Трисектрикс Маклорена

Трисектриса Маклорена как геометрическое место пересечения двух вращающихся прямых

В геометрии , то трисектриса из Маклореного является кубическим плоским кривым отличается трисектрисой свойства, то есть он может быть использован для угла делить на три равные части. Его можно определить как геометрическое место точки пересечения двух линий, каждая из которых вращается с одинаковой скоростью вокруг отдельных точек, так что соотношение скоростей вращения составляет 1: 3, а линии первоначально совпадают с линией между двумя точками. . Обобщение этой конструкции называется сектрисой Маклорена . Кривая названа в честь Колина Маклорена , исследовавшего кривую в 1742 году.

Уравнения [ править ]

Пусть две линии вращаются вокруг точек , и таким образом , что когда линия вращающегося вокруг имеет угол с х оси, вращающийся вокруг имеет угол . Пусть точка пересечения, то угол , образованный линиями на это . По закону синусов , ${\ Displaystyle P = (0,0)}$${\ Displaystyle P_ {1} = (а, 0)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle 3 \ theta}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle 2 \ theta}$

${\ Displaystyle {г \ над \ грех 3 \ тета} = {а \ над \ грех 2 \ тета} \!}$

поэтому уравнение в полярных координатах (с точностью до сдвига и вращения)

${\ displaystyle r = a {\ frac {\ sin 3 \ theta} {\ sin 2 \ theta}} = {a \ over 2} {\ frac {4 \ cos ^ {2} \ theta -1} {\ cos \ theta}} = {a \ over 2} (4 \ cos \ theta - \ sec \ theta) \!}$.

Таким образом, кривая принадлежит к семейству Conchoid of de Sluze .

В декартовых координатах уравнение этой кривой имеет вид

${\ displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2}) \!}$.

Если начало координат перемещено в ( a , 0), то вывод, аналогичный приведенному выше, показывает, что уравнение кривой в полярных координатах становится

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {2 \ cos {\ theta \ over 3}}} \!}$

сделав это примером эпспирали .

Свойство трисекции [ править ]

Трисектриса Маклорена, показывающая свойство трисекции угла

Для заданного угла нарисуйте луч , угол которого с осью равен . Нарисуйте луч от начала координат до точки, где первый луч пересекает кривую. Тогда по построению кривой угол между вторым лучом и осью -с равен${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle (а, 0)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi / 3}$

Примечательные моменты и особенности [ править ]

Кривой имеет й-перехват на и двойную точку в начале координат. Вертикальная линия - асимптота. Кривая пересекает прямую x = a или точку, соответствующую тройному сечению прямого угла, в . Как узловая кубика, она имеет нулевой род .${\ displaystyle 3a \ over 2}$${\ Displaystyle х = {- {а \ более 2}}}$${\ displaystyle (а, {\ pm {1 \ над {\ sqrt {3}}} а})}$

Связь с другими кривыми [ править ]

Трисектрису Маклорена можно определить по коническим сечениям тремя способами. Конкретно:

• Это обратная по отношению к единичной окружности гипербола

${\ displaystyle 2x = a (3x ^ {2} -y ^ {2})}$.

• Это циссоида круга

${\ Displaystyle (х + а) ^ {2} + у ^ {2} = а ^ {2}}$

и линия относительно начала координат.${\displaystyle x={a \over 2}}$

• Это педаль относительно начала параболы.

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)}$.

Кроме того:

• Обратным по отношению к точке является трисектриса Лимасона .${\displaystyle (a,0)}$
• Трисектриса из Маклореного связана с декартова листом с помощью аффинного преобразования .

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  36, 95, 104–106 . ISBN 0-486-60288-5.
• Вайсштейн, Эрик В. "Трисектрикс Маклорена" . MathWorld .
• "Трисектриса Маклорена" в списке известных кривых MacTutor.
• Трисектрикс Маклорена на mathcurve.com
• «Трисектриса Маклорена» в Визуальном словаре специальных плоских кривых

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Трисектрисы Маклорена .

• Лой, Джим «Трисекция угла», часть VI