 | Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Декабрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , А относительно компактное подпространство (или относительно компактного подмножества или предкомпактное подмножество ) У из топологического пространства X является подмножеством которого замыкание является компактным .
Свойства [ править ]
Каждое подмножество компактного топологического пространства относительно компактно (так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно). И в произвольном топологическом пространстве каждое подмножество относительно компактного множества относительно компактно.
Каждое компактное подмножество хаусдорфового пространства относительно компактно. В нехаусдорфовом пространстве, таком как конкретная точечная топология на бесконечном множестве, замыкание компактного подмножества не обязательно компактно; говоря иначе, компактное подмножество нехаусдорфового пространства не обязательно относительно компактно.
Каждое компактное подмножество (возможно , нехаусдорфово) топологическое векторное пространство является полным и относительно компактным.
В случае метрической топологии , или в более общем случае, когда последовательности могут быть использованы для испытания для компактности, критерий относительной компактности становится , что любая последовательность в Y имеет подпоследовательность , сходящуюся в X .
Некоторые основные теоремы характеризуют относительно компактные подмножества, в частности, в функциональных пространствах . Примером может служить теорема Арцела – Асколи . Другие интересные случаи относятся к равномерной интегрируемости и концепции нормального семейства в комплексном анализе . Теорема Малера о компактности в геометрии чисел характеризует относительно компактные подмножества в некоторых некомпактных однородных пространствах (в частности, пространствах решеток ).
Контрпример [ править ]
В качестве контрпримера возьмем любую окрестность конкретной точки бесконечного конкретного точечного пространства . Сама окрестность может быть компактной, но не относительно компактной, потому что ее замыкание - это все некомпактное пространство.
Почти периодические функции [ править ]
Определение почти периодической функции F на концептуальном уровне связано с тем, что сдвиги F являются относительно компактным множеством. Это необходимо уточнить с точки зрения используемой топологии в конкретной теории.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- страница 12 В. Хацкевича, Д. Шойхета, Дифференцируемые операторы и нелинейные уравнения , Birkhäuser Verlag AG, Базель, 1993, 270 стр. в google books
