В евклидовой геометрии , A тангенциальное трапеции , также называемый ограниченный трапеции , представляет собой трапецию , чьи четыре стороны все касательной к окружности в пределах трапеции: вписанной или вписанной окружности . Это частный случай касательного четырехугольника, в котором по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна . Что касается других трапеций, параллельные стороны называются основаниями, а две другие стороны - ножками . Ноги могут быть равными (см. Равнобедренную тангенциальную трапецию ниже), но это не обязательно.
Особые случаи [ править ]
Примеры тангенциальных трапеций - ромбы и квадраты .
Характеристика [ править ]
Если вписанная окружность касается сторон AB и CD в точках W и Y соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является трапецией с параллельными сторонами AB и CD тогда и только тогда, когда [1] : Thm. 2
а AD и BC - параллельные стороны трапеции тогда и только тогда, когда
Площадь [ править ]
Формулу площади трапеции можно упростить с помощью теоремы Пито, чтобы получить формулу площади тангенциальной трапеции. Если основания имеют длину a и b , а любая из двух других сторон имеет длину c , то площадь K определяется формулой [2]
Площадь можно выразить через касательные длины e , f , g , h как [3] : стр.129
Inradius [ править ]
Используя те же обозначения, что и для площади, радиус во вписанной окружности равен [2]
Диаметр вписанной равна высоте трапеции по касательной.
Внутренний радиус также может быть выражен через касательные длины как [3] : стр.129
Более того, если касательные длины e, f, g, h исходят соответственно из вершин A, B, C, D и AB параллельно DC , то [1]
Свойства стимулятора [ править ]
Если вписанной является касательной к основаниям в Р и Q , то Р , я и Q являются коллинеарными , где я это вписанной. [4]
Углы AID и BIC в тангенциальной трапеции ABCD с основаниями AB и DC являются прямыми углами . [4]
Центр центра расположен на средней части (также называемой срединным сегментом, то есть сегментом, соединяющим средние точки ног). [4]
Другие свойства [ править ]
Медиана (midsegment) тангенциального трапеции равна одной четверти периметра трапеции. Это также половина суммы оснований, как и у всех трапеций.
Если нарисовать две окружности, каждая из которых имеет диаметр, совпадающий с участками тангенциальной трапеции, то эти две окружности касаются друг друга. [5]
Правая тангенциальная трапеция [ править ]
Прямо по касательной трапеции является тангенциальной трапецией , где две смежных углов прямых углов . Если основания имеют длину a и b , то внутренний радиус равен [6]
Таким образом, диаметр вписанной окружности является средним гармоническим основанием.
Правая тангенциальная трапеция имеет площадь [6]
а его периметр P равен [6]
Равнобедренная тангенциальная трапеция [ править ]
Равнобедренной трапеции по касательной является тангенциальная трапеции , где ноги равны. Так как равнобедренная трапеция является циклической , равнобедренная тангенциальная трапеция является двухцентровым четырехугольником . То есть он имеет как вписанную, так и описанную окружности .
Если основаниями являются a и b , то внутренний радиус определяется формулой [7]
Вывести эту формулу было простой задачей сангаку из Японии . Из теоремы Пито следует, что длины катетов составляют половину суммы оснований. Так как диаметр вписанного является квадратным корнем из произведения оснований, равнобедренные тангенциальная трапеция дает хорошую геометрическую интерпретацию арифметическому среднему и среднему геометрического основания , как длина ноги и диаметр вписанному соответственно.
Площадь K равнобедренной тангенциальной трапеции с основаниями a и b определяется выражением [8]
Ссылки [ править ]
- ^ a b Йозефссон, Мартин (2014), « Повторение диагонального треугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 381–385.
- ^ a b Х. Либер и Ф. фон Люман, Trigonometrische Aufgaben , Берлин, Dritte Auflage, 1889, стр. 154.
- ^ a b Йозефссон, Мартин (2010), «Вычисления касательных длин и хорд касания касательного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130 .
- ^ a b c Дж. Уилсон, Набор задач 2.2 , Университет Джорджии, 2010 г., [1] .
- ^ Черноморский лицей, Вписанные и описанные четырехугольники , 2010, [2] .
- ^ a b c Круг, вписанный в трапецию, Art of Problem Soving , 2011 г.
- ^ MathDL, Inscribed circle and trapezoid , The Mathematical Association of America, 2012, [3] .
- ^ Abhijit Гуа, CAT Математика , PHI Learning Private Limited, 2014, стр. 7-73.