В математике , то Реллихи-Kondrachov теорема является компактным вложением теоремы относительно пространства Соболева . Он назван в честь австрийско-немецкого математика Франца Реллиха и русского математика Владимира Иосифовича Кондрашова . Реллих доказал теорему L 2, Кондрашов - теорему L p .
Формулировка теоремы
Пусть Q ⊆ R п быть открытым , ограниченная липшицева область , и пусть 1 ≤ р < п . Набор
Тогда пространство Соболева W 1, р (Ω; R ) будет непрерывно вложено в Ь р пространство Ь р * (Ω; R ) и компактно вложено в L Q (Q; R ) для каждого 1 ≤ д < р * . В символах
а также
Теорема вложения Кондрахова
На компактном многообразии с С 1 границей, то Kondrachov теоремы вложения утверждает , что если к > ℓ и к - п / р > ℓ - н / д то вложение Соболев
является вполне непрерывным (компактным). [1]
Последствия
Поскольку вложение компактно тогда и только тогда, когда оператор включения (тождественный) является компактным оператором , из теоремы Реллиха – Кондрахова следует, что любая равномерно ограниченная последовательность в W 1, p (Ω; R ) имеет подпоследовательность, сходящуюся в L q ( Ω; R ). Сформулированный в такой форме, в прошлом результат иногда назывался селекционной теоремой Реллиха – Кондрахова , поскольку «выбирается» сходящаяся подпоследовательность. (Однако сегодня обычное название - «теорема компактности», тогда как «селекционная теорема» имеет точное и совершенно иное значение, относящееся к многофункциональности ).
Реллиха-Kondrachov теорема может быть использована , чтобы доказать неравенство Пуанкаре , [2] , который утверждает , что для U ∈ W 1, р (Ω; R ) (где Ом удовлетворяет тех же предположениях, что и выше),
для некоторой постоянной C, зависящей только от p и геометрии области Ω, где
обозначает среднее значение u над Ω.
Рекомендации
Литература
- Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения с частными производными (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4974-3.
- Кондрахов В. И. О некоторых свойствах функций в пространстве L с. Докл. Акад. 1945. Т. 48. С. 563–566.
- Леони, Джованни (2009). Первый курс в пространствах Соболева . Аспирантура по математике . 105 . Американское математическое общество. С. xvi + 607. ISBN 978-0-8218-4768-8 . Руководство по ремонту 2527916 . Zbl 1180,46001
- Реллих, Франц (24 января 1930 г.). "Ein Satz über mittlere Konvergenz" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке). 1930 : 30–35. JFM 56.0224.02 .