Геометрия чисел

Геометрия чисел - это часть теории чисел, которая использует геометрию для изучения алгебраических чисел . Обычно кольцо алгебраических целых чисел рассматривается как решетка в, и изучение этих решеток дает фундаментальную информацию об алгебраических числах. ^[1] Геометрия чисел была начата Германом Минковским  ( 1910 ).${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

Геометрия чисел имеет тесную связь с другими областями математики, особенно с функциональным анализом и диофантовым приближением , проблемой поиска рациональных чисел , приближающих иррациональную величину . ^[2]

Результаты Минковского [ править ]

Предположим, что это решетка в -мерном евклидовом пространстве и выпуклое центрально-симметричное тело.Теорема Минковского , иногда называемая первой теоремой Минковского, утверждает, что если , то содержит ненулевой вектор из .${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ operatorname {vol} (K)> 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Последовательный минимум определяется как бесконечное число таких чисел , которое содержит линейно независимые векторы . Теорема Минковского о последовательных минимумах , иногда называемая второй теоремой Минковского , является усилением его первой теоремы и утверждает, что ^[3]${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda K}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n} \ operatorname {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}$.

Более поздние исследования в области геометрии чисел [ править ]

В 1930-1960 годах исследования геометрии чисел проводились многими теоретиками чисел (включая Луи Морделла , Гарольда Давенпорта и Карла Людвига Сигеля ). В последние годы Ленстра, Брион и Барвинок разработали комбинаторные теории, которые перечисляют точки решетки в некоторых выпуклых телах. ^[4]

Теорема о подпространстве В. М. Шмидта [ править ]

В геометрии чисел, теорема подпространством была получена Wolfgang М. Шмидта в 1972 году ^[5] Это указывает , что если п является положительным целым числом, и L ₁ , ..., L _п являются линейно независимые линейные формы в п переменных с алгебраическими коэффициентами и если ε> 0 - любое заданное действительное число, то ненулевые целые точки x в n координатах с

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

лежать в конечном числе собственных подпространств в Q ^н .

Влияние на функциональный анализ [ править ]

Геометрия чисел Минковского оказала глубокое влияние на функциональный анализ . Минковский доказал, что симметричные выпуклые тела индуцируют нормы в конечномерных векторных пространствах. Теорема Минковская была обобщена на топологические векторных пространства по Колмогоров , чья теорема гласит , что симметричные множества выпуклых, замкнутые и ограниченные порождают топологию банахового пространства . ^[6]

Исследователи продолжают изучать обобщения звездных множеств и других невыпуклых множеств . ^[7]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Матиас Бек, Синай Робинс. Вычисление непрерывного дискретного: целочисленное перечисление в многогранниках , Тексты для бакалавров по математике , Springer, 2007.
• Энрико Бомбьери ; Ваалер, Дж. (Февраль 1983 г.). «По лемме Зигеля». Inventiones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Bibcode : 1983InMat..73 ... 11B . DOI : 10.1007 / BF01393823 . S2CID  121274024 .
• Энрико Бомбьери и Вальтер Габлер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Кембридж UP
• JWS Cassels . Введение в геометрию чисел . Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (перепечатка изданий Springer-Verlag 1959 и 1971 годов).
• Джон Хортон Конвей и NJA Слоан , Сферические упаковки , решетки и группы , Springer-Verlag, NY, 3-е изд., 1998.
• Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995 г. Второе издание: 2006 г.
• П.М. Грубер , Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
• П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Vol. А. Б., Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
• М. Grötschel , Ловаса, Л. , А. Шриджвер : Геометрические алгоритмы и комбинаторной оптимизации , Springer, 1988
• Хэнкок, Харрис (1939). Развитие геометрии чисел Минковского . Макмиллан. (Переиздано в 1964 г. в Dover.)
• Эдмунд Глава , Йоханнес Шойссенгайер, Рудольф Ташнер. Геометрическая и аналитическая теория чисел . Universitext. Спрингер-Верлаг, 1991.
• Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс В. (1984), Пробоотборник F-пространства , Серия лекций Лондонского математического общества, 89, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. Xii + 240, ISBN 0-521-27585-7, MR  0808777
• CG Lekkerkererker . Геометрия чисел . Wolters-Noordhoff, Северная Голландия, Wiley. 1969 г.
• Ленстра, АК ; Ленстра, HW младший ; Ловас, Л. (1982). «Факторизация многочленов с рациональными коэффициентами» (PDF) . Mathematische Annalen . 261 (4): 515–534. DOI : 10.1007 / BF01457454 . hdl : 1887/3810 . Руководство по ремонту  0682664 . S2CID  5701340 .
• Ловас, Л .: Алгоритмическая теория чисел, графиков и выпуклости , Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике 50, SIAM, Филадельфия, Пенсильвания, 1986
• Малышев А.В. (2001) [1994], "Геометрия чисел" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Минковский Герман (1910), Geometrie дер ZAHLEN , Лейпциге и Берлине: RG Teubner, СУЛ  41.0239.03 , MR  0249269 , извлекаются 2016-02-28
• Вольфганг М. Шмидт . Диофантово приближение . Конспект лекций по математике 785. Springer. (1980 [1996 год с небольшими исправлениями])
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020 .
• Сигель, Карл Людвиг (1989). Лекции по геометрии чисел . Springer-Verlag .
• Рольф Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1993.
• Энтони С. Томпсон, геометрия Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1996.
• Герман Вейль . Теория приведения к арифметической эквивалентности. Пер. Амер. Математика. Soc. 48 (1940) 126–164. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1940-0002345-2
• Герман Вейль. Теория приведения к арифметической эквивалентности. II. Пер. Амер. Математика. Soc. 51 (1942) 203–231. DOI : 10,2307 / 1989946