В области математики, известной как теория групп , теорема о соответствии , [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]] иногда называется четвертой теоремой об изоморфизме [6] [ 9] [примечание 1] [примечание 2] или теорема о решетке , [10] утверждает, что еслиявляется нормальной подгруппой из группы , , то существует биекция из множества всех подгрупп из содержащий , на множество всех подгрупп фактор-группы . Строение подгрупп точно такая же, как и строение подгрупп группы содержащий , с участием рухнул до элемента идентичности .
В частности, если
- G - группа,
- N - нормальная подгруппа группы G ,
- - это множество всех подгрупп A группы G таких, что , а также
- - множество всех подгрупп группы G / N ,
тогда существует биективное отображение такой, что
- для всех
Кроме того, если A и B находятся в, и A '= A / N и B' = B / N , то
- если и только если ;
- если тогда , где является индексом из A в B (число смежных классов ЬА из A в B );
- где является подгруппой генерируется с помощью
- , а также
- нормальная подгруппа если и только если нормальная подгруппа .
Этот список далеко не исчерпывающий. Фактически, большинство свойств подгрупп сохраняются в их образах при биекции на подгруппы фактор-группы.
В более общем плане существует монотонная связь Галуа. между решеткой подгрупп группы (не обязательно содержащий ) и решетка подгрупп группы : нижний сопряженный подгруппы из дан кем-то и верхний сопряженный подгруппы из дается . Ассоциированный оператор замыкания на подгруппах является ; ассоциированный оператор ядра на подгруппах это личность.
Аналогичные результаты верны для колец , модулей , векторных пространств и алгебр .
Смотрите также
Заметки
- ^ Некоторые авторы используют «четвертую теорему об изоморфизме» для обозначения леммы Цассенхауза ; см., например, Альперин и Белл (стр. 13) или Роберт Уилсон (2009). Конечные простые группы . Springer. п. 7 . ISBN 978-1-84800-988-2.
- ^ В зависимости от того, как считать теоремы об изоморфизме , теорему о соответствии можно также назвать 3-ей теоремой об изоморфизме; см., например, HE Rose (2009), стр. 78.
Рекомендации
- ^ Дерек Джон Скотт Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. п. 64 . ISBN 978-3-11-017544-8.
- ^ Дж. Ф. Хамфрис (1996). Курс теории групп . Издательство Оксфордского университета. п. 65 . ISBN 978-0-19-853459-4.
- ^ Его Превосходительство Роза (2009). Курс конечных групп . Springer. п. 78 . ISBN 978-1-84882-889-6.
- ^ Ж. Л. Альперин; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Springer. п. 11 . ISBN 978-1-4612-0799-3.
- ^ И. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: аспирантура . American Mathematical Soc. п. 35 . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ^ а б Джозеф Ротман (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Springer. стр. 37 -38. ISBN 978-1-4612-4176-8.
- ^ В. Кейт Николсон (2012). Введение в абстрактную алгебру (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 352. ISBN. 978-1-118-31173-8.
- ^ Стивен Роман (2011). Основы теории групп: продвинутый подход . Springer Science & Business Media. С. 113–115. ISBN 978-0-8176-8301-6.
- ^ Джонатан К. Ходж; Стивен Шликер; Тед Сандстрем (2013). Абстрактная алгебра: исследовательский подход . CRC Press. п. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.
- ↑ WR Scott: Group Theory , Prentice Hall, 1964, стр. 27.