Непрерывное встраивание

В математике одно нормированное векторное пространство называется непрерывно вложенным в другое нормированное векторное пространство, если функция включения между ними непрерывна . В некотором смысле эти две нормы «почти эквивалентны», хотя обе они не определены в одном и том же пространстве. Некоторые из теорем вложения Соболева являются непрерывными теоремами вложения.

Определение

Пусть X и Y - два нормированных векторных пространства с нормами || · || _X и || · || _Y соответственно такие , что X ⊆ Y . Если карта включения (функция идентичности)

{\ displaystyle i: X \ hookrightarrow Y: x \ mapsto x}

непрерывно, т. е. если существует постоянная C ≥ 0 такая, что

{\ Displaystyle \ | х \ | _ {Y} \ leq C \ | x \ | _ {X}}

для каждого х в X , то Х называется непрерывно вложено в Y . Некоторые авторы используют крючковатую стрелку «↪» для обозначения непрерывного вложения, т.е. « X ↪ Y » означает « X и Y - нормированные пространства с X, непрерывно вложенным в Y ». Это последовательное использование обозначений с точки зрения категории топологических векторных пространств , в которых морфизмы («стрелки») являются непрерывными линейными отображениями .

Примеры

Конечномерное пример непрерывного вложения задается естественным вложением вещественной прямой X = R в плоскости Y = R ² , где оба пространства приведены евклидова норма:

{\ displaystyle i: \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} ^ {2}: x \ mapsto (x, 0)}

В этом случае || х || _X = || х || _Y для каждого вещественного числа X . Ясно, что оптимальный выбор константы C равен C = 1.

Бесконечномерным пример непрерывного вложения дается теоремой Реллиха-Kondrachov : Пусть Q ⊆ R ^п быть открыта , ограничена , липшицевым домена , и пусть 1 ≤ р < п . Установленный

{\ displaystyle p ^ {*} = {\ frac {np} {np}}.}

Тогда пространство Соболева W ^{1, р} (Ω; R ) непрерывно вложено в Ь ^р пространство Ь ^{р ^*}(Q; R ). Фактически, при 1 ≤ q < p ^∗ это вложение компактно . Оптимальная постоянная C будет зависеть от геометрии области Ω.

Бесконечномерные пространства также предлагают примеры разрывных вложений. Например, рассмотрим

{\ Displaystyle X = Y = C ^ {0} ([0,1]; \ mathbf {R}),}

пространство непрерывных вещественных функций , определенных на единичном интервале, но оборудовать X с L ¹ нормой и Y с нормой супремума . Для п ∈ N , пусть е _н быть непрерывной , кусочно - линейная функция определяется