Алгебраическое целое число

В теории алгебраических чисел , алгебраическое число является комплексным числом , что является корнем некоторого унитарный многочлен (полином которого старший коэффициент равен 1) с коэффициентами в $ℤ$ (множество целых чисел ). Множество всех алгебраических целых чисел $A$ замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел. Кольцо является целым замыканием регулярного целых $ℤ$ в комплексных числах.

Кольцо целых чисел одного числового поля $К$ , обозначаемой $O K$ , является пересечением $K$ и $A$ : это также можно охарактеризовать как максимального порядка поля $K$ . Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Ряд $α$ является целым алгебраическим тогда и только тогда , когда кольцо $ℤ [α]$ является конечно порожден как абелевой группы , который должен сказать, как $ℤ$ - модуль .

Определения [ править ]

Ниже приведены эквивалентные определения алгебраического целого числа. Пусть $K$ будет поле число (то есть, конечное расширение из $ℚ$ , множество рациональных чисел ), другими словами, $K = ℚ (θ)$ для некоторого алгебраического числа & $thetas \in ℂ$ по теореме примитивного элемента .

$α \in K$ является целым алгебраическим числом, если существует монический многочлен $f (x) \in ℤ [x]$ такой, что $f (α) = 0$ .
$& alpha; \in K$ является целым алгебраическимесли минимальный унитарный многочлен $альфа$ над $ℚ$ в $ℤ [х]$ .
$α \in K$ - целое алгебраическое число, если $ℤ [α]$ конечно порожденный $ℤ$ -модуль.
$& alpha; \in K$ является целым алгебраическимесли существует ненулевой конечно порожденный $ℤ$ подмодуль $М \subset ℂ$ такойчто $аш \subseteq M$ .

Целые алгебраические числа - это частный случай целых элементов расширения кольца. В частности, целое алгебраическое число является неотъемлемым элементом конечного расширения $K / ℚ$ .

Примеры [ править ]

Единственные алгебраические целые числа, которые встречаются в наборе рациональных чисел, - это целые числа. Другими словами, пересечение $ℚ$ и $А$ именно $ℤ$ . Рациональное число $а / б$ не является целым алгебраическим числом, если $b не$ делит $a$ . Обратите внимание, что старший коэффициент полинома $bx - a$ - это целое число $b$ . В качестве другого частного случая квадратный корень $\sqrt n$ из неотрицательного целого числа $n$ является целым алгебраическим числом, но является иррациональным, если $n не$ является полным квадратом .

Если $d$ - целое число без квадратов, то расширение $K = ℚ (\sqrt d)$ является квадратичным полем рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел $O K$ содержит $\sqrt d,$ поскольку оно является корнем монического многочлена $x 2 - d$ . Более того, если $d \equiv 1 mod 4$ , то элемент $1 / 2 (1 + \sqrt d)$ также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет многочлену $x 2 - x + 1 / 4 (1 - d)$ где постоянный член $1 / 4 (1 - d)$ представляет собой целое число. Полное кольцо целых чисел порождается $\sqrt d$ или $1 / 2 (1 + \sqrt d)$ соответственно. Смотрите квадратичные целые числа для получения дополнительной информации.

Кольцо целых чисел поля $F = ℚ [α]$ , $α = 3 \sqrt m$ , имеет следующий интегральный базис , записывая $m = hk 2$ для двух взаимно простых целых чисел $h$ и $k без$ квадратов : ^[1]

{\ displaystyle {\ begin {case} 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2} \ pm k ^ {2} \ alpha + k ^ {2}} {3k}} & m \ Equiv \ pm 1 {\ bmod {9}} \\ 1, \ alpha, {\ dfrac {\ alpha ^ {2}} {k}} и {\ text {иначе}} \ end {case}}}

Если $ζ n$ - примитивный корень $n-$ й степени из единицы , то кольцо целых чисел кругового поля $ℚ (ζ n)$ есть в точности $ℤ [ζ n]$ .

Если $α$ - целое алгебраическое число, то $β = n \sqrt α$ - другое целое алгебраическое число. Полином для $β$ получается заменой $x n$ в полином вместо $α$ .

Не пример [ править ]

Если $Р (х)$ является примитивным многочленом , который имеет целые коэффициенты , но не унитарные, а $Р$ является неприводимым над $ℚ$ , то ни один из корней $P$ не являются алгебраическими целыми числа (но являются алгебраическими числами ). Здесь примитив используется в том смысле, что наивысший общий множитель набора коэффициентов $P$ равен 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно взаимно простыми.

Факты [ править ]

Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частное нет. Используемый монический полином обычно имеет более высокую степень, чем у исходных алгебраических целых чисел, и может быть найден путем взятия результирующих и разложения на множители. Например, если $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ и $z = xy$ , то удаление $x$ и $y$ из $z - xy = 0$ и многочлены, которым удовлетворяют $x$ и $y$ использование результирующего дает $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , которое является неприводимым и является моническим уравнением, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что $xy$ является корнем $x$ -результанта $z - xy$ и $x 2 - x - 1$ , можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале, порожденном его двумя входными полиномами.)
Следовательно, любое число, построенное из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является алгебраическим целым числом; но не все алгебраические целые числа так конструктивны: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик - нет. Это теорема Абеля – Руффини .
Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, целиком замкнутое в любом своем расширении.
Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
Если монический многочлен, связанный с алгебраическим целым числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратная величина этого алгебраического целого числа также является алгебраическим целым числом и является единицей , элементом группы единиц кольца алгебраических целых чисел.

См. Также [ править ]

Составной элемент
Гауссовское целое число
Целое число Эйзенштейна
Корень единства
Теорема Дирихле о единицах
Фундаментальные единицы

Ссылки [ править ]

^ Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Стейн, В. Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) .

[1] Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, стр. 38 и пр. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

[1]