Строфоид

строфоид: оранжевый + розовый изгиб

В геометрии , A строфоида представляет собой кривую , полученные от заданной кривой С и точки A ( фиксированная точка ) и O (The полюса ) следующим образом : Пусть L быть переменная линия , проходящая через O и пересекающая C на K . Пусть теперь Р ₁ и Р ₂ будет две точки на L , расстояние от K такое же , как расстояние от A до K . Локус таких точек Р ₁и Р ₂ является то строфоидом С относительно полюса O и неподвижной точки А . Обратите внимание, что AP ₁ и AP ₂ расположены под прямым углом в этой конструкции.

В частном случае, когда C - прямая, A лежит на C , а O не на C , тогда кривая называется косым строфоидом . Если, кроме того, ОА перпендикулярна С, то кривая некоторыми авторами называется правым строфоидом или просто строфоидом. Правый строфоид также называют логоциклической кривой или лицевым .

Уравнения [ править ]

Полярные координаты [ править ]

Пусть кривая C задана , где начало берется О . Пусть A будет точкой ( a , b ). Если - точка на кривой, расстояние от K до A равно ${\ Displaystyle г = е (\ тета)}$${\ Displaystyle К = (г \ соз \ тета, \ г \ грех \ тета)}$

${\ displaystyle d = {\ sqrt {(r \ cos \ theta -a) ^ {2} + (r \ sin \ theta -b) ^ {2}}} = {\ sqrt {(f (\ theta) \ cos \ theta -a) ^ {2} + (f (\ theta) \ sin \ theta -b) ^ {2}}}}$.

Точки на прямой OK имеют полярный угол , а точки на расстоянии d от K на этой прямой находятся на расстоянии от начала координат. Следовательно, уравнение строфоида имеет вид${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle f (\ theta) \ pm d}$

${\ Displaystyle р знак равно е (\ тета) \ пм {\ sqrt {(е (\ тета) \ соз \ тета-а) ^ {2} + (е (\ тета) \ грех \ тета -b) ^ {2 }}}}$

Декартовы координаты [ править ]

Пусть C задается параметрически как ( x ( t ), y ( t )). Пусть A - точка (a, b), а O - точка ( p , q ). Затем, прямым применением полярной формулы, строфоид задается параметрически следующим образом:

${\ Displaystyle и (т) знак равно п + (х (т) -р) (1 \ пм п (т)), \ v (т) = д + (у (т) -q) (1 \ пм п (т) )}$,

куда

${\ Displaystyle п (т) = {\ sqrt {\ гидроразрыва {(х (т) -а) ^ {2} + (у (т) -б) ^ {2}} {(х (т) -р) ^ {2} + (y (t) -q) ^ {2}}}}}$.

Альтернативная полярная формула [ править ]

Сложный характер приведенных выше формул ограничивает их полезность в конкретных случаях. Существует альтернативная форма, которую иногда проще применить. Это особенно полезно , когда С является sectrix из Маклореных с полюсами O и A .

Пусть O - начало координат, а A - точка ( a , 0). Пусть K будет точкой на кривой, углом между OK и осью x и углом между AK и осью x. Допустим, можно задать функцию , скажем . Позвольте быть угол при K так . Мы можем определить r через l, используя закон синусов. С${\ displaystyle \ theta}$${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }$

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}}$.

Пусть P ₁ и P ₂ - точки на OK, которые находятся на расстоянии AK от K , пронумерованные так, чтобы и . равнобедренный с углом при вершине , поэтому остальные углы и , равны . Тогда угол между AP ₁ и осью x равен ${\displaystyle \psi =\angle P_{1}KA}$${\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP_{2}}$${\displaystyle \triangle P_{1}KA}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \angle AP_{1}K}$${\displaystyle \angle KAP_{1}}$${\displaystyle (\pi -\psi )/2}$

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}$.

По аналогичному аргументу или просто используя тот факт, что AP ₁ и AP ₂ расположены под прямым углом, тогда угол между AP ₂ и осью x равен

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}$.

Полярное уравнение для строфоида теперь может быть получено из l ₁ и l ₂ из приведенной выше формулы:

${\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

C - секта Маклорена с полюсами O и A, когда l имеет форму , в этом случае l ₁ и l ₂ будут иметь одинаковую форму, поэтому строфоид является либо другой секцией Маклорена, либо парой таких кривых. В этом случае также существует простое полярное уравнение для полярного уравнения, если начало координат сдвинуто вправо на a .${\displaystyle q\theta +\theta _{0}}$

Конкретные случаи [ править ]

Косые строфы [ править ]

Пусть C будет линия , проходящая через А . Тогда, в использованных выше обозначениях, где - постоянная. Потом и . Полярные уравнения результирующего строфоида, называемого косым строфоидом, с началом координат в точке O , тогда${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

и

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}}$.

Легко проверить, что эти уравнения описывают одну и ту же кривую.

Перемещение начала координат в A (снова см. Сектрикс Маклорена ) и замена - a на a дает

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$,

и вращая, в свою очередь, производит${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}}$.

В прямоугольных координатах, с изменением постоянных параметров, это

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}$.

Это кубическая кривая, и по выражению в полярных координатах она рациональна. Он имеет кранод в точке (0, 0), а линия y = b является асимптотой.

Правый строфоид [ править ]

Правый строфоид

Ввод в${\displaystyle \alpha =\pi /2}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$

дает

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}$.

Это называется правым строфоидом и соответствует случаю, когда C - ось y , A - начало координат, а O - точка ( a , 0).

Декартово уравнение

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)}$.

Кривая напоминает фолиант Декарта ^[1], а прямая x = - a является асимптотой двух ветвей. Кривая имеет еще две асимптоты на плоскости с комплексными координатами, заданными формулой

${\displaystyle x\pm iy=-a}$.

Круги [ править ]

Пусть C - окружность, проходящая через O и A , где O - начало координат, а A - точка ( a , 0). Тогда, в использованных выше обозначениях, где - постоянная. Потом и . Полярные уравнения результирующего строфоида, называемого косым строфоидом, с началом координат в точке O , тогда${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

и

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}}$.

Это уравнения двух окружностей, которые также проходят через точки O и A и образуют в этих точках углы с C.${\displaystyle \pi /4}$

См. Также [ править ]

• Конхоид
• Циссоид

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  51–53, 95, 100–104, 175 . ISBN 0-486-60288-5.
• Э. Х. Локвуд (1961). «Строфоиды». Книга кривых . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. С. 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
• RC Yates (1952). «Строфоиды». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. С. 217–220.
• Вайсштейн, Эрик У. «Строфоид» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Правый строфоид» . MathWorld .
• Соколов Д.Д. (2001) [1994], "Строфоид" , Энциклопедия математики , EMS Press
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Правый строфоид" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные со строфоидом, на Викискладе?