Циссоид

В геометрии , A cissoid представляет собой кривую , генерируется из двух приведенных кривых С ₁ , С ₂ и точка О (The полюс ). Пусть L - переменная прямая, проходящая через O и пересекающая C _{1 в} точке P ₁ и C _{2 в} точке P ₂ . Пусть P - точка на L, так что OP = P ₁ P ₂ . (Есть на самом деле две такие точки , но Р выбрана так , что Р находится в том же направлении от Oа Р ₂ составляет от P ₁ .) Тогда множество таких точек Р определен , чтобы быть cissoid кривых C ₁ , C ₂ по отношению к O .

Несколько разные, но по существу эквивалентные определения используются разными авторами. Например, P можно определить как точку, так что OP = OP ₁ + OP ₂ . Это эквивалентно определению другой , если С ₁ заменяется на его отражение через O . Или P можно определить как среднюю точку P ₁ и P ₂ ; это дает кривую, сгенерированную предыдущей кривой, масштабируемую с коэффициентом 1/2.

Слово «циссоид» происходит от греческого : κισσοειδής , букв.  «в форме плюща» от κισσός , «плющ» и -οειδής , «имеющий подобие».

Уравнения [ править ]

Если C ₁ и C ₂ заданы в полярных координатах посредством и соответственно, то уравнение описывает циссоиду C ₁ и C ₂ относительно начала координат. Однако, поскольку точка может быть представлена ​​множеством способов в полярных координатах, могут быть другие ветви циссоиды, которые имеют другое уравнение. В частности, C ₁ также определяется как ${\ Displaystyle г = е_ {1} (\ тета)}$${\ Displaystyle г = е_ {2} (\ тета)}$${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$

${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Таким образом, циссоид на самом деле представляет собой объединение кривых, заданных уравнениями

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\ }$

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Его можно определить в индивидуальном порядке в зависимости от периодов f ₁ и f ₂ , какое из этих уравнений может быть исключено из-за дублирования.

Эллипс красного цвета с двумя циссоидными ветвями черного и синего цвета (происхождение)${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$

Например, пусть C ₁ и C ₂ будут эллипсом

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$.

Первая ветвь циссоида задается формулой

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0}$,

который является просто источником. Эллипс также задается

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}}$,

так что вторая ветвь циссоида задается

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$

которая представляет собой кривую овальной формы.

Если каждый C ₁ и C ₂ заданы параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

и

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px}$,

тогда циссоид относительно начала координат определяется выражением

${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px}$.

Конкретные случаи [ править ]

Когда C ₁ - круг с центром O, тогда циссоид конхоидный из C ₂ .

Когда C ₁ и C ₂ - параллельные линии, тогда циссоид - это третья линия, параллельная данным линиям.

Гиперболы [ править ]

Пусть C ₁ и C ₂ - две непараллельные прямые, а O - начало координат. Пусть полярные уравнения C ₁ и C ₂ имеют вид

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

и

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$.

Поворачивая на угол , мы можем считать, что . Тогда циссоид C ₁ и C ₂ относительно начала координат задается формулой${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha 2)/2}$${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$.

Объединение констант дает

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

который в декартовых координатах равен

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

Это гипербола, проходящая через начало координат. Итак, циссоида двух непараллельных прямых - это гипербола, содержащая полюс. Аналогичный вывод показывает, что, наоборот, любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на ней.

Циссоиды Заградника [ править ]

Cissoid из Заградника (названная в честь Карла Заградника ) определяются как cissoid о наличии конического сечения и линии относительно любой точки на коническом. Это широкое семейство рациональных кубических кривых, содержащее несколько хорошо известных примеров. Конкретно:

• Трисектриса маклорена дается

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

- циссоида окружности и прямой относительно начала координат.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$

• Право строфоида

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

- циссоида окружности и прямой относительно начала координат.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=-a}$

• Циссоида диокла

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

- циссоида окружности и прямой относительно начала координат. Фактически, это кривая, в честь которой и названо семейство, и некоторые авторы называют ее просто циссоидой.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=-2a}$

• Циссоида круга и линии , где k - параметр, называется Conchoid of de Sluze . (Эти кривые на самом деле не являются раковинами.) Это семейство включает предыдущие примеры.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=ka}$
• Лепестка Декарта

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

- циссоида эллипса и прямой относительно начала координат. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что строку можно записать${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$${\displaystyle x+y=-a}$

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$

и эллипс можно записать

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$.

Итак, циссоид определяется выражением

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

который является параметрической формой листа.

См. Также [ править ]

• Конхоид
• Строфоид

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  53–56 . ISBN 0-486-60288-5.
• К.А. Нельсон "Заметка о рациональных плоских кубиках" Бюл. Амер. Математика. Soc. Том 32, номер 1 (1926), 71-76.

Внешние ссылки [ править ]

• "Cissoid" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Циссоид» . MathWorld .
• 2D кривые