Топология расширения

В топологии , раздел математики, топология расширения является топология помещается на несвязное объединение в виде топологического пространства и другого множества . Существуют различные типы топологии расширения, описанные в разделах ниже.

Топология расширения

Пусть X — топологическое пространство и P — множество, не пересекающееся с X . Рассмотрим в X  ∪  P топологию, открытые множества которой имеют вид A  ∪  Q , где A — открытое множество X , а Q — подмножество P .

Замкнутые множества X  ∪  P имеют вид B  ∪  Q , где B — замкнутое множество X , а Q — подмножество P .

По этим причинам эта топология называется топологией расширения X плюс P , с помощью которой можно расширить до X ∪  P  открытые и закрытые множества X. Как подмножества X  ∪  P , топология подпространства X является исходной топологией X , а топология подпространства P является дискретной топологией . Как топологическое пространство X  ∪  P гомеоморфно топологической сумме X и P , иX является замкнуто - открытым подмножеством X  ∪  P .

Если Y — топологическое пространство, а R — подмножество Y , можно спросить, является ли топология расширения Y — R плюс R такой же, как исходная топология Y , и ответ в общем случае — нет.

Обратите внимание на сходство этой конструкции топологии расширения и одноточечной компактификации Александрова , и в этом случае, имея топологическое пространство X , которое хотят компактифицировать, добавив точку ∞ в бесконечность, можно рассматривать замкнутые множества X  ∪ {∞} в — множества вида K , где K — замкнутое компактное множество X , или B  ∪ {∞}, где B — замкнутое множество X .

Открытая топология расширения

Пусть X — топологическое пространство и P — множество, не пересекающееся с X . Рассмотрим в X  ∪  P топологию, открытые множества которой имеют вид X  ∪  Q , где Q -- подмножество P , или A , где A -- открытое множество X .

По этой причине эта топология называется открытой топологией расширения X плюс P , с помощью которой можно расширить до X ∪  P  открытые множества X. Как подмножества X  ∪  P топология подпространства X является исходной топологией X , а топология подпространства P является дискретной топологией.

Замкнутые множества в X  ∪  P имеют вид: Q , где Q - подмножество P , или B  ∪  P , где B - замкнутое множество X . Заметим, что P замкнуто в X  ∪  P , а X открыто и плотно в X  ∪  P.

Если Y — топологическое пространство, а R — подмножество Y , можно спросить, совпадает ли открытая топология расширения Y — R плюс R с исходной топологией Y , и ответ в общем случае — нет.

Обратите внимание, что открытая топология расширения X  ∪  P меньше, чем топология расширения X  ∪  P .

Предполагая , что X и P не пусты, чтобы избежать тривиальности, вот несколько общих свойств топологии открытого расширения: ^[1]

• X плотно в X  ∪  P .
• Если P конечно , X  ∪  P компактно . Так что X  ∪  P в этом случае является компактификацией X.
• X  ∪  P связан . _
• Если P имеет единственную точку , X  ∪  P ультрасвязно .

Для множества Z и точки p в Z можно получить конструкцию топологии исключенных точек , рассматривая в Z дискретную топологию и применяя конструкцию топологии открытого расширения к Z – { p } плюс p .

Топология закрытого расширения

Пусть X — топологическое пространство и P — множество, не пересекающееся с X . Рассмотрим в X  ∪  P топологию, замкнутые множества которой имеют вид X  ∪  Q , где Q -- подмножество P , или B , где B -- замкнутое множество X .

По этой причине эта топология называется закрытой топологией расширения X плюс P , с помощью которой можно расширить до X ∪  P  замкнутые множества X. Как подмножества X  ∪  P топология подпространства X является исходной топологией X , а топология подпространства P является дискретной топологией.

Открытые множества X  ∪  P имеют вид Q , где Q -- подмножество P , или A  ∪  P , где A -- открытое множество X . Обратите внимание, что P открыто в X  ∪  P , а X замкнуто в X  ∪  P.

Если Y — топологическое пространство, а R — подмножество Y , можно спросить, является ли закрытая топология расширения Y — R плюс R такой же, как исходная топология Y , и ответ в общем случае — нет.

Обратите внимание, что закрытая топология расширения X  ∪  P меньше, чем топология расширения X  ∪  P .

Для множества Z и точки p в Z можно получить конструкцию конкретной точечной топологии , рассматривая в Z дискретную топологию и применяя конструкцию закрытой топологии расширения к Z – { p } плюс p .

Примечания

Процитированные работы