Сектрикс Маклорена

Сектрикс Маклорена: пример с q0 = PI / 2 и K = 3

В геометрии сектриса Маклорена определяется как кривая , выметенная точкой пересечения двух линий, каждая из которых вращается с постоянной скоростью вокруг разных точек, называемых полюсами . Эквивалентно сектрису Маклорена можно определить как кривую, уравнение которой в двуугольных координатах является линейным. Название происходит от трисектрисы Маклорена (названной в честь Колина Маклорена ), которая является выдающимся членом семьи, и их свойства сектрисы , что означает, что их можно использовать для разделения угла на заданное количество равных частей. Есть особые случаи, также известные как паукообразные или араниданс.из-за их паучьей формы и кривых Плато после Джозефа Плато, который их изучал.

Уравнения в полярных координатах [ править ]

Нам даны две линии, вращающиеся вокруг двух полюсов и . Путем сдвига и вращения мы можем считать и . В момент времени , линия вращающаяся вокруг имеет угол и линия вращающуюся вокруг имеет угол , где , , и константа. Устраните, чтобы добраться куда и . Мы предполагаем рациональную, иначе кривая не алгебраическая и плотна на плоскости. Позвольте быть точкой пересечения двух линий и позвольте быть углом в , так что . Если - расстояние от до, то по закону синусов , ${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle P = (0,0)}$${\ Displaystyle P_ {1} = (а, 0)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle \ тета = \ каппа т + \ альфа}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle \ тета _ {1} = \ каппа _ {1} т + \ альфа _ {1}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ alpha}$${\displaystyle \kappa _{1}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$${\displaystyle q=\kappa _{1}/\kappa }$${\displaystyle \theta _{0}=\alpha _{1}-q\alpha }$${\displaystyle q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \psi =\theta _{1}-\theta }$${\displaystyle r}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {r \over \sin \theta _{1}}={a \over \sin \psi }\!}$

так

${\displaystyle r=a{\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \psi }}=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}\!}$

- уравнение в полярных координатах.

Случай и где целое число больше 2 дает кривые паукообразных или аранейдановых.${\displaystyle \theta _{0}=0}$${\displaystyle q=n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n-1)\theta }}\!}$

Случай и где целое число больше 1 дает альтернативные формы кривых паукообразных или аранейданов.${\displaystyle \theta _{0}=0}$${\displaystyle q=-n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n+1)\theta }}\!}$

Вывод, аналогичный приведенному выше, дает

${\displaystyle r_{1}=(-a){\frac {\sin[(1/q)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}{\sin[(1/q-1)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}}\!}$

как полярное уравнение (в и ), если начало координат сдвинуто вправо на . Обратите внимание, что это более раннее уравнение с изменением параметров; этого следует ожидать из того факта, что два полюса взаимозаменяемы при построении кривой.${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle a}$

Уравнения в комплексной плоскости, прямоугольные координаты и ортогональные траектории [ править ]

Пусть где и являются целыми числами, а дробь - в младших членах. В обозначениях предыдущего раздела мы имеем или . Если тогда , то уравнение принимает вид или . Это также можно написать${\displaystyle q=m/n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$${\displaystyle n\theta _{1}=m\theta +n\theta _{0}}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle \theta =\arg(z),\ \theta _{1}=\arg(z-a)}$${\displaystyle n\ \arg(z-a)=m\ \arg(z)+n\ \theta _{0}}$${\displaystyle m\ \arg(z)-n\ \arg(z-a)=\arg(z^{m}(z-a)^{-n})=const}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Re} (z^{m}(z-a)^{-n})}{\operatorname {Im} (z^{m}(z-a)^{-n})}}=const.}$

из которого относительно просто вывести декартово уравнение с заданными m и n. Функция аналитическая, поэтому ортогональные траектории семейства являются кривыми , или${\displaystyle w=z^{m}(z-a)^{-n}}$${\displaystyle arg(w)=const.}$${\displaystyle |w|=const}$${\displaystyle {\frac {|z|^{m}}{|z-a|^{n}}}=const.}$

Параметрические уравнения [ править ]

Пусть где и - целые числа, а где - параметр. Затем преобразование полярного уравнения, приведенного выше, в параметрические уравнения дает${\displaystyle q=m/n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta =np}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Применение правила сложения углов для синуса дает

${\displaystyle x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}=a+a{\frac {\cos[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}={a \over 2}+{a \over 2}{\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Таким образом, если начало координат сдвинуто вправо на a / 2, то параметрические уравнения будут

${\displaystyle x={a \over 2}\cdot {\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Это уравнения для кривых Плато, когда , или ${\displaystyle \theta _{0}=0}$

${\displaystyle x={a \over 2}{\frac {\sin(m+n)p}{\sin(m-n)p}},y=a{\frac {\sin mp\sin np}{\sin(m-n)p}}\!}$.

Инверсивные тройни [ править ]

Обратный по отношению к окружности с радиусом а и центром в начале координат

${\displaystyle r=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}}$

является

${\displaystyle r=a{\frac {\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}{\sin[q\theta +\theta _{0}]}}=a{\frac {\sin[(1-q)\theta -\theta _{0}]}{\sin[((1-q)-1)\theta -\theta _{0}]}}}$.

Это еще одна кривая в семье. Обратное по отношению к другому полюсу дает еще одну кривую в том же семействе, а два обратных полюса, в свою очередь, являются обратными друг другу. Следовательно, каждая кривая в семействе является членом тройки, каждая из которых принадлежит семейству и является обратной по отношению к двум другим. Значения q в этом семействе равны

${\displaystyle q,\ {\frac {1}{q}},\ 1-q,{\frac {1}{1-q}},\ {\frac {q-1}{q}},\ {\frac {q}{q-1}}}$.

Свойства Sectrix [ править ]

Пусть где и - целые числа в наименьшем значении, и предположим, что его можно построить с помощью циркуля и линейки . (На практике значение обычно равно 0, поэтому обычно это не проблема.) Пусть будет заданным углом и предположим, что секта Маклорена нарисована с полюсами и в соответствии с конструкцией, приведенной выше. Постройте луч под углом и пусть будет точкой пересечения луча и сектрисы, и нарисуйте . Если - угол этой прямой, то${\displaystyle q=m/n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \varphi +\theta _{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \varphi +\theta _{0}=\theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$

итак . Путем многократного вычитания и друг из друга, как в алгоритме Евклида , можно построить угол . Таким образом, кривая представляет собой m -сектрису, что означает, что с помощью кривой произвольный угол можно разделить на любое целое число. Это обобщение концепции трисектрисы, примеры которой будут найдены ниже.${\displaystyle \theta ={\frac {n\varphi }{m}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi /m}$

Теперь нарисуйте луч с углом от и станьте точкой пересечения этого луча с кривой. Угол IS${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q'}$${\displaystyle P'Q'}$

${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}=q\varphi +\theta _{0}}$

а вычитание дает угол ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle q\varphi ={\frac {m\varphi }{n}}}$.

Повторное применение алгоритма Евклида дает угол, демонстрирующий, что кривая также является n -сектрисой.${\displaystyle \varphi /n}$

Наконец, нарисуйте луч с углом и луч с углом , и пусть будет точкой пересечения. Эта точка находится на серединном перпендикуляре, поэтому есть окружность с центром, содержащим и . поэтому любая точка на окружности образует угол между и . (Это, по сути, один из кругов Аполлона из Р и Р» ) . Пусть точка пересечения этой окружности и кривой. Тогда так ${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi /2-\varphi -\theta _{0}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle \pi /2+\varphi +\theta _{0}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle PP'}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle \angle PCP'=2(\varphi +\theta _{0})}$${\displaystyle \varphi +\theta _{0}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle Q''}$${\displaystyle \varphi +\theta _{0}=\angle PQ''P'=\psi =\theta _{1}-\theta =(q-1)\theta +\theta _{0}}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {(m-n)\theta }{n}},\ \theta ={\frac {n\theta }{m-n}}}$.

Применение алгоритма Евклида в третий раз дает угол в , показывая, что кривая также является ( m - n ) -сектрисой.${\displaystyle \varphi /(m-n)}$

Конкретные случаи [ править ]

q = 0 [ редактировать ]

Это кривая

${\displaystyle r=a{\frac {\sin \theta _{0}}{\sin(-\theta +\theta _{0})}}}$

который проходит через ${\displaystyle (a,0)}$

q = 1 [ редактировать ]

Это круг, содержащий начало координат и . Он имеет полярное уравнение${\displaystyle (a,0)}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\theta _{0})}{\sin \theta _{0}}}}$.

Это обратный по отношению к происхождению случай q = 0. Ортогональные траектории семейства окружностей - это семейство. Они образуют аполлоновские окружности с полюсами и .${\displaystyle {\frac {|z-a|}{|z|}}=const.}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (a,0)}$

q = -1 [ редактировать ]

Эти кривые имеют полярное уравнение

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(-\theta +\theta _{0})}{\sin(-2\theta +\theta _{0})}}}$,

сложное уравнение В прямоугольных координатах это становится коническим. Из полярного уравнения видно, что кривые имеют асимптоты при и, расположенные под прямым углом. Таким образом, коники на самом деле являются прямоугольными гиперболами. Центр гиперболы всегда . Ортогональные траектории этого семейства задаются семейством овалов Кассини с фокусами и .${\displaystyle arg(z(z-a))=const.}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}-x=c(2xy-y)}$${\displaystyle \theta =\theta _{0}/2}$${\displaystyle \theta _{0}/2+\pi /2}$${\displaystyle (a/2,0)}$${\displaystyle |z||z-a|=c}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (a,0)}$

Трисектриса Маклорена [ править ]

В случае, когда (или переключением полюсов) и , уравнение имеет вид${\displaystyle q=3}$${\displaystyle q=1/3}$${\displaystyle \theta _{0}=0}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )}$.

Это Трисектриса Маклорена , представляющая собой частный случай, обобщение которого представляет собой сектрису Маклорена. Приведенная выше конструкция дает метод, позволяющий использовать эту кривую как трисектрису.

Лимасон трисектрикс и роза [ править ]

В случае, когда (или переключением полюсов) и , уравнение имеет вид${\displaystyle q=3/2}$${\displaystyle q=2/3}$${\displaystyle \theta _{0}=0}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin {\tfrac {3}{2}}\theta }{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}=a(3\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta )=a(1+2\cos \theta )}$.

Это трисектриса Лимасона .

Уравнение с началом координат, принимаемое за другой полюс, - это кривая розы , имеющая такую ​​же форму.

${\displaystyle r=-a{\frac {\sin {\tfrac {2}{3}}\theta }{\sin -{\tfrac {1}{3}}\theta }}=2a\cos {\tfrac {1}{3}}\theta }$.

Число 3 в числителе q и приведенное выше построение дают метод, позволяющий использовать кривую как трисектрису.

Ссылки [ править ]

• "Sectrice de Maclaurin" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском языке)
• Вайсштейн, Эрик В. "Арахнида" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Кривые плато" . MathWorld .