В теории категорий , Met является категорией , которая имеет метрические пространства , как его объекты и метрические карты ( непрерывные функции между метрическими пространствами , которые не увеличивают никакого попарного расстояния) в качестве морфизмов . Это категория, потому что композиция двух метрических карт снова является метрической картой. Впервые его рассмотрел Исбелл (1964) .
Стрелки
В мономорфизмах в Met являются инъективными метрическими картами. В эпиморфизмах являются метрическими картами , для которых домен карты имеет плотное изображение в диапазоне . В изоморфизмах являются изометриями , то есть метрические карты , которые инъективны, сюръективны и сохраняющее расстояния.
Например, включение рациональных чисел в действительные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но явно не изоморфизмом; этот пример показывает, что Met не является сбалансированной категорией .
Объекты
Пустое метрическое пространство является исходным объектом из Met ; любое одноэлементное метрическое пространство является конечным объектом . Поскольку исходный объект и конечные объекты различаются, в Met нет нулевых объектов .
В инъективных объектах в Метах называются инъективны метрическими пространствами . Инъективные метрические пространства были впервые введены и изучены Ароншайном и Паничпакди (1956) до изучения Met как категории; они также могут быть определены внутренне в терминах свойства Хелли их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения Ароншайн и Паничпакди назвали эти пространства гипервыпуклыми пространствами . Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть изометрически вложено , называемое его метрической оболочкой или плотной оболочкой .
Продукты и функторы
Продукт из конечного множества метрических пространств в Met является метрическим пространством , которое имеет декартово произведение пространств как его точки; расстояние в пространстве продукта дается супремумом расстояний в базовых пространствах. То есть это метрика продукта с нормой sup . Однако продукт бесконечного набора метрических пространств может не существовать, потому что расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума. То есть Met - это не полная категория , но конечно полная. Там нет копроизведения в Met .
Стирающий функтор Меты → Set присваивает каждому метрическое пространство основного набор из его точек, и присваивает каждую метрическую карту лежащей в основе теоретико-множественная функция. Этот функтор точен , поэтому Met - конкретная категория .
Связанные категории
Met - не единственная категория, объектами которой являются метрические пространства; другие включают категорию равномерно непрерывных функций , категорию липшицевых функций и категорию квазилипшицевых отображений . Метрические отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с константой Липшица не более одной.
Смотрите также
- Категория групп
- Категория наборов
- Категория топологических пространств
- Категория топологических пространств с базовой точкой
- Категория топологических векторных пространств - топологическая категория
Рекомендации
- Ароншайн, Н .; Панитчпакди, P. (1956), "Расширения равномерно непрерывных преобразований и hyperconvex метрических пространств" , Pacific Journal математики , 6 (3): 405-439, DOI : 10,2140 / pjm.1956.6.405.
- Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2009), "Категория метрических пространств", Энциклопедия расстояний , Springer-Verlag, с. 38, ISBN 9783642002342.
- Исбелл, Дж. Р. (1964), "Шесть теорем об инъективных метрических пространствах" , Комментарий. Математика. Helv. , 39 (1): 65-76, DOI : 10.1007 / BF02566944 , S2CID 121857986.