Тангенциальная трапеция

Тангенциальная трапеция.

В евклидовой геометрии , A тангенциальное трапеции , также называемый ограниченный трапеции , представляет собой трапецию , чьи четыре стороны все касательной к окружности в пределах трапеции: вписанной или вписанной окружности . Это частный случай касательного четырехугольника, в котором по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна . Что касается других трапеций, параллельные стороны называются основаниями, а две другие стороны - ножками . Ноги могут быть равными (см. Равнобедренную тангенциальную трапецию ниже), но это не обязательно.

Особые случаи [ править ]

Примеры тангенциальных трапеций - ромбы и квадраты .

Характеристика [ править ]

Если вписанная окружность касается сторон AB и CD в точках W и Y соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является трапецией с параллельными сторонами AB и CD тогда и только тогда, когда ^{[1] : Thm. 2}

${\ Displaystyle AW \ cdot DY = BW \ cdot CY}$

а AD и BC - параллельные стороны трапеции тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle AW \ cdot BW = CY \ cdot DY.}$

Площадь [ править ]

Формулу площади трапеции можно упростить с помощью теоремы Пито, чтобы получить формулу площади тангенциальной трапеции. Если основания имеют длину a и b , а любая из двух других сторон имеет длину c , то площадь K определяется формулой ^[2]

${\ displaystyle K = {\ frac {a + b} {| ba |}} {\ sqrt {ab (ac) (cb)}}.}$

Площадь можно выразить через касательные длины e , f , g , h как ^{[3] : стр.129}

${\ displaystyle K = {\ sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}$

Inradius [ править ]

Используя те же обозначения, что и для площади, радиус во вписанной окружности равен ^[2]

${\ displaystyle r = {\ frac {K} {a + b}} = {\ frac {\ sqrt {ab (ac) (cb)}} {| ba |}}.}$

Диаметр вписанной равна высоте трапеции по касательной.

Внутренний радиус также может быть выражен через касательные длины как ^{[3] : стр.129}

${\ displaystyle r = {\ sqrt [{4}] {efgh}}.}$

Более того, если касательные длины e, f, g, h исходят соответственно из вершин A, B, C, D и AB параллельно DC , то ^[1]

${\ displaystyle r = {\ sqrt {eh}} = {\ sqrt {fg}}.}$

Свойства стимулятора [ править ]

Если вписанной является касательной к основаниям в Р и Q , то Р , я и Q являются коллинеарными , где я это вписанной. ^[4]

Углы AID и BIC в тангенциальной трапеции ABCD с основаниями AB и DC являются прямыми углами . ^[4]

Центр центра расположен на средней части (также называемой срединным сегментом, то есть сегментом, соединяющим средние точки ног). ^[4]

Другие свойства [ править ]

Медиана (midsegment) тангенциального трапеции равна одной четверти периметра трапеции. Это также половина суммы оснований, как и у всех трапеций.

Если нарисовать две окружности, каждая из которых имеет диаметр, совпадающий с участками тангенциальной трапеции, то эти две окружности касаются друг друга. ^[5]

Правая тангенциальная трапеция [ править ]

Прямо по касательной трапеции является тангенциальной трапецией , где две смежных углов прямых углов . Если основания имеют длину a и b , то внутренний радиус равен ^[6]

${\ displaystyle r = {\ frac {ab} {a + b}}.}$

Таким образом, диаметр вписанной окружности является средним гармоническим основанием.

Правая тангенциальная трапеция имеет площадь ^[6]

${\ displaystyle \ displaystyle K = ab}$

а его периметр P равен ^[6]

${\ displaystyle \ displaystyle P = 2 (a + b).}$

Равнобедренная тангенциальная трапеция [ править ]

Равнобедренной трапеции по касательной является тангенциальная трапеции , где ноги равны. Так как равнобедренная трапеция является циклической , равнобедренная тангенциальная трапеция является двухцентровым четырехугольником . То есть он имеет как вписанную, так и описанную окружности .

Если основаниями являются a и b , то внутренний радиус определяется формулой ^[7]

${\ displaystyle r = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {ab}}.}$

Вывести эту формулу было простой задачей сангаку из Японии . Из теоремы Пито следует, что длины катетов составляют половину суммы оснований. Так как диаметр вписанного является квадратным корнем из произведения оснований, равнобедренные тангенциальная трапеция дает хорошую геометрическую интерпретацию арифметическому среднему и среднему геометрического основания , как длина ноги и диаметр вписанному соответственно.

Площадь K равнобедренной тангенциальной трапеции с основаниями a и b определяется выражением ^[8]

${\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {ab}} (a + b).}$

Ссылки [ править ]