Clopen набор

Граф с несколькими замкнутых множеств. Каждая из трех больших частей (то есть компонентов ) представляет собой замкнутый набор, как и объединение любых двух или всех трех.

В топологии , А замкнутое множество (а портманто из замкнутых открытого множества ) в топологическом пространстве представляет собой набор , который является одновременно открытым и закрытым . То, что это возможно, может показаться нелогичным, поскольку общие значения открытых и закрытых являются антонимами, но их математические определения не исключают друг друга . Набор является закрытым, если его дополнение открыто, что оставляет возможность открытого набора, дополнение которого также открыто, что делает оба набора одновременно открытыми и закрытыми и, следовательно, закрытыми. По описанию тополога Джеймса Мункресав отличие от двери , «набор может быть открытым или закрытым, или и тем, и другим, или ни тем, ни другим!» ^[1] подчеркивая, что значение «открытый» / «закрытый» для дверей не связано с их значением для наборов (и поэтому дихотомия открытых / закрытых дверей не переносится на открытые / закрытые наборы). Этот контраст с дверями дал название классу топологических пространств, известных как « дверные пространства ».

Примеры

В любом топологическом пространстве пустое множество и все пространство являются замкнутым. ^[2]^[3] ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X}$

Рассмотрим теперь пространство , которое состоит из объединения двух открытых интервалов и в топологии на наследуется как топологией подпространства из обычной топологии на прямой В наборе открыто - замкнуто, так как есть множество Это довольно типичный пример: всякий раз, когда пространство составлено из конечного числа непересекающихся компонентов связности таким образом, компоненты будут открытыми. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ Displaystyle (2,3)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ displaystyle (2,3).}$

Теперь позвольте быть бесконечным множеством под дискретной метрикой, то есть две точки имеют расстояние 1, если они не совпадают, и 0 в противном случае. Под результирующим метрическим пространством открыто любое одноэлементное множество; следовательно, любое множество, являющееся объединением отдельных точек, открыто. Так как дополнение любого множества, следовательно, замкнуто, все множества в метрическом пространстве открыто-замкнуты. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p, q \ in X}$

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство всех рациональных чисел с их обычной топологией и множество всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя факт, которого нет в одном, можно довольно легко показать, что это открыто-замкнутое подмножество. из ( это не открыто - замкнутого подмножества вещественной оси , она не является ни открытой , ни закрыто в ) ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Характеристики

Топологическое пространство будет связано тогда и только тогда , когда только замкнутые множества являются пустым множеством и ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X.}$
Множество открыто тогда и только тогда, когда его граница пуста. ^[4]
Любое открыто-замкнутое множество представляет собой объединение (возможно, бесконечного множества) компонент связности .
Если все компоненты связности из открыты (например, если имеется только конечное число компонент, или , если это локально связно ), то множество в открыто - замкнутым тогда и только тогда , когда оно является объединением связных компонент. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$
Топологическое пространство является дискретным , если и только если все его подмножества открыто - замкнутым. ${\ displaystyle X}$
Используя объединение и пересечение как операции, открытые подмножества данного топологического пространства образуют булеву алгебру . Каждую булеву алгебру можно получить таким образом из подходящего топологического пространства: см . Теорему Стоуна о представлении для булевых алгебр . ${\ displaystyle X}$

Смотрите также

Дверное пространство

Примечания

^ Манкрес 2000 , стр. 91.
^ Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348. (относительно действительных чисел и пустого множества в R)
^ Хокинг, Джон G .; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 56. (относительно топологических пространств)
^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 87. ISBN 0-486-66352-3. Позвольте быть подмножеством топологического пространства. Докажи, что тогда и только тогда, когда открыт и закрыт. ${\ displaystyle A}$ $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ $A$ (Из упражнения 7)

использованная литература

Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Моррис, Сидни А. «Топология без слез» . Архивировано из оригинального 19 апреля 2013 года .

[FOOTNOTEMunkres200091-1] Манкрес 2000 , стр. 91.

[2] Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348. (относительно действительных чисел и пустого множества в R)

[3] Хокинг, Джон G .; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 56. (относительно топологических пространств)

[4] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 87. ISBN 0-486-66352-3. Позвольте быть подмножеством топологического пространства. Докажи, что тогда и только тогда, когда открыт и закрыт. ${\ displaystyle A}$ $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ $A$ (Из упражнения 7)

[1]