В геометрии , A улитка Паскаля или улитка Паскаля / л ɪ м ə с ɒ п / , также известный как улитка Паскаля Паскаль , определяется как рулетка , образованной на пути от точки , закрепленной на окружности , когда что круг катится вокруг внешней стороны круг равного радиуса. Его также можно определить как рулетку, образованную, когда круг катится по кругу с половиной своего радиуса, так что меньший круг находится внутри большего круга. Таким образом, они принадлежат к семейству кривых, называемых центрированными трохоидами ; более конкретно, они являются эпитрохоидами . кардиоидаявляется частным случаем, когда точка, генерирующая рулетку, лежит на катящемся круге; полученная кривая имеет острие .
В зависимости от положения точки, образующей кривую, она может иметь внутреннюю и внешнюю петли (давая название семейству), она может иметь форму сердца или может быть овальной.
Лимасон - это бициркулярная рациональная плоская алгебраическая кривая степени 4.
История
Самое раннее официальное исследование лимасонов обычно приписывают Этьену Паскалю , отцу Блеза Паскаля . Однако некоторые проницательные исследования в отношении них были предприняты ранее немецким художником эпохи Возрождения Альбрехтом Дюрером . В « Underweysung der Messung» («Инструкция по измерению») Дюрера содержатся конкретные геометрические методы изготовления лимасонов. Кривая была названа Жилем де Робервалем, когда он использовал ее в качестве примера для поиска касательных.
Уравнения
Уравнение (с точностью до сдвига и вращения) лимака в полярных координатах имеет вид
Его можно преобразовать в декартовы координаты , умножив на r (таким образом, введя точку в начале координат, которая в некоторых случаях является ложной) и подставив а также получить [1]
Применяя параметрическую форму преобразования полярных координат в декартово, мы также имеем [2]
при установке
дает эту параметризацию в виде кривой на комплексной плоскости :
Если бы мы сместились по горизонтали на , т.е.
- ,
мы бы, изменив положение начала координат, преобразовали бы в обычную форму уравнения центрированной трохоиды. Обратите внимание на изменение независимой переменной на этом этапе, чтобы прояснить, что мы больше не используем параметризацию полярных координат по умолчанию..
Особые случаи
В частном случае , полярное уравнение имеет вид
или же
что делает его членом семейства кривых с синусоидальной спиралью . Эта кривая - кардиоида .
В частном случае , центрированная трохоидная форма уравнения принимает вид
или, в полярных координатах,
что делает его членом семейства кривых роз . Эта кривая представляет собой трисектрису , которую иногда называют трисектрисой лимона .
Форма
Когда , лимасон представляет собой простую замкнутую кривую. Однако начало координат удовлетворяет приведенному выше декартову уравнению, поэтому график этого уравнения имеет узел или изолированную точку.
Когда , область, ограниченная кривой, выпуклая, а при , кривая имеет углубление, ограниченное двумя точками перегиба . В, точка является точкой 0 кривизны .
В виде уменьшается относительно углубление становится более выраженным до тех пор, пока при кривая становится кардиоидной, а выемка - острием . Для, куспид расширяется до внутреннего цикла, а кривая пересекает себя в начале координат. В виде приближается к 0, петля заполняет внешнюю кривую и, в пределе, лимит становится кругом, пройденным дважды.
Измерение
Территория, окруженная лимасоном является . Когдапри этом дважды подсчитывается площадь, заключенная во внутреннем цикле. В этом случае кривая пересекает начало координат под углами, область, заключенная во внутреннем цикле, равна
площадь, ограниченная внешним контуром, равна
а площадь между петлями -
Окружность лимака задается полным эллиптическим интегралом второго рода :
Отношение к другим кривым
- Позволять быть точкой и быть кругом, центр которого не . Тогда огибающая тех кругов, центр которых лежит на и это проходит через это limaçon.
- Педаль из круга является улитка Паскаля. Фактически, педаль относительно начала круга с радиусом и центр имеет полярное уравнение .
- Обратный по отношению к единичной окружности является
- что является уравнением конического сечения с эксцентриситетом и сосредоточьтесь на происхождении. Таким образом, limaçon может быть определен как обратная сторона коники, где центр инверсии является одним из фокусов. Если коника является параболой, то обратная сторона будет кардиоидой, если коника является гиперболой, тогда соответствующий лимит будет иметь внутреннюю петлю, а если коника является эллипсом, то соответствующий лимит не будет иметь петли.
- Конхоида окружности по отношению к точке на окружности является улитка Паскаля.
- Частным частным случаем декартова овала является лимит. [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ а б Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С. 113–118 . ISBN 0-486-60288-5.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Лимасон". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Декартов овал» , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
дальнейшее чтение
- Джейн Гроссман и Майкл Гроссман. «Ямочка или без ямочки» , Двухлетний математический журнал колледжа , январь 1982 г., страницы 52–55.
- Говард Антон. Исчисление , 2-е издание, стр. 708, John Wiley & Sons, 1984.
- Говард Антон. [1] С. 725 - 726.
- Говард Ивс. Обзор геометрии , Том 2 (страницы 51,56,273), Аллин и Бэкон, 1965.
Внешние ссылки
- "Лимакон Паскаля" в архиве истории математики MacTutor
- «Лимасон» на www.2dcurves.com
- "Лимасон Паскаля" в MathCurve
- "Лимакон Паскаля" в Визуальном словаре специальных плоских кривых
- "Лимакон Паскаля" на PlanetPTC (Mathcad)