Сфероид маклорена

Маклорен сфероид представляет собой сплюснутый сфероид , которая возникает , когда самогравитирующее тело жидкости вращается однородной плотность с постоянной угловой скоростью. Этот сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена , который сформулировал его для формы Земли в 1742 году. ^[1] На самом деле фигура Земли гораздо менее сжатая, чем предполагает формула Маклорена, поскольку Земля не однородна, но имеет плотный железный сердечник. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью вращающихся эллипсоидальных фигур в состоянии равновесия, поскольку он предполагает однородную плотность.

Формула Маклорена [ править ]

Угловая скорость сфероида Маклорена

Для сфероида с экваториальной большой полуоси и полярной осью полу-минор , угловая скорость около дается формулой Маклорена ^[2] ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ pi G \ rho}} = {\ frac {2 {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {e ^ {3}}} (3-2e ^ {2}) \ sin ^ {- 1} e - {\ frac {6} {e ^ {2}}} (1-e ^ {2}), \ quad e ^ {2} = 1 - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}},}

где - эксцентриситет меридиональных сечений сфероида, - плотность, - гравитационная постоянная . Формула предсказывает две возможные фигуры равновесия, когда одна представляет собой сферу ( ), а другая - очень сплюснутый сфероид ( ). Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете, и ее значение составляет , так что выше этой скорости фигур равновесия не существует. Угловой момент равен ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ Omega \ rightarrow 0}$ $e\rightarrow 0$ $e\rightarrow 1$ $e=0.92996$ $\Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0.449331$ $L$

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}

где - масса сфероида, а - средний радиус , радиус сферы того же объема, что и сфероид. $M$ ${\bar {a}}$

Стабильность [ править ]

Для Маклорена сфероида эксцентриситета , превосходящих 0.812670, ^[3] Якоби эллипсоид того же момент имеет более низкую суммарную энергию. Если такой сфероид состоит из вязкой жидкости и если он подвергается возмущению, нарушающему его вращательную симметрию, то он будет постепенно вытягиваться в эллипсоид Якоби, рассеивая при этом свою избыточную энергию в виде тепла. Это называется вековой нестабильностью . Однако для подобного сфероида, состоящего из невязкой жидкости, возмущение просто приведет к незатухающим колебаниям. Это называется динамической (или обычной ) стабильностью .

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом больше 0,952887 ^[3] динамически нестабилен. Даже если оно состоит из невязкой жидкости и не имеет средств потери энергии, подходящее возмущение будет расти (по крайней мере, вначале) экспоненциально. Динамическая нестабильность подразумевает вековую нестабильность (а вековая стабильность подразумевает динамическую стабильность). ^[4]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Маклорен, Колин. Трактат о колебаниях: в двух книгах. 1. Vol. 1. Руддиманс, 1742.
^ Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 10. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969.
^ ^a ^b Пуассон, Эрик; Уилл, Клиффорд (2014). Гравитация: ньютоновская, постньютоновская, релятивистская . Издательство Кембриджского университета . С. 102–104. ISBN 978-1107032866.
^ Lyttleton, Raymond Arthur (1953). Устойчивость вращающихся жидких масс . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316529911.

[1] Маклорен, Колин. Трактат о колебаниях: в двух книгах. 1. Vol. 1. Руддиманс, 1742.

[2] Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 10. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969.

[PoissonAndWill-3] Пуассон, Эрик; Уилл, Клиффорд (2014). Гравитация: ньютоновская, постньютоновская, релятивистская . Издательство Кембриджского университета . С. 102–104. ISBN 978-1107032866.

[Lyttleton1953-4] Lyttleton, Raymond Arthur (1953). Устойчивость вращающихся жидких масс . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316529911.

[1]