- О гипер-связности в графах узловых связей см. Connectivity_ (graph_theory) # Super-_and_hyper-connectivity .
В математической области топологии , A hyperconnected пространство [1] или неприводимое пространство [2] является топологическим пространством X , которое не может быть записан в виде объединения двух собственных замкнутых множеств ( не пересекаются ли или не пересекается). Название неприводимое пространство предпочтительнее в алгебраической геометрии .
Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:
- Никакие два непустых открытых множества не пересекаются .
- X нельзя записать как объединение двух собственных замкнутых множеств .
- Всякое непустое открытое множество плотное в X .
- Интерьер любого собственного замкнутого множества пусто.
- Каждое подмножество плотно или нигде не плотно в X .
Пространство, удовлетворяющее любому из этих условий, называется сверхсвязным или неприводимым .
Неприводимое множество является подмножеством топологического пространства , для которых топология подпространства неприводимо. Некоторые авторы не считают пустое множество неприводимым (даже если оно бессодержательно удовлетворяет указанным выше условиям).
Примеры
Двумя примерами гиперсвязных пространств из топологии точечных множеств являются конфинитная топология на любом бесконечном множестве и топология правого порядка на.
В алгебраической геометрии, взяв спектр кольца , редуцированное кольцо которого является областью целостности, является неприводимым топологическим пространством - применяя теорему о решетке к нильрадикалу , который находится внутри каждого простого числа, чтобы показать, что спектр фактор-отображения является гомеоморфизмом, это сводится к неприводимости спектра области целостности. Например, схемы
,
неприводимы, поскольку в обоих случаях многочлены, определяющие идеал, являются неприводимыми многочленами (то есть у них нет нетривиальной факторизации). Непримером является нормальный делитель пересечения
поскольку основное пространство представляет собой объединение аффинных плоскостей , , а также . Другой не пример дается схемой
где является неприводимым однородным многочленом степени 4. Это объединение двух кривых рода 3 (по формуле род – степень )
Гиперсвязность против связности
Каждое сверхсвязанное пространство одновременно связано и локально связано (хотя не обязательно линейно или локально ).
Обратите внимание, что в определении гиперсвязности замкнутые множества не обязательно должны быть непересекающимися. Это контрастирует с определением связности, в котором открытые множества не пересекаются.
Например, пространство действительных чисел стандартной топологии связано, но не гиперсвязно. Это потому, что его нельзя записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, но можно записать как объединение двух (не пересекающихся) замкнутых множеств.
Характеристики
- (Непустые) открытые подмножества гиперсвязного пространства «большие» в том смысле, что каждое из них плотно в X и любая пара из них пересекается. Таким образом, гиперсвязное пространство не может быть хаусдорфовым, если оно не содержит только одну точку.
- Каждое сверхсвязанное пространство одновременно связано и локально связано (хотя не обязательно линейно или локально ).
- Поскольку закрытие каждого непустого открытого множества в гиперсвязном пространстве - это все пространство, которое является открытым множеством, каждое сверхсвязное пространство является экстремально несвязным .
- Непрерывным образом hyperconnected пространства hyperconnected. [3] В частности, любая непрерывная функция из сверхсвязного пространства в хаусдорфово пространство должна быть постоянной. Отсюда следует, что всякое сверхсвязное пространство псевдокомпактно .
- Каждое открытое подпространство гиперсвязного пространства гиперсвязно. [4]
- Доказательство: Пустьбыть открытым подмножеством. Любые два непересекающихся открытых подмножества сами были бы непересекающимися открытыми подмножествами . Так что хотя бы один из них должен быть пустым.
- В более общем смысле, каждое плотное подмножество гиперсвязного пространства гиперсвязно.
- Доказательство: предположим плотное подмножество а также с участием , закрыт в . потом. С гиперсвязно, одно из двух замыканий - это все пространство , сказать . Это означает, что плотно в , а так как он закрыт в , он должен быть равен .
- Замкнутое подпространство гиперсвязного пространства не обязательно должно быть гиперсвязным.
- Контрпример: с участием алгебраически замкнутое поле (таким образом , бесконечное) является hyperconnected [5] в топологии Зарисской , в то время как закрыт и не гиперподключен.
- Доказательство: предположим где неприводимо и написать для двух замкнутых подмножеств (и, следовательно, в ). закрыты в а также что подразумевает или же , но потом или же по определению закрытия .
- Пространство который можно записать как с участием открытый и неприводимый такой, что неприводимо. [7]
- Доказательство: во- первых, мы замечаем, что если непустое открытое множество в тогда он пересекает оба а также ; действительно, предположим, тогда плотно в , таким образом а также является точкой закрытия из что подразумевает и тем более . Сейчас и закрытие следовательно непустое открытое и плотное подмножество . Поскольку это верно для любого непустого открытого подмножества, неприводимо.
Неснижаемые компоненты
Неприводимая компонента [8] в топологическом пространстве является максимальным неприводимым подмножеством (т.е. неприводимым набора , который не содержится ни в каком большем неприводимом наборе). Неприводимые компоненты всегда замкнуты.
Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно уникальным) неприводимой компоненты X . [9] В частности, каждая точка X содержится в некоторой неприводимой компоненте X . В отличие от компонент связности пространства, неприводимые компоненты не обязательно должны быть непересекающимися (т. Е. Они не должны образовывать разбиение ). В общем, неприводимые компоненты будут перекрываться.
Неприводимые компоненты хаусдорфового пространства - это просто одноэлементные множества .
Поскольку каждое неприводимое пространство связно, неприводимые компоненты всегда будут лежать в компонентах связности.
Каждое нётерово топологическое пространство имеет конечное число неприводимых компонент. [10]
Смотрите также
- Сверхсвязанное пространство
- Трезвое пространство
- Геометрически неприводимый
Заметки
- ^ Стин и Зеебах, стр. 29
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004U
- Перейти ↑ Bourbaki, Nicolas (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7 . Springer. п. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
- ^ Бурбаки, Николас (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7 . Springer. п. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
- ^ Перрин, Дэниел (2008). Алгебраическая геометрия. Введение . Springer. п. 14. ISBN 978-1-84800-055-1.
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004W
- ^ Бурбаки, Николас (1989). Коммутативная алгебра: главы 1-7 . Springer. п. 95. ISBN 978-3-540-64239-8.
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004V
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/004W
- ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/0050
Рекомендации
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446
- «Гиперподключенное пространство» . PlanetMath .