В геометрии , А улитка Паскаля трисектриса это имя для квартике плоской кривой , которая является трисектриса , который определяется как улитка Паскаля . Форма трисектрисы лимака может быть определена другими кривыми, в частности розой , раковиной или эпитрохоидом . [1] кривой являются одним из ряда плоских кривых trisectrixes , что включает в себя конхоиду из Никомеда, [2] циклоиды из Сева, [3] Quadratrix из Гиппий , трисектриса маклорен и кубик чирнгауз . Трисектриса лимона - частный случайсектриса Маклорена .
Трисектриса лимака, заданная как полярное уравнение
, где
. Когда
, полученная кривая является отражением этой кривой относительно прямой
. Как функция,
имеет период
. Внутренняя и внешняя петли кривой пересекаются на полюсе.
Трисектриса лимака, заданная как полярное уравнение, имеет вид
- . [4]
Постоянная может быть положительным или отрицательным. Две кривые с константами а также являются отражениями друг друга по линии. Период является учитывая период синусоиды .
Трисектриса лимака состоит из двух петель.
- Внешний контур определяется при на интервале полярных углов , и симметрично относительно полярной оси. Самая удаленная от полюса точка на внешнем контуре имеет координаты.
- Внутренний цикл определяется при на интервале полярных углов , и симметрично относительно полярной оси. Точка, наиболее удаленная от полюса на внутреннем контуре, имеет координаты, а на полярной оси составляет одну треть расстояния от полюса по сравнению с самой дальней точкой внешней петли.
- Внешняя и внутренняя петли пересекаются на полюсе.
Кривая может быть указана в декартовых координатах как
- ,
и параметрические уравнения
- ,
- .
Отношения с кривыми розами
В полярных координатах форма такой же, как у розы . Соответствующие точки розы - это расстояние слева от точек лимасона, когда , а также вправо, когда . Как роза, кривая имеет структуру одного лепестка с двумя петлями, вписанного в круг. и симметричен относительно полярной оси.
Обратная роза - это трисектриса, поскольку обратная сторона имеет ту же форму, что и трисектриса Маклорена .
Отношения с сектрисой Маклорена
См. Статью « Сектрикс Маклорена» о лимасоне в качестве примера сектрисы.
Внешняя и внутренняя петли трисектрисы лимака обладают свойствами трисекции угла. Теоретически угол можно разрезать на три части, используя метод с любым свойством, хотя практические соображения могут ограничить его использование.
Свойство трисектрисы внешнего цикла
Свойство трисекции угла (зеленой) внешней петли трисектрисы лимака
. (Синий) образующий круг
требуется для доказательства троекратности
. (Красная) конструкция дает два угла,
а также
, которые имеют одну треть меры
; и один угол,
, который имеет две трети меры
.
Построение внешней петли проявляет свои угловые свойства трисекции. [5] Внешний цикл существует на интервале. Здесь мы исследуем свойство трисектрисы части внешней петли над полярной осью, т. Е. Определенной на интервале.
- Во-первых, обратите внимание, что полярное уравнение это круг с радиусом , центр на полярной оси и имеет диаметр, касающийся линии на полюсе . Обозначим диаметр, содержащий полюс, как, где Я сидел .
- Во-вторых, рассмотрите любой аккорд круга с полярным углом . С прямоугольный треугольник, . Соответствующая точка на внешнем цикле есть координаты , где .
С учетом этой конструкции показано, что и два других угла делятся пополам следующим образом:
- , так как это центральный угол для по кругу .
- Углы основания равнобедренного треугольника мера - конкретно, .
- Угол при вершине равнобедренного треугольника дополняет , и другие, . Следовательно, базовые углы, а также мера .
- . Таким образом делится на три части, так как .
- Обратите внимание, что также , а также .
Верхняя половина внешней петли может пересекать любой центральный угол так как подразумевает который находится в области внешнего цикла.
Свойство трисектрисы внутреннего цикла
Свойство трисекции угла (зеленой) внутренней петли трисектрисы лимака
. Учитывая точку
на (синем) единичном круге
с центром на полюсе
с участием
в
, где
(красным) пересекает внутренний цикл в точке
,
трисекции
. (Черная) нормальная линия к
является
, так
Я сидел
. Внутренний цикл переопределяется на интервале
в виде
потому что его собственный диапазон больше, чем
где его радиальные координаты неположительны.
Внутренняя петля трисектрисы лимака имеет желаемое свойство, состоящее в том, что трисечение угла является внутренним по отношению к трисекционному углу. [6] Здесь мы исследуем внутренний цикл который лежит выше полярной оси, которая определена на интервале полярных углов . Свойство трисекции заключается в том, что данный центральный угол включает точку лежа на единичном круге с центром на полюсе, , имеет меру, в три раза превышающую полярный угол точки на пересечении хорды и внутренний цикл, где Я сидел .
В декартовых координатах уравнение является , где , которое является полярным уравнением
- , где а также .
(Примечание: atan2 (y, x) дает полярный угол декартовой координатной точки (x, y).)
Поскольку нормальная линия к является , он делит вершину равнобедренного треугольника пополам , так и полярные координаты является .
Относительно лимасона диапазон полярных углов который определяет внутренний цикл, является проблематичным, потому что диапазон полярных углов, подверженных трисекции, попадает в диапазон . Более того, в его собственном домене радиальные координаты внутреннего цикла неположительны. Затем внутренний цикл эквивалентно переопределяется в пределах интересующего диапазона полярных углов и с неотрицательными радиальными координатами как, где . Таким образом, полярная координата из определяется
- .
У последнего уравнения есть два решения, первое из которых: , что приводит к , полярная ось, линия, которая пересекает обе кривые, но не в на единичном круге.
Второе решение основано на тождестве что выражается как
- , что означает ,
и показывает, что демонстрирующий больший угол, был разрезан на три части.
Верхняя половина внутренней петли может пересекать любой центральный угол так как подразумевает который находится в области переопределенного цикла.
Свойство трисекции линейного сегмента
Лимасон трисектрикс делит пополам отрезок прямой на полярной оси, служащей его осью симметрии. Поскольку внешний цикл продолжается до точки и внутренний цикл до точки , лимит делит отрезок с концами на полюсе (где пересекаются две петли) и точкой , где общая длина равна трехкратной длине от полюса до другого конца внутренней петли вдоль сегмента.
Учитывая трисектрису лимасона , обратное - полярное уравнение гиперболы с эксцентриситетом, равным 2, кривой, являющейся трисектрисой. (См. Гипербола - трисекция угла .)