Особая точечная топология

В математике , то особенность топология точки (или включена топология точки ) является топологией , где множество является открытым , если он содержит определенную точку топологического пространства . Формально, пусть X произвольное множество и р ∈ X . Коллекция

{\ displaystyle T = \ {S \ substeq X \ mid p \ in S {\ text {или}} S = \ emptyset \}}

из подмножеств в X есть особая топология точка на X . Есть множество случаев, которые имеют индивидуальные названия:

Если X имеет две точки, то особая точечная топология на X - это пространство Серпинского .
Если Х является конечным (по крайней мере , 3 балла), топология на X называется конечная точка частности топология .
Если X является счетным , топология на X называется счетно частности топологией точки .
Если X является несчетным , топология на X называется несчетное частности топология точка .

Обобщением конкретной точечной топологии является топология замкнутого расширения . В случае, когда X \ { p } имеет дискретную топологию , топология замкнутого расширения совпадает с топологией конкретной точки.

Эта топология используется для предоставления интересных примеров и контрпримеров.

Свойства [ править ]

Закрытые гарнитуры имеют пустой интерьер: Учитывая непустое открытое множество каждый является предельной точкой в A . Таким образом, закрытие любого открытого набора кроме есть . Никакое замкнутое множество кроме содержит p, поэтому внутренняя часть любого замкнутого множества кроме есть . ${\ Displaystyle A \ подмножество X}$ ${\ Displaystyle х \ neq p}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$

Свойства связности [ править ]

Путь и локально связаны, но не связаны дугой

Для любого х , у ∈ X , то функция F : [0, 1] → X задается

{\ displaystyle f (t) = {\ begin {case} x & t = 0 \\ p & t \ in (0,1) \\ y & t = 1 \ end {cases}}}

это путь. Однако , так как р открыто, то прообраз из р при непрерывной инжекции из [0,1] будет открытой единственной точкой [0,1], который представляет собой противоречие.

Точка рассеивания, пример набора с: р является точкой дисперсии для X . То есть X \ { p } полностью отключен .

Гиперподключен, но не сверхсвязан: Каждое непустое открытое множество содержит р , и , следовательно , X является hyperconnected . Но если a и b лежат в X , так что p , a и b - три различные точки, то { a } и { b } являются непересекающимися замкнутыми множествами и, следовательно, X не является сверхсвязным . Обратите внимание, что если X - пространство Серпинского, то таких a и b не существует, и X на самом деле сверхсвязен.

Свойства компактности [ править ]

Компактный, только если конечный. Линделёфа, только если он счетный.: Если X конечно, оно компактно ; а если X бесконечно, оно не компактно, поскольку семейство всех открытых множеств образует открытое покрытие без конечного подпокрытия. ${\ Displaystyle \ {п, х \} \; (х \ в X)}$

По тем же причинам, если X счетно, это пространство Линделёфа ; и если X неисчислимо, это не Линделёф.

Закрытие компактного не компактного: Множество { p } компактно. Однако его замыкание (замыкание компакта) - это все пространство X , и если X бесконечно, оно не компактно. По тем же причинам, если X несчетно, то у нас есть пример, в котором замыкание компакта не является пространством Линделёфа.

Псевдокомпактный, но не слабо счетно компактный: Во-первых, нет непересекающихся непустых открытых множеств (так как все открытые множества содержат p ). Следовательно, каждая непрерывная функция на вещественной прямой должна быть постоянной и, следовательно, ограниченной, что доказывает, что X - псевдокомпактное пространство . Любое множество, не содержащее p , не имеет предельной точки, таким образом, если X, если оно бесконечно, оно не является слабо счетно компактным .

Локально компактный, но не относительно компактный локально.: Если , то множество представляет собой компактный район из х . Однако замыкание этой окрестности - это все X , и, следовательно, если X бесконечно, x не имеет замкнутой компактной окрестности, и X не является локально относительно компактным . ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle \ {х, р \}}$

Ограничить связанные [ править ]

Точки накопления наборов: Если не содержит p , Y не имеет точки накопления (потому что Y замкнуто в X и дискретно в топологии подпространства). ${\ Displaystyle Y \ substeq X}$

Если содержит р , каждая точка является точкой накопления Y , так как (наименьшая окрестность ) встречает Y . Y не имеет точки ω-накопления . Обратите внимание , что р никогда не является точкой накопления любого набора, так как она изолирована в X .

{\ Displaystyle Y \ substeq X}

{\ Displaystyle х \ neq p}

{\ Displaystyle \ {х, р \}}

{\ displaystyle x}

Точка накопления как набор, а не последовательность: Возьмем последовательность различных элементов, которая также содержит p . Базовый набор имеет любую точку накопления. Однако сама последовательность не имеет точки накопления как последовательность , поскольку окрестность любого y не может содержать бесконечно много различных . ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п}}$ ${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$ ${\ Displaystyle х \ neq p}$ $\{y,p\}$ $a_{n}$

Связанные с разлукой [ править ]

Т ₀: X - это T 0 (поскольку { x , p } открыто для каждого x ), но не удовлетворяет никаким высшим аксиомам разделения (поскольку все непустые открытые множества должны содержать p ).

Не обычный: Поскольку каждое непустое открытое множество содержит p , никакое замкнутое множество, не содержащее p (например, X \ { p }), не может быть отделено окрестностями от { p }, и, следовательно, X не является регулярным . Поскольку из полной регулярности следует регулярность, X не является полностью регулярным.

Не нормально: Поскольку каждое непустое открытое множество содержит p , никакие непустые замкнутые множества не могут быть отделены друг от друга окрестностями , и, следовательно, X не является нормальным . Исключение: топология Серпинского нормальна и даже вполне нормальна, поскольку не содержит нетривиальных разделенных множеств.

Отделимость: { p } плотно, поэтому X - сепарабельное пространство . Однако , если X является несчетным , то X \ { р } не отделим. Это пример того, что подпространство отделимого пространства не является отделимым.

Счетность (первая, но не вторая): Если X неисчислимо, то X является первым счетным, но не вторым счетным .

Сопоставимые (гомеоморфные топологии на одном и том же множестве, которые не сопоставимы): Пусть с . Пусть и . То есть t _q - топология конкретной точки на X, где q - выделенная точка. Тогда ( X , t _p ) и ( X , t _q ) гомеоморфные несравнимые топологии на одном и том же множестве. $p,q\in X$ $p\neq q$ $t_{p}=\{S\subset X\mid p\in S\}$ $t_{q}=\{S\subset X\mid q\in S\}$

Нет непустого подмножества, плотного в себе: Пусть S непустое подмножество X . Если S содержит p , то p изолировано в S (так как это изолированная точка X ). Если S не содержит р , любой х в S изолирована в S .

Не первая категория: Любой набор , содержащий р плотно в X . Следовательно , X не является объединением из нигде не плотных подмножеств .

Подпространства: Каждое подпространство набора с конкретной точечной топологией, которое не содержит конкретной точки, наследует дискретную топологию.

См. Также [ править ]

Топология Александрова
Топология исключенных точек
Конечное топологическое пространство
Список топологий
Компактификация по одной точке
Топология перекрывающихся интервалов

Ссылки [ править ]

Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446 CS1 maint: discouraged parameter (link)