В математике понятие компактного вложения выражает идею о том, что одно множество или пространство «хорошо содержится» внутри другого. Существуют версии этой концепции, подходящие для общей топологии и функционального анализа .
Определение (топологические пространства)
Пусть ( Х , Т ) есть топологическое пространство , и пусть V и W быть подмножеств из X . Будем говорить , что V является компактно вложено в W , и писать V ⊂⊂ W , если
- V ⊆ Cl ( V ) ⊆ Int ( Ш ), где Cl ( V ) обозначает замыкание в V и Int ( W ) обозначает внутренность из W ; а также
- Cl ( V ) компактно .
Определение (нормированные пространства)
Пусть X и Y - два нормированных векторных пространства с нормами || • || X и || • || Y соответственно, и предположим , что X ⊆ Y . Будем говорить , что X является компактно вложено в Y , и писать X ⊂⊂ Y , если
- Х является непрерывно вложено в Y ; т.е. существует постоянная C такая, что || х || Y ≤ C || х || X для всех x в X ; а также
- Вложение X в Y является компактным оператором : любое ограниченное множество в X является вполне ограниченным в Y , то есть каждая последовательность в таком ограниченном множестве есть подпоследовательность , которая Коши в норме || • || Y .
Если Y - банахово пространство , эквивалентное определение состоит в том, что оператор вложения (тождество) i : X → Y является компактным оператором .
Применительно к функциональному анализу эта версия компактного вложения обычно используется с банаховыми пространствами функций. Некоторые из теорем вложения Соболева являются компактными теоремами вложения. Когда вложение не компактно, оно может обладать родственным, но более слабым свойством кокомпактности .
Рекомендации
- Адамс, Роберт А. (1975). Соболевские пространства . Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-044150-1..
- Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2..
- Ренарди, М. и Роджерс, Р. К. (1992). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-97952-2..