В математике , то категория топологических векторных пространств является категорией , чьи объекты являются топологическими векторными пространствами , и чьи морфизмы являются непрерывными линейными отображениями между ними. Это категория, потому что композиция двух непрерывных линейных карт снова является непрерывной линейной картой. Категория часто обозначается TVect или TVS .
Зафиксировав топологическое поле K , можно также рассматривать подкатегорию TVect K топологических векторных пространств над K с непрерывными K- линейными отображениями как морфизмы.
TVect - это конкретная категория
Как и многие категории, категория TVect является конкретной категорией , то есть ее объекты представляют собой множества с дополнительной структурой (то есть структурой векторного пространства и топологией ), а ее морфизмы - это функции, сохраняющие эту структуру. Есть очевидные забывчивые функторы в категорию топологических пространств , категорию векторных пространств и категорию множеств .
TVect топологическая категория
Категория является топологической, что означает, грубо говоря, что она относится к своей «основной категории», категории векторных пространств, так же, как Top относится к Set . Формально для каждого K -векторного пространства и каждая семья топологических K -векторных пространстви K -линейные отображения существует топология векторного пространства на чтобы выполнялось следующее свойство:
В любое время является K -линейным отображением из топологического K- векторного пространства он считает, что
- непрерывно непрерывно.
Топологическое векторное пространство называется «исходным объектом» или «исходной структурой» по отношению к заданным данным.
Если заменить «векторное пространство» на «множество» и «линейную карту» на «карту», получится характеристика обычных исходных топологий в Top . По этой причине категории с этим свойством называются «топологическими».
Это свойство имеет многочисленные последствия. Например:
- Существуют «дискретные» и «недискретные» объекты. Топологическое векторное пространство недискретно тогда и только тогда, когда оно является исходной структурой по отношению к пустому семейству. Топологическое векторное пространство является дискретным тогда и только тогда, когда оно является исходной структурой по отношению к семейству всех возможных линейных отображений во все топологические векторные пространства. (Это семейство является подходящим классом, но это не имеет значения: исходные структуры по отношению ко всем классам существуют, если и только если они существуют по отношению ко всем множествам)
- Конечные структуры (аналогично определенным аналогам конечных топологий) существуют. Но есть загвоздка: хотя исходная структура указанного выше свойства на самом деле является обычной начальной топологией на относительно , окончательные структуры не обязательно должны быть окончательными по отношению к данным картам в смысле Top . Например: дискретные объекты (= окончательные по отношению к пустому семейству) в не несут дискретную топологию.
- Поскольку следующая диаграмма забывчивых функторов коммутирует
- и забывчивый функтор из to Set является сопряженным справа, забывчивый функтор из to Top также сопряжен справа (и соответствующие сопряженные слева вписываются в аналогичную коммутативную диаграмму). Этот левый сопряженный определяет «свободные топологические векторные пространства». В явном виде это свободные K -векторные пространства с определенной начальной топологией.
- Поскольку [ требуется разъяснение ] является (со) полным, тоже (со) завершено.
Смотрите также
- Категория групп
- Категория метрических пространств
- Категория наборов
- Категория топологических пространств
- Категория топологических пространств с базовой точкой
Рекомендации
- Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Рединг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.