условии, что четырехугольник остается выпуклым. ^{[25] [26]} (Так, например, если квадрат деформируется в ромб, он остается касательным, хотя и к меньшей вписанной окружности). Если одна сторона удерживается в фиксированном положении, тогда, когда четырехугольник изгибается, центр центра образует круг радиуса, где a, b, c, d - стороны в последовательности, а s - полупериметр.${\displaystyle {\sqrt {abcd}}/s}$

Характеристики в четырех подтреугольниках [ править ]

В неперекрывающихся треугольниках APB , BPC , CPD , DPA, образованных диагоналями выпуклого четырехугольника ABCD , где диагонали пересекаются в точке P , имеются следующие характеристики касательных четырехугольников.

Пусть r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ обозначают радиусы вписанных окружностей в четырех треугольниках APB , BPC , CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырехугольник касательный тогда и только тогда, когда ^[27]

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}$

Эта характеристика была доказана пятью годами ранее Вайнштейном. ^{[17] : с.169 [28]} При решении его задачи аналогичная характеристика была дана Васильевым и Сендеровым. Если h ₁ , h ₂ , h ₃ и h ₄ обозначают высоты в тех же четырех треугольниках (от диагонального пересечения до сторон четырехугольника), то четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда ^{[5] [28]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}.}$

Другая похожая характеристика касается exradii r _a , r _b , r _c и r _d в тех же четырех треугольниках ( каждая из четырех вневписанных окружностей касается одной стороны четырехугольника и продолжений его диагоналей). Четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда ^{[1] : с.70}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{d}}}.}$

Если R ₁ , R ₂ , R ₃ и R ₄ обозначают радиусы в описанных окружностях треугольников APB , BPC , CPD и DPA соответственно, то четырехугольник ABCD является касательным тогда и только тогда, когда ^{[29] : стр. 23–24}

${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$

В 1996 году Вайнштейн был, вероятно, первым, кто доказал еще одну красивую характеристику касательных четырехугольников, которая позже появилась в нескольких журналах и на сайтах. ^{[1] : pp. 72–73} В нем говорится, что когда выпуклый четырехугольник разделен на четыре непересекающихся треугольника двумя диагоналями, то центры четырех треугольников совпадают, если и только если четырехугольник является касательным. Фактически, внутренние центры образуют ортодиагональный вписанный четырехугольник . ^{[1] : стр.74}Связанный результат состоит в том, что вписанные окружности могут быть заменены вневписанными окружностями тех же треугольников (касательными к сторонам четырехугольника и продолжениям его диагоналей). Таким образом, выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда эксцентры в этих четырех вневписанных окружностях являются вершинами вписанного четырехугольника . ^{[1] : стр. 73}

Выпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке P , является касательным тогда и только тогда, когда четыре эксцентра в треугольниках APB , BPC , CPD и DPA, противоположные вершинам B и D , совпадают. ^{[1] : стр. 79} Если R _a , R _b , R _c и R _d являются эксрадиусами в треугольниках APB , BPC , CPD и DPA соответственно напротив вершинB и D , то другое условие состоит в том, что четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда ^{[1] : p. 80}

${\displaystyle {\frac {1}{R_{a}}}+{\frac {1}{R_{c}}}={\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{d}}}.}$

Кроме того, выпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке P, является касательным тогда и только тогда, когда ^[5]

${\displaystyle {\frac {a}{\triangle (APB)}}+{\frac {c}{\triangle (CPD)}}={\frac {b}{\triangle (BPC)}}+{\frac {d}{\triangle (DPA)}}}$

где ∆ ( APB ) - площадь треугольника APB .

Обозначим отрезки, на которые диагональное пересечение P делит диагональ AC, как AP = p ₁ и PC = p ₂ , и аналогично P делит диагональ BD на отрезки BP = q ₁ и PD = q ₂ . Тогда четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих равенств: ^[30]

${\displaystyle ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}}$

или ^{[1] : стр. 74}

${\displaystyle {\frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={\frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}}$

или ^{[1] : стр. 77}

${\displaystyle {\frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={\frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}.}$

Условия, при которых касательный четырехугольник является другим типом четырехугольника [ править ]

Ромб [ править ]

Касательный четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда его противоположные углы равны. ^[31]

Воздушный змей [ править ]

Тангенциальный четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: ^[17]

• Площадь составляет половину произведения диагоналей .
• Диагонали перпендикулярны .
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют одинаковую длину.
• Одна пара противоположных касательных длин имеет одинаковую длину.
• В bimedians имеют равные длины.
• Произведения противоположных сторон равны.
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

Двухцентровый четырехугольник [ править ]

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD , DA в точках W , X , Y , Z соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является вписанным (и, следовательно, бицентрическим ) тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: ^{[2] [3] : с.124 [20]}

• WY перпендикулярно XZ
• ${\displaystyle AW\cdot CY=BW\cdot DY}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

Первый из этих трех означает, что контактный четырехугольник WXYZ является ортодиагональным четырехугольником .

Тангенциальный четырехугольник является бицентрическим тогда и только тогда, когда его радиус больше, чем у любого другого тангенциального четырехугольника, имеющего такую ​​же последовательность длин сторон. ^{[32] : стр.392–393}

Тангенциальная трапеция [ править ]

Если вписанная окружность касается сторон AB и CD в точках W и Y соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является трапецией с параллельными сторонами AB и CD тогда и только тогда, когда ^{[33] : Теорема. 2}

${\displaystyle AW\cdot DY=BW\cdot CY}$

а AD и BC - параллельные стороны трапеции тогда и только тогда, когда

${\displaystyle AW\cdot BW=CY\cdot DY.}$

См. Также [ править ]

• Описанный круг
• Экс касательный четырехугольник
• Тангенциальный треугольник

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по касательным четырехугольникам .

• Вайсштейн, Эрик В. , «Тангенциальный четырехугольник» , MathWorld