В математике , А роза или rhodonea кривая является синусоидой определяется либо косинуса или синуса функций, не имеющих фазового угла , который нанесены в полярных координатах . Кривые розы или «родонея» были названы итальянским математиком Гвидо Гранди , изучавшим их , между 1723 и 1728 годами [1].
Общий обзор
Технические характеристики
Роза - это набор точек в полярных координатах, заданных полярным уравнением
или в декартовых координатах с использованием параметрических уравнений
- .
Розы также можно указать с помощью функции синуса. [3] Поскольку
- .
Таким образом, роза, указанная идентично указанному повернут против часовой стрелки на радиан, что составляет четверть периода любой синусоиды.
Так как они указаны с помощью косинуса или синуса функции, розы, как правило , выражается в полярных координатах (а не координаты декартова ) графики синусоид , которые имеют угловую частоту изи амплитуда из которые определяют радиальную координату учитывая полярный угол (хотя когда - рациональное число , кривая розы может быть выражена в декартовых координатах, поскольку они могут быть заданы как алгебраические кривые [4] ).
Общие свойства
Розы напрямую связаны со свойствами определяющих их синусоид.
Лепестки
- Графики роз состоят из лепестков . Лепесток - это форма, образованная графиком полупериода синусоиды, определяющей розу. (Цикл - это часть синусоиды, которая составляет один период длинный и состоит из положительного полупериода, непрерывного множества точек, где и является длинный, а отрицательный полупериод - это другая половина, где .)
- Форма каждого лепестка одинакова, потому что графики полупериодов имеют одинаковую форму. Форма задается положительным полупериодом с вершиной в указано (что ограничено интервалом углов ). Лепесток симметричен относительно полярной оси. Все остальные лепестки представляют собой вращение этого лепестка вокруг полюса, в том числе для роз, заданных синусоидальной функцией с такими же значениями для а также . [5]
- В соответствии с правилами построения точек в полярных координатах, точка в отрицательном полупериоде не может быть построена под ее полярным углом, поскольку ее радиальная координата отрицательный. Точка отображается путем добавления радианы в полярный угол с радиальной координатой . Таким образом, на графике розы могут совпадать положительные и отрицательные полупериоды. Кроме того, в круг вписаны розы..
- Когда период синусоиды меньше или равно , форма лепестка представляет собой одиночный замкнутый контур. Одиночный цикл образуется, потому что интервал углов для полярного графика равен а угловая ширина полупериода меньше или равна . Когда (или же ) график полупериода можно рассматривать как спиралевидный, уходящий от полюса по более чем одному кругу вокруг полюса, пока график не достигнет вписанной окружности, где он по спирали возвращается к полюсу, пересекая себя и образуя одну или несколько петель на своем пути. . Следовательно, каждый лепесток образует 2 петли при (или же ), 3 петли при (или же ) и др. Розы с одним лепестком и множеством петель наблюдаются для (См. Рисунок во введении.)
- Лепестки розы не будут пересекаться, когда угловая частота является ненулевым целым числом; в противном случае лепестки пересекаются.
Симметрия
Все розы демонстрируют одну или несколько форм симметрии из-за лежащих в основе симметричных и периодических свойств синусоид.
- Роза, обозначенная как симметрична относительно полярной оси (линия ) из-за тождества это делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими.
- Роза, обозначенная как симметрично относительно вертикальной линии из-за личности это делает розы, заданные двумя полярными уравнениями, совпадающими.
- Только некоторые розы симметричны относительно полюса.
- Отдельные лепестки симметричны относительно линии, проходящей через полюс, и вершины лепестка, что отражает симметрию полупериода основной синусоиды. Розы, состоящие из конечного числа лепестков, по определению вращательно-симметричны, поскольку каждый лепесток имеет одинаковую форму, а следующие друг за другом лепестки повернуты на один и тот же угол вокруг полюса.
Розы с ненулевыми целыми значениями k
Когда ненулевое целое число, кривая будет в форме розы с лепестки, если четный, и лепестки, когда странно. [6] Свойства этих роз являются частным случаем роз с угловыми частотами. которые являются рациональными числами, обсуждаемыми в следующем разделе этой статьи.
- Роза вписана в круг , соответствующий радиальной координате всех его вершин.
- Поскольку график в полярных координатах ограничен полярными углами между а также , Существуют циклы отображаются на графике. Никаких дополнительных точек наносить не нужно, поскольку радиальная координата на такое же значение в (которые являются вершинами для двух разных положительных полупериодов для роз, заданных функцией косинуса).
- Когда четное (и ненулевое), роза состоит из лепестки, по одному на каждую вершину в интервал отображаемых полярных углов. Каждой вершине соответствует точка, лежащая на окружности.. Сегменты линии, соединяющие последовательные вершины, образуют правильный многоугольник с четным числом вершин, центр которого находится на полюсе, и радиус, проходящий через каждую вершину, и аналогично:
- Розы симметричны относительно шеста.
- Розы симметричны относительно каждой линии через полюс и вершину (через «середину» лепестка) с полярным углом между вершинами следующих друг за другом лепестков. радианы. Таким образом, эти розы обладают вращательной симметрией порядка.
- Розы симметричны относительно каждой линии, которая делит пополам угол между последовательными пиками, который соответствует границам полупериода и апофеме соответствующего многоугольника.
- Когда странно, роза состоит из лепестки, по одному на каждый гребень (или впадину) в интервал отображаемых полярных углов. Каждой вершине соответствует точка, лежащая на окружности.. Положительные и отрицательные полупериоды этой розы совпадают, что означает, что при их графическом отображении необходимо наносить только положительные полупериоды или только отрицательные полупериоды, чтобы сформировать полную кривую. (Эквивалентно, полная кривая будет построена путем построения любого непрерывного интервала полярных углов, который радианы длинные, такие как к . [7] ) Отрезки линии, соединяющие последовательные вершины, образуют правильный многоугольник с нечетным числом вершин, и аналогично:
- Розы симметричны относительно каждой линии через полюс и вершину (через «середину» лепестка) с полярным углом между вершинами следующих друг за другом лепестков. радианы. Таким образом, эти розы обладают вращательной симметрией порядка.
- Лепестки розы не перекрываются.
- Розы можно задать алгебраическими кривыми порядка когда k нечетное, и когда k четно. [8]
Круг
Роза с это круг , который лежит на полюсе с диаметром , который лежит на полярной оси , когда. Круг - это единственный лепесток кривой. (См. Окружность, формируемую в конце следующего раздела.) В декартовых координатах эквивалентные характеристики косинуса и синуса следующие: а также , соответственно.
Квадрафолиум
Роза с называется четырехлистником, потому что у него 4 лепестка. В декартовых координатах характеристики косинуса и синуса а также , соответственно.
Трилистник
Роза с называется трехлистником [9], потому что у него 3 лепестка. Кривая также называется Paquerette de Mélibée. В декартовых координатах характеристики косинуса и синуса а также , соответственно. [10] (См. Формирование тройника в конце следующего раздела.)
Общая и лепестковая площади
Общая площадь розы с полярным уравнением вида
- или же , где является ненулевым целым числом, является
- , когда даже; а также
- , когда странно. [11]
Когда четное, есть лепестки; и когда странно, есть лепестки, поэтому площадь каждого лепестка .
Розы с рациональными числовыми значениями для k
В общем, когда - рациональное число в форме неприводимой дроби, где а также ненулевые целые числа, количество лепестков является знаменателем выражения . [12] Это означает, что количество лепестков равно если оба а также странные, и иначе. [13]
- В случае, когда оба а также нечетные, положительный и отрицательный полупериоды синусоиды совпадают. График этих роз завершается в любом непрерывном интервале полярных углов, которыйдлинный. [14]
- Когда даже и является нечетным, или Visa vesa, роза будет полностью отображена в виде графика с непрерывным интервалом полярных углов. длинный. [15] Кроме того, розы симметричны относительно полюса как для косинусов, так и для синусов. [16]
- Кроме того, когда это странно и четные, розы, заданные полярными уравнениями косинуса и синуса с одинаковыми значениями а также совпадают. Для такой пары роз роза со спецификацией синусоидальной функции совпадает с гребнем розы со спецификацией косинуса в точке на полярной оси либо в точке или на . (Это означает, что розы а также с ненулевыми целыми значениями никогда не совпадают.)
- Роза вписана в круг , соответствующий радиальной координате всех его вершин.
Лист Дюрера
Роза с называется «Лист Дюрера» в честь немецкого художника и гравера Альбрехта Дюрера . Розы, указанные а также совпадают, хотя . В декартовых координатах роза обозначена как. [17]
Лист Дюрера также представляет собой трисектрису , кривую, которую можно использовать для разделения углов.
Лимасон трисектрикс
Роза с представляет собой трисектрису лимона, которая обладает свойством трисектрисных кривых, которые можно использовать для разделения углов. У розы одинарный лепесток с двумя петлями. (См. Анимацию ниже.)
Отображаемые лучи представляют собой полярную ось и .
Построение графиков начинается в когда целое число, в противном случае и продолжит движение по часовой стрелке до .
Розы с иррациональными числовыми значениями для k
Кривая розы, обозначенная иррациональным числом дляимеет бесконечное количество лепестков [18] и никогда не завершится. Например, синусоида есть период , значит, у него есть лепесток в интервале полярных углов с гребнем на полярной оси; однако в области полярного уравнения нет другого полярного угла, который будет строиться в координатах. В целом, розы, заданные синусоидами с угловыми частотами, которые являются иррациональными константами, образуют плотный набор (т. Е. Они сколь угодно близки к определению каждой точки на диске.).
Смотрите также
- Limaçon trisectrix - имеет ту же форму, что и роза с k = 1/3 .
- Четырехлистник - кривая розы, где k = 2 .
- Маурер Роуз
- Роза (топология)
- Сектрикс Маклорена
- Спирограф
Заметки
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Родонея" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
- ^ Математические модели по Х. Мартин Канди и AP Rollett, второе издание, 1961 (Oxford University Press), стр. 73.
- ^ «Роза (математика)» . Проверено 2 февраля 2021 .
- ^ Роберт Ферреол. "Роза" . Источник 2021-02-03 .
- ^ Xah Lee. «Кривая розы» . Проверено 12 февраля 2021 .
- ^ Эрик В. Вайсштейн. «Роза (математика)» . Wolfram MathWorld . Проверено 5 февраля 2021 .
- ^ «Число лепестков кривой нечетного индекса родонеи» . ProofWiki.org . Источник 2021-02-03 .
- ^ Роберт Ферреол. "Роза" . Источник 2021-02-03 .
- ^ «Трилистник» . Проверено 2 февраля 2021 .
- ^ Эрик В. Вайсштейн. "Paquerette de Mélibée" . Wolfram MathWorld . Проверено 5 февраля 2021 .
- ^ Роберт Ферреол. "Роза" . Источник 2021-02-03 .
- ^ Ян Вассенаар. "Родонея" . Проверено 2 февраля 2021 .
- ^ Роберт Ферреол. "Роза" . Проверено 5 февраля 2021 .
- ^ Xah Lee. «Кривая розы» . Проверено 12 февраля 2021 .
- ^ Xah Lee. «Кривая розы» . Проверено 12 февраля 2021 .
- ^ Ян Вассенаар. "Родонея" . Проверено 2 февраля 2021 .
- ^ Роберт Ферреол. "Дюрер Фолиум" . Источник 2021-02-03 .
- ^ Эрик В. Вайсштейн. «Роза (математика)» . Wolfram MathWorld . Проверено 5 февраля 2021 .
Внешние ссылки
Апплет для создания розы с параметром k
- Визуальный словарь специальных плоских кривых Xah Lee
- Интерактивный пример с JSXGraph
- Интерактивный пример с p5