Фолиум Декарта

Лист Декарта (зеленый) с асимптотой (синий) при

{\ displaystyle a = 1}

В геометрии , то лепестка Декарта является алгебраической кривой определяется уравнением

x^{3}+y^{3}-3axy=0\,

.

Название происходит от латинского слова folium, что означает « лист ».

История [ править ]

Кривая была впервые предложена и изучена Рене Декартом в 1638 году. ^[1] Ее притязания на известность связаны с инцидентом в развитии математического анализа . Декарт предложил Пьеру де Ферма найти касательную к кривой в произвольной точке, поскольку Ферма недавно открыл метод нахождения касательных. Ферма легко решил проблему, чего не мог сделать Декарт. ^[2] С момента изобретения математического анализа наклон касательной можно легко найти с помощью неявного дифференцирования . ^[3]

Построение кривой [ править ]

Фолиант Декарта в полярных координатах

Лист Декарта можно выразить в полярных координатах как

r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }},

который нанесен слева. Это эквивалентно ^[4]

$r={\frac {3a\sec \theta \tan \theta }{1+\tan ^{3}\theta }}.$

Другой метод - писать и решать за и в терминах . Это дает рациональные параметрические уравнения : ^[5] $y=px$ $x$ $y$ $p$

$x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}$ .

Мы видим, что параметр связан с положением на кривой следующим образом:

$p<-1$ соответствует , : правый, нижний, «крыло». $x>0$ $y<0$
$-1<p<0$ соответствует , : слева, верхний «крыло». $x<0$ $y>0$
$p>0$ Соответствует , : петля кривой. $x>0$ $y>0$

Другой способ построения графика функции может быть получен из симметрии над . Симметрию можно увидеть прямо из его уравнения (x и y можно поменять местами). Например, применяя поворот на 45 ° по часовой стрелке, можно построить график функции симметрично относительно повернутой оси x. $y=x$

Эта операция эквивалентна подстановке:

x={{u+v} \over {\sqrt {2}}},\,y={{u-v} \over {\sqrt {2}}}

и дает

v=\pm u{\sqrt {\frac {3a{\sqrt {2}}-2u}{6u+3a{\sqrt {2}}}}}

График в декартовой системе дает лист, повернутый на 45 ° и, следовательно, симметричный по оси -оси. $(u,v)$ $u$

Свойства [ править ]

Он образует петлю в первом квадранте с двойной точкой в начале координат и асимптотой.

x+y+a=0\,

.

Он симметричен относительно линии . Таким образом, два пересекаются в начале и в точке . $y=x$ $(3a/2,3a/2)$

Неявное дифференцирование дает формулу для наклона касательной к этой кривой ^[3]

${\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}$

Используя любое из представленных выше полярных представлений, площадь внутренней части петли равна . Более того, площадь между «крыльями» кривой и ее наклонной асимптотой тоже равна . ^[1] $3a^{2}/2$ $3a^{2}/2$

Отношение к трисектрисе Маклорена [ править ]

Трисекстрикс Маклорена

Лепестка Декарта связана с трисектриса маклорена путем аффинного преобразования . Чтобы убедиться в этом, начните с уравнения

x^{3}+y^{3}=3axy\,

,

и измените переменные, чтобы найти уравнение в системе координат, повернутой на 45 градусов. Это равносильно установке

x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},y={{X-Y} \over {\sqrt {2}}}.

На плоскости уравнение имеет вид $X,Y$

2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2})

.

Если мы растянем кривую в этом направлении в несколько раз, она станет $Y$ ${\sqrt {3}}$

2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2}),

которое является уравнением трисектрисы Маклорена.

Заметки [ править ]

^ ^а ^б «Фолиант Декарта» . Энциклопедия математики . 5 июня 2020 . Проверено 30 января 2021 года .
^ Симмонс, стр. 101
^ a b Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 3.5: Неявная дифференциация». Исчисление: ранние трансцендентальные . Соединенные Штаты Америки: Cengage Learning. С. 209–11. ISBN 978-0-538-49790-9.
^ Стюарт, Джеймс (2012). «Глава 10: Параметрические уравнения и полярные координаты». Calculus: Early Transcendentals (7-е изд.). Cengage Learning. п. 687. ISBN. 978-0-538-49790-9.
^ "DiffGeom3: Параметризованные кривые и алгебраические кривые" . Н. Дж. Вильдбергер, Университет Нового Южного Уэльса . Проверено 5 сентября 2013 года .

Ссылки [ править ]

Дж. Деннис Лоуренс: Каталог специальных плоских кривых , 1972, Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5 , стр. 106–108
Джордж Ф. Симмонс : « Самоцветы исчисления: краткие жизни и памятная математика» , Нью-Йорк, 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN 0-07-057566-5 ; новое издание 2007 г., Математическая ассоциация Америки ( MAA )

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Folium of Descartes .

Ричард Л. Аморосо: Fe, Fi, Fo, Folium: Рассуждение о математическом любопытстве Декарта
Вайсштейн, Эрик В. "Фолиант Декарта" . MathWorld .
"Folium of Descartes" в списке известных кривых MacTutor
«Декартов фолиум» в MathCurve

[:0-1] а ^б «Фолиант Декарта» . Энциклопедия математики . 5 июня 2020 . Проверено 30 января 2021 года .

[2] Симмонс, стр. 101

[:1-3] Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 3.5: Неявная дифференциация». Исчисление: ранние трансцендентальные . Соединенные Штаты Америки: Cengage Learning. С. 209–11. ISBN 978-0-538-49790-9.

[4] Стюарт, Джеймс (2012). «Глава 10: Параметрические уравнения и полярные координаты». Calculus: Early Transcendentals (7-е изд.). Cengage Learning. п. 687. ISBN. 978-0-538-49790-9.

[5] "DiffGeom3: Параметризованные кривые и алгебраические кривые" . Н. Дж. Вильдбергер, Университет Нового Южного Уэльса . Проверено 5 сентября 2013 года .

[1]