Декартово овал

Пример декартовых овалов.

В геометрии , A декартова овальная форма является плоским кривой , состоящими из точек , которые имеют ту же самую линейную комбинацию расстояний от двух фиксированных точек. Эти кривые названы в честь Рене Декарта , который использовал их в оптике .

Определение [ править ]

Пусть $P$ и $Q$ неподвижные точки на плоскости, и пусть $д (Р, S)$ и $D (Q, S)$ обозначают евклидовых расстояний от этих точек до точки третьей переменной $S$ . Пусть $m$ и $a$ - произвольные действительные числа . Тогда декартов овал - это геометрическое место точек S, для которых $d (P, S) + m d (Q, S) = a$ . Два овала, образованные четырьмя уравнениями $d (P, S) + m d (Q, S) = \pm a$ и $d (P, S) - m d (Q, S) = \pm a$ , тесно связаны; вместе они образуют плоскую кривую четвертой степени, называемую овалами Декарта . ^[1]

Особые случаи [ править ]

В уравнении $d (P, S) + m d (Q, S) = a$ , когда $m = 1$ и $a > d (P, Q),$ результирующая форма представляет собой эллипс . В предельном случае, когда P и Q совпадают, эллипс превращается в окружность . Когда это лимон Паскаля. Если и уравнение дает ветвь гиперболы и, следовательно, не является замкнутым овалом. ${\ Displaystyle м = а / {\ текст {d}} (P, Q)}$ ${\ displaystyle m = -1}$ ${\ displaystyle 0 <a <{\ text {d}} (P, Q)}$

Полиномиальное уравнение [ править ]

Множество точек $(x, y),$ удовлетворяющих полиномиальному уравнению четвертой степени ^[1]^[2]

{\ displaystyle [(1-m ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2m ^ {2} cx + a ^ {2} -m ^ {2} c ^ {2} ] ^ {2} = 4a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2})}

где $c$ - расстояние между двумя фиксированными фокусами $P$ $= (0, 0)$ и $Q$ $= ($ $c$ $, 0)$ , образует два овала, множества точек, удовлетворяющих двум из четырех уравнений ${\ displaystyle {\ text {d}} (P, Q)}$

{\ displaystyle \ operatorname {d} (P, S) \ pm m \ operatorname {d} (Q, S) = a \,}

{\ displaystyle \ operatorname {d} (P, S) \ pm m \ operatorname {d} (Q, S) = - a \,}

^[2]

у которых есть реальные решения. Два овала обычно не пересекаются, за исключением случая, когда $P$ или $Q$ принадлежат им. По крайней мере, один из двух перпендикуляров к $PQ,$ проходящих через точки $P$ и $Q,$ разрезает эту кривую четвертой степени в четырех реальных точках; из этого следует, что они обязательно вложены друг в друга, причем по крайней мере одна из двух точек $P$ и $Q$ содержится внутри обеих из них. ^[2] По поводу другой параметризации и итоговой квартики см. Лоуренс. ^[3]

Приложения в оптике [ править ]

Как обнаружил Декарт, в дизайне линз можно использовать декартовы овалы . Выбирая соотношение расстояний от $P$ и $Q,$ чтобы соответствовать соотношению синусов в законе Снеллиуса , и используя поверхность вращения одного из этих овалов, можно создать так называемую апланатическую линзу , которая не имеет сферической аберрации . ^[4]

Кроме того, если сферический волновой фронт преломляется через сферическую линзу или отражается от вогнутой сферической поверхности, преломленный или отраженный волновой фронт принимает форму декартова овала. Поэтому каустику, образованную сферической аберрацией, в этом случае можно описать как эволюцию декартова овала. ^[5]

История [ править ]

Овалы Декарта были впервые изучены Рене Декартом в 1637 году в связи с их применением в оптике.

Эти кривые также изучались Ньютоном, начиная с 1664 года. Один из методов рисования определенных декартовых овалов, который уже использовал Декарт, аналогичен стандартному построению эллипса с помощью натянутой нити. Если протянуть нить от булавки в одном фокусе, чтобы обернуть вокруг булавки во втором фокусе, и привязать свободный конец нити к ручке, путь, пройденный ручкой, когда нить сильно натянута, образует декартову овальная с соотношением расстояний от двух очагов 2: 1. ^[6] Однако Ньютон отверг такие конструкции как недостаточно строгие. ^[7] Он определил овал как решение дифференциального уравнения , построил его субнормальные, и снова исследовал его оптические свойства. ^[8]

Французский математик Мишель Шасль в XIX веке обнаружил, что если декартов овал определяется двумя точками $P$ и $Q$ , то, как правило, существует третья точка $R$ на той же прямой, такая, что тот же овал также определяется любой парой точек. эти три точки. ^[2]

Джеймс Клерк Максвелл заново открыл эти кривые, обобщил их до кривых, определяемых постоянством взвешенной суммы расстояний от трех или более фокусов, и написал статью под названием « Наблюдения за описанными фигурами, имеющими множество фокусов и радиусами различных пропорций» . Отчет о его результатах под названием « Об описании овальных кривых и кривых с множеством фокусов» был написан Дж. Д. Форбсом и представлен Королевскому обществу Эдинбурга в 1846 году, когда Максвеллу было 14 лет (почти 15 лет). ). ^[6]^[9]^[10]

См. Также [ править ]

Кассини овал
Двухцентровые биполярные координаты

Ссылки [ править ]

^ а б О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Декартов овал» , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
^ a b c d Райс, Джон Майнот; Джонсон, Уильям Вулси (1888), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению, основанный на методе скоростей или флюксий (4-е изд.), J. Wiley, pp. 295–299.
^ Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Довер, стр. 155–157 , ISBN 0-486-60288-5.
^ Dijksterhuis, Фокко~d Ян (2004), линза и волны: Христиан Гюйгенс и математическая наука оптики в семнадцатом веке , Архимед, новые исследования в области истории и философии науки и техники, 9 , Springer-Verlag, стр 13-. 14, ISBN 978-1-4020-2697-3.
↑ Персиваль, Арчибальд Стэнли (1899), «Глава XVI. Контур преломленного волнового фронта. Каустика», Оптика, руководство для студентов , Macmillan, стр. 312–327.
^ a b Гарднер, Мартин (2007), Последние воссоздания: гидры, яйца и другие математические мистификации , Springer-Verlag, стр. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0.
↑ Guicciardini, Niccolò (2009), Исаак Ньютон о математической достоверности и методе , Преобразования: исследования в истории науки и техники, 4 , MIT Press, стр. 49 и 104, ISBN 978-0-262-01317-8.
^ Whiteside, Дерек Томас (2008), Математические статьи Исаака Ньютона, Vol. 3 , Cambridge University Press, стр. 139, 495 и 551, ISBN 978-0-521-04581-0.
^ Научные письма и документы Джеймса Клерка Максвелла, отредактированный П.М. Харманом, том I, 1846–1862, Cambridge University Press, стр. 35 год
^ Архив истории математики MacTutor

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с декартовым овалом .

Вайсштейн, Эрик В. «Декартовы овалы» . MathWorld .
Бенджамин Уильямсон, Элементарный трактат по дифференциальному исчислению, содержащий теорию плоских кривых (1884 г.)

[mactutor-1] а б О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Декартов овал» , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.

[rj1888-2] Райс, Джон Майнот; Джонсон, Уильям Вулси (1888), Элементарный трактат по дифференциальному исчислению, основанный на методе скоростей или флюксий (4-е изд.), J. Wiley, pp. 295–299.

[3] Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Довер, стр. 155–157 , ISBN 0-486-60288-5.

[4] Dijksterhuis, Фокко~d Ян (2004), линза и волны: Христиан Гюйгенс и математическая наука оптики в семнадцатом веке , Архимед, новые исследования в области истории и философии науки и техники, 9 , Springer-Verlag, стр 13-. 14, ISBN 978-1-4020-2697-3.

[5] Персиваль, Арчибальд Стэнли (1899), «Глава XVI. Контур преломленного волнового фронта. Каустика», Оптика, руководство для студентов , Macmillan, стр. 312–327.

[gardner-6] Гарднер, Мартин (2007), Последние воссоздания: гидры, яйца и другие математические мистификации , Springer-Verlag, стр. 46–49, ISBN 978-0-387-25827-0.

[7] Guicciardini, Niccolò (2009), Исаак Ньютон о математической достоверности и методе , Преобразования: исследования в истории науки и техники, 4 , MIT Press, стр. 49 и 104, ISBN 978-0-262-01317-8.

[8] Whiteside, Дерек Томас (2008), Математические статьи Исаака Ньютона, Vol. 3 , Cambridge University Press, стр. 139, 495 и 551, ISBN 978-0-521-04581-0.

[9] Научные письма и документы Джеймса Клерка Максвелла, отредактированный П.М. Харманом, том I, 1846–1862, Cambridge University Press, стр. 35 год

[10] Архив истории математики MacTutor

[1]